Loi des grands nombres

Justifions la formule $P(S=k)=\sum _{i+j=k}P((X=i)\cap (Y=j))$, valable pour toute variable somme $S=X+Y$.

Étape 1. Partition de l'événement $(S=k)$.

Les événements $(X=i)\cap (Y=j)$, pour $i$ et $j$ décrivant les valeurs prises respectivement par $X$ et $Y$, forment une partition de l'univers $\Omega$ (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion vaut $\Omega$, puisque $X$ prend nécessairement une valeur et $Y$ aussi). Or l'événement $(S=k)$, c'est-à-dire $(X+Y=k)$, est exactement la réunion de ceux de ces événements pour lesquels $i+j=k$ :$$(S=k)=\bigcup _{i+j=k}[(X=i)\cap (Y=j)].$$

Étape 2. Additivité de la probabilité.

Cette réunion porte sur des événements deux à deux incompatibles (des couples $(i,j)$ distincts avec $i+j=k$ donnent des événements $(X=i)\cap (Y=j)$ disjoints, car $X$ ne peut prendre deux valeurs différentes à la fois). La probabilité d'une réunion d'événements deux à deux incompatibles est la somme de leurs probabilités, d'où$$P(S=k)=\sum _{i+j=k}P((X=i)\cap (Y=j)).$$

Étape 3. Cas de l'indépendance.

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors par définition $P((X=i)\cap (Y=j))=P(X=i)\times P(Y=j)$ pour tous $i,j$. En reportant dans la formule de l'étape 2 :$$P(S=k)=\sum _{i+j=k}P(X=i)\times P(Y=j).$$Ce produit, plutôt qu'une probabilité jointe a priori inconnue, ne fait intervenir que les deux lois marginales de $X$ et de $Y$ : c'est ce qui rend le calcul praticable dès que l'indépendance est acquise.