Lois discrètes

On lance une pièce équilibrée (probabilité d'obtenir Pile égale à 0,5). Le jeu s'arrête dès que l'on obtient Pile, ou dès que 4 lancers ont été effectués si aucun Pile n'est apparu. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre total de lancers effectués au cours de la partie.

1. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
2. Calculer les probabilités $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(X=3)$ et $P(X=4)$.
3. Vérifier que la somme des probabilités est égale à 1, puis calculer l'espérance mathématique $E(X)$.

Un système biométrique d'accès contrôle la reconnaissance faciale des utilisateurs autorisés. À chaque tentative, la reconnaissance aboutit avec une probabilité constante $p=0,8$. Par mesure d'ergonomie, le terminal autorise au maximum $3$ présentations successives du visage. Si l'accès est accordé à la tentative $k\in \{1,2,3\}$, la porte s'ouvre et la session s'arrête. Si après $3$ tentatives infructueuses l'accès n'est toujours pas accordé, le terminal se verrouille et la session s'arrête également. On note $N$ la variable aléatoire désignant le nombre total de présentations effectuées lors d'une session.

1. Représenter la succession des étapes par un arbre pondéré.
2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $N$ sous la forme d'un tableau ou d'une liste exhaustive.
3. Calculer l'espérance mathématique $E(N)$ et comparer sa valeur à l'espérance d'une loi géométrique non tronquée de paramètre $0,8$.

Un technicien contrôle la qualité d'une série de circuits électroniques. La probabilité qu'un circuit soit défaillant est $p=0,3$. Les circuits sont testés un par un de façon indépendante. Le protocole de contrôle s'arrête dès qu'un circuit défaillant est détecté, ou bien dès que $4$ circuits sains consécutifs ont été validés (le lot est alors accepté sans test supplémentaire). On note $T$ la variable aléatoire désignant le nombre de circuits testés.

1. Préciser les valeurs possibles prises par la variable $T$.
2. Déterminer la loi de probabilité de $T$ en justifiant le calcul pour chaque valeur.
3. Calculer la probabilité que le lot soit accepté au terme du contrôle.
4. Déterminer le nombre moyen de circuits testés par lot.

Pour sécuriser l'accès à un service bancaire en ligne, un système d'authentification biométrique valide une empreinte avec une probabilité $p=0,7$ à chaque tentative. La procédure s'arrête dès que l'empreinte est reconnue. Pour éviter les attaques par force brute, le système bloque la session et s'arrête après un maximum de $3$ tentatives infructueuses. On note $K$ le nombre total de tentatives réalisées au cours de la session.

1. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $K$.
2. Calculer la probabilité des événements $(K=1)$, $(K=2)$ et $(K=3)$.
3. Vérifier que la somme des probabilités des issues est égale à $1$.
4. Calculer l'espérance mathématique $E(K)$ et interpréter sa valeur.

Un ingénieur réseau observe la transmission de paquets d'information et définit trois variables aléatoires distinctes :
- $V_1$ vaut $1$ si un paquet unique transmis est altéré par le bruit de ligne, et $0$ s'il parvient intact, sachant que le taux d'altération est de $0,04$ ;
- $V_2$ compte le nombre total de paquets altérés parmi une série fixée de $25$ paquets émis indépendamment dans les mêmes conditions ;
- $V_3$ compte le nombre de paquets émis successivement jusqu'à ce que survienne la première altération constatée.

1. Pour chacune des variables $V_1$, $V_2$ et $V_3$, préciser la loi de probabilité suivie parmi la loi de Bernoulli, la loi binomiale et la loi géométrique, en donnant ses paramètres.
2. Préciser ce qui distingue la nature de la variable $V_2$ de celle de la variable $V_3$.

Dans une usine de flaconnage, un contrôle qualité étudie un défaut d'étanchéité qui affecte une proportion $p=0,04$ de la production. On envisage trois protocoles d'échantillonnage indépendants :
- Protocole 1 : On prélève un unique flacon et on définit la variable $X_1$ valant $1$ si le flacon est défectueux, et $0$ sinon.
- Protocole 2 : On prélève au hasard et successivement $50$ flacons avec remise, et on note $X_2$ le nombre total de flacons défectueux observés.
- Protocole 3 : On contrôle des flacons un par un jusqu'à rencontrer le premier flacon défectueux, et on note $X_3$ le nombre de flacons contrôlés.

1. Pour chacun des trois protocoles, nommer la loi de probabilité suivie par $X_1$, $X_2$ et $X_3$ et préciser leurs paramètres.
2. Expliquer ce qui distingue fondamentalement les variables $X_2$ et $X_3$.