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Les suites | The Maths Tailor

Les suites

Cours Exercices

Cours

1Raisonnement par récurrence

2Limite finie ou infinie d'une suite

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3Opérations sur les limites

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4Limites et comparaison

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5Suites majorées, minorées, bornées

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6Comportement à l'infini d'une suite géométrique

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7Limite d'une suiteCOMPLÉMENTAIRES

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8Opérations sur les limitesCOMPLÉMENTAIRES

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9Limites et comparaisonCOMPLÉMENTAIRES

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10Comportement à l'infini des suites géométriquesCOMPLÉMENTAIRES

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11Les suites arithmético-géométriquesCOMPLÉMENTAIRES

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Méthodes6

TunnelComparaison et gendarmes : encadrer le terme qui oscille

Signaux : un terme borné sans limite ( $cos n$ , $(- 1)^{n}$ , $sin^{2} n$ ), ou « en déduire la limite » après une inégalité.

1. Encadrer ce terme ( $- 1 ⩽ cos n ⩽ 1$ ), puis reconstruire $u_{n}$ en conservant l'ordre (multiplier ou diviser par un positif).
2. Limite infinie : un seul côté suffit, $u_{n} ⩾ v_{n}$ avec $v_{n} \to + \infty$ (comparaison).
3. Limite finie : il faut deux côtés, $v_{n} ⩽ u_{n} ⩽ w_{n}$ , de même limite (gendarmes).
4. Calculer les limites des bornes, puis citer le théorème.

Intuition : poussée par une suite qui part à l'infini, elle suit ; coincée entre deux suites de même limite, elle y va aussi.

Pourquoi ça marche

Étape 1. Minoration par une suite qui tend vers $+ \infty$ (démonstration exigible).

Supposons $u_{n} ⩾ v_{n}$ pour tout $n ⩾ n_{0}$ , et $n \to + \infty lim v_{n} = + \infty$ . Soit $A$ un réel. Il existe un rang $n_{1}$ à partir duquel $v_{n} > A$ . Pour $n ⩾ max (n_{0}, n_{1})$ , on a alors $u_{n} ⩾ v_{n} > A$ : l'intervalle $] A; + \infty [$ contient tous les $u_{n}$ à partir de ce rang. Comme $A$ est quelconque, $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .

Étape 2. Théorème des gendarmes.

Supposons $v_{n} ⩽ u_{n} ⩽ w_{n}$ pour tout $n ⩾ n_{0}$ , et $n \to + \infty lim v_{n} = n \to + \infty lim w_{n} = ℓ$ . Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $ℓ$ . À partir d'un rang $n_{1}$ , $v_{n} \in I$ ; à partir d'un rang $n_{2}$ , $w_{n} \in I$ . Pour $n ⩾ max (n_{0}, n_{1}, n_{2})$ , $u_{n}$ est compris entre deux nombres de l'intervalle $I$ , donc appartient à $I$ . Ainsi $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ .

TunnelSuite récurrente : monotone et bornée par récurrence, donc convergente

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TunnelSuite géométrique : la raison décide de la limite

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TunnelSuite arithmético-géométrique : mesurer l'écart au point fixe

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TunnelRang seuil par algorithme : boucler tant que le but n'est pas atteint

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TunnelSomme géométrique : compter les termes, puis passer à la limite

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Exercices

Théorème de comparaison et terme oscillant

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par :

u_{n} = 3 n^{2} + (- 1)^{n} n + 4

1. Justifier que pour tout entier naturel

n

, on a

(- 1)^{n} ⩾ - 1

, puis que

(- 1)^{n} n ⩾ - n

.
2. En déduire que pour tout entier naturel

n

, on a

u_{n} ⩾ 3 n^{2} - n + 4

.
3. Déterminer la limite de la suite

(3 n^{2} - n + 4)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
4. En déduire la limite de la suite

(u_{n})

en précisant le théorème de comparaison utilisé.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , on a $(- 1)^{n} ⩾ - 1$ , puis que $(- 1)^{n} n ⩾ - n$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n} ⩾ 3 n^{2} - n + 4$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(3 n^{2} - n + 4)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
4. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ en précisant le théorème de comparaison utilisé.

