THE MATHS TAILOR
Coefficient binomial dans l'arbre pondéré
Dans un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli à n épreuves, le coefficient binomial (kn) compte le nombre de chemins menant à exactement k succès parmi les n épreuves.
Valeurs immédiates(0n)=(nn)=1,(1n)=n
Relation de Pascal(kn)=(k−1n−1)+(kn−1)
Cette relation permet de construire le triangle de Pascal de proche en proche, sans passer par la formule factorielle.
Démontrons la relation de Pascal (kn)=(k−1n−1)+(kn−1), pour 1≤k≤n−1, en revenant à l'interprétation en termes de chemins dans l'arbre pondéré.
Étape 1. Isoler la dernière épreuve.
On considère un schéma de Bernoulli à n épreuves, représenté par un arbre à n niveaux. Un chemin menant à k succès parmi les n épreuves se termine soit par un succès à la n-ième épreuve, soit par un échec à la n-ième épreuve. Ces deux types de chemins forment une partition de l'ensemble des chemins à k succès : chaque chemin appartient à l'un exactement des deux cas.
Étape 2. Compter chaque type de chemin.
Si le chemin se termine par un succès, les n−1 premières épreuves comptent alors exactement k−1 succès : il y a (k−1n−1) chemins de ce type, correspondant aux façons de placer k−1 succès parmi les n−1 premières épreuves.
Si le chemin se termine par un échec, les n−1 premières épreuves comptent alors exactement k succès : il y a (kn−1) chemins de ce type.
Étape 3. Conclure.
Le nombre total de chemins à k succès parmi n épreuves est la somme de ces deux cas disjoints :(kn)=(k−1n−1)+(kn−1).Appliquée de proche en proche à partir de (0n)=1, cette décomposition engendre exactement le triangle de Pascal : chaque coefficient est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus de lui à la ligne précédente.