Limites des fonctions

Objectif : Lorsque la courbe de $f$ admet une asymptote horizontale $d$ d'équation $y=L$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$), préciser comment elle s'en approche : au-dessus de $d$, en dessous, ou en la coupant.

Méthode

1. Justifier l'asymptote : calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ (ou en $-\infty$). Si elle vaut un réel $L$, la droite $d$ d'équation $y=L$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ ; autrement dit, l'écart $f(x)-L$ tend vers $0$.
2. Écrire la différence $f(x)-L$ sous une forme dont on sait étudier le signe : une seule fraction (réduction au même dénominateur), ou un produit de facteurs.
3. Étudier le signe de $f(x)-L$ sur l'ensemble de définition de $f$, avec un tableau de signes si nécessaire.
4. Conclure : là où $f(x)-L>0$, la courbe est au-dessus de $d$ ; là où $f(x)-L<0$, elle est en dessous ; les solutions de l'équation $f(x)=L$ sont les abscisses des points où la courbe coupe $d$.

Remarque : la limite dit seulement que l'écart $f(x)-L$ devient aussi proche de $0$ que l'on veut ; elle ne dit pas de quel côté de $d$ se trouve la courbe. Ce côté se lit sur le signe de $f(x)-L$, et une courbe peut couper son asymptote horizontale.

*Exemple :* $f(x)=\frac{2x^2-x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$.

Pour $x\ne 0$, en factorisant par le terme dominant : $f(x)=\frac{x^2\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=2$ : la droite $d$ d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$.

$$f(x)-2=\frac{2x^2-x-2(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{-x-2}{x^2+1}$$

Comme $x^2+1>0$, $f(x)-2$ a le signe de $-x-2$ : strictement positif pour $x<-2$, nul pour $x=-2$, strictement négatif pour $x>-2$. La courbe est donc au-dessus de $d$ sur $]-\infty ;-2[$, la coupe au point $(-2;2)$, puis reste en dessous de $d$ sur $]-2;+\infty [$ : elle s'approche de son asymptote en restant au-dessus en $-\infty$, et en restant en dessous en $+\infty$.