Théorème des gendarmes avec fonction trigonométrique

Soit la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n ⩾ 1

par :

u_{n} = \frac{2 + cos ( n )}{3 n + 1}

1. Justifier que pour tout entier naturel

n ⩾ 1

, on a

1 ⩽ 2 + cos (n) ⩽ 3

.
2. En déduire un encadrement de

u_{n}

pour tout

n ⩾ 1

.
3. Déterminer la limite de la suite

(u_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

en énonçant le théorème utilisé.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , on a $1 ⩽ 2 + cos (n) ⩽ 3$ .
2. En déduire un encadrement de $u_{n}$ pour tout $n ⩾ 1$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ en énonçant le théorème utilisé.

Limite d'une suite géométrique de raison strictement supérieure à 1

Le programme officiel de terminale exige la démonstration du résultat suivant : si

q > 1

, alors

n \to + \infty lim q^{n} = + \infty

.
Soit

q

un nombre réel tel que

q > 1

. On pose

a = q - 1

.

1. Justifier que

a > 0

et exprimer

q^{n}

en fonction de

a

et de

n

.
2. À l'aide de l'inégalité de Bernoulli, établir une minoration de

q^{n}

pour tout entier naturel

n

.
3. Déterminer la limite de la suite de terme général

1 + na

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
4. En déduire, en énonçant rigoureusement le théorème de comparaison utilisé, que

n \to + \infty lim q^{n} = + \infty

.
5. Application : on considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = \frac{1 , 0 5 ^{n}}{n ^{2} + 1}

. Sachant que pour tout

n ⩾ 400

, on a

1, 0 5^{n} ⩾ n^{3}

, déterminer la limite de la suite

(u_{n})

.

1. Justifier que $a > 0$ et exprimer $q^{n}$ en fonction de $a$ et de $n$ .
2. À l'aide de l'inégalité de Bernoulli, établir une minoration de $q^{n}$ pour tout entier naturel $n$ .
3. Déterminer la limite de la suite de terme général $1 + na$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
4. En déduire, en énonçant rigoureusement le théorème de comparaison utilisé, que $n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$ .
5. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ de l'application.

Minoration d'une suite oscillante et divergence

Soit

(u_{n})

la suite définie pour tout entier naturel

n ⩾ 1

par :

u_{n} = 2 n^{2} + 3 n cos (n) - 5

1. Justifier que, pour tout entier naturel

n ⩾ 1

,

u_{n} ⩾ 2 n^{2} - 3 n - 5

.
2. En déduire la limite de la suite

(u_{n})

.

Justifier que, pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ , $u_{n} ⩾ 2 n^{2} - 3 n - 5$ .
En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

Encadrement trigonométrique et théorème des gendarmes

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n ⩾ 1

par :

u_{n} = \frac{3 n + ( - 1 ) ^{n} sin ^{2} ( n )}{n + 4}

1. Établir un encadrement de

u_{n}

pour tout entier

n ⩾ 1

.
2. En déduire la convergence et la limite de la suite

(u_{n})

.

Établir un encadrement de $u_{n}$ pour tout entier $n ⩾ 1$ .
En déduire la convergence et la limite de la suite $(u_{n})$ .

Comportement d'une suite géométrique selon sa raison

On considère les trois suites géométriques définies pour tout entier naturel

n

par :
-

a_{n} = 3 \times (\frac{4}{5})^{n}

-

b_{n} = - 2 \times (\frac{7}{6})^{n}

-

c_{n} = 5 \times (- 1, 2)^{n}

1. Déterminer la limite de la suite

(a_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
2. Déterminer la limite de la suite

(b_{n})

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
3. Justifier que la suite

(c_{n})

ne possède pas de limite.

1. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
2. Déterminer la limite de la suite $(b_{n})$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ .
3. Justifier que la suite $(c_{n})$ ne possède pas de limite.