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Les fonctions de référence | The Maths Tailor

Les fonctions de référence

Cours Exercices

Cours

1Fonction paire, fonction impaire

2Fonction carré

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3Fonction racine carrée

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4Fonction inverse

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5Fonction cube

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Méthodes12p.1/2

PavlovDémontrer qu'une fonction est paire

Définition. Une fonction $f$ définie sur un domaine $D$ symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire tel que, pour tout $x \in D$ , on a aussi $- x \in D$ ) est dite paire lorsque $f (- x) = f (x)$ pour tout $x \in D$ .

Méthode

1. Vérifier que le domaine de définition est symétrique par rapport à $0$ .
2. Calculer $f (- x)$ en remplaçant $x$ par $- x$ dans l'expression de $f$ .
3. Simplifier le résultat obtenu.
4. Comparer $f (- x)$ à $f (x)$ : s'ils sont égaux, la fonction est paire.
5. Conclure sur la courbe : elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple. Soit $f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , définie sur $R$ (domaine symétrique par rapport à $0$ ).

$f (- x) = 3 (- x)^{4} - 2 (- x)^{2} + 1 = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 1 = f (x)$

Donc $f (- x) = f (x)$ pour tout $x$ réel : la fonction $f$ est paire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

PavlovDémontrer qu'une fonction est impaire

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TunnelÉtudier les variations de la fonction carré pour comparer deux images

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TunnelRésoudre une équation du type x² = k

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TunnelRésoudre une inéquation du type x² ≤ k ou x² ≥ k

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ClassiqueComparer deux nombres à l'aide d'une fonction de référence

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ClassiqueEncadrer l'image d'un nombre à l'aide d'une fonction de référence

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TunnelDéterminer le domaine de la fonction racine carrée et comparer deux racines

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TunnelRésoudre une inéquation avec la fonction racine carrée

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TunnelDéterminer le domaine de la fonction inverse et résoudre une équation avec 1 sur x

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Exercices

Parité des fonctions de référence

On considère les quatre fonctions de référence suivantes :

1. La fonction carré

f (x) = x^{2}

, définie sur

R

.
2. La fonction racine carrée

g (x) = x

, définie sur

[0; + \infty [

.
3. La fonction inverse

h (x) = \frac{1}{x}

, définie sur

R ∖ {0}

.
4. La fonction cube

k (x) = x^{3}

, définie sur

R

.

Pour chacune, préciser si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre, en justifiant.

Étudier la parité d'une fonction

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes, définies sur

R

.

1.

f (x) = 4 x^{2} - 7

2.

g (x) = x^{3} - 2 x

3.

h (x) = x^{2} + x^{3}

4.

k (x) = \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}}

Étudier une translation verticale de la fonction carré

On considère la fonction

f (x) = x^{2} - 4

, définie sur

R

.

1. La fonction

f

est-elle paire ? Justifier.
2. On admet que

f

a le même sens de variation que la fonction carré. Donner ce sens de variation.
3. Calculer

f (- 3)

,

f (0)

et

f (3)

, puis dresser le tableau de variations de

f

sur

[- 3; 3]

.
4. Résoudre l'équation

f (x) = 0

.
5. Comparer, pour tout réel

x

,

f (x)

et

x^{2}

. Que peut-on en dire sur la position des deux courbes ?

Exercice

Parmi les fonctions suivantes, indiquer si chacune est paire, impaire, ou ni paire ni impaire. Justifier.

1.

f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1

définie sur

R

2.

g (x) = x^{3} + x

définie sur

R

3.

h (x) = x^{2} + x

définie sur

R

4.

k (x) = \frac{1}{x ^{2}}

définie sur

R^{*}

Parité d'un produit de deux fonctions de référence

On considère la fonction carré

f (x) = x^{2}

, définie sur

R

, et la fonction inverse

g (x) = \frac{1}{x}

, définie sur

R ∖ {0}

. On pose

h (x) = f (x) \times g (x)

.

1. Simplifier l'expression de

h (x)

et préciser son domaine de définition.
2. Rappeler si

f

est paire ou impaire, puis si

g

est paire ou impaire.
3. Calculer

h (- x)

en fonction de

h (x)

, et en déduire si

h

est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.
4. Vérifier ce résultat en calculant

h (2)

et

h (- 2)

.

Exercice

On considère la fonction racine carrée

f (x) = x

, définie sur

[0; + \infty [

.

1. Calculer

f (0)

,

f (1)

,

f (4)

,

f (9)

,

f (\frac{1}{4})

.
2. Résoudre l'équation

x = 3

.
3. Résoudre l'inéquation

x \leq 4

.
4. Simplifier les expressions suivantes (pour

x \geq 0

) :

9 x

et

x^{2} + 2 x + 1

.