Lois à densité

Dans un laboratoire de chimie, la durée $X$, en minutes, nécessaire à la montée en température d'un petit four électrique est comprise entre $1$ et $5$ minutes. On modélise $X$ par une variable aléatoire dont la densité $f$ est définie sur $[1;5]$ par $f(x)=\frac{x-1}{8}$ et nulle en dehors de $[1;5]$.
Montrer que $f$ est une densité de probabilité.

La durée $X$, en minutes, d'un orage estival au-dessus d'une vallée des Pyrénées est modélisée par une variable aléatoire dont la densité $f$ est définie sur $[0;10]$ par $f(x)=\frac{3x(10-x)}{500}$ et nulle en dehors de $[0;10]$.
Montrer que $f$ est une densité de probabilité.

La durée de vie $X$, en années, d'un équipement d'une station d'épuration suit une loi à densité : sa densité $f$ est définie sur $[0;+\infty [$ par $f(t)=\frac{1}{(1+t{)}^2}$ et est nulle sur $]-\infty ;0[$.
a. Montrer que $f$ est une densité de probabilité.
b. Calculer $P(X⩽3)$.

La durée $X$, en minutes, d'une interruption du service d'un funiculaire avant remise en route est modélisée par une variable aléatoire dont la densité $f$, nulle en dehors de $[0;6]$, est affine sur $[0;6]$ : $f(x)=mx+n$, où $m$ et $n$ sont deux réels à déterminer. Les interruptions longues sont plus rares que les interruptions courtes : la densité s'annule en $6$.
a. Déterminer $m$ et $n$.
b. Vérifier que la fonction $f$ obtenue est bien une densité de probabilité.
c. Calculer $P(X⩽3)$ puis $E(X)$, et interpréter les deux résultats dans le contexte.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par :
- $f(t)=\frac{1}{2}$ si $t\in [0;1]$ ;
- $f(t)=\frac{1}{2}{e}^{-(t-1)}$ si $t\in [1;+\infty [$.
1. Démontrer que la fonction $f$ est continue en $t=1$ et positive sur $[0;+\infty [$.
2. Pour tout réel $x⩾1$, exprimer $I(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ en fonction de $x$, puis déterminer la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
3. En déduire que $f$ est une fonction de densité sur $[0;+\infty [$.
4. Soit $X$ une variable aléatoire ayant $f$ pour densité. Calculer la probabilité $P(0,5⩽X⩽2)$.

Un haut-parleur connecté met un temps $X$, en secondes, à répondre à une commande vocale. Ce temps se décompose en deux régimes : une phase de réponse rapide, où la densité de probabilité est constante et égale à $k$ sur $[0;4]$, suivie d'une phase de ralentissement où la densité décroît de façon affine jusqu'à s'annuler à $10$ secondes, selon $f(t)=\frac{10-t}{6}k$ sur $[4;10]$. On note $f$ la densité de $X$, nulle en dehors de $[0;10]$.
1. Vérifier que $f$ est continue en $t=4$, quelle que soit la valeur de $k$.
2. Déterminer la valeur exacte de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.
3. Calculer $P(5⩽X⩽9)$, arrondie au millième.
4. Calculer $E(X)$, arrondie au millième.

La durée $X$, en heures, d'un orage estival au-dessus d'une région est modélisée par une variable aléatoire dont la densité $f$ est définie sur $[0;4]$ par $f(x)=kx$, où $k$ est un réel, et nulle en dehors de $[0;4]$.
Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.