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Matrices

Cours Exercices

Cours

1Généralités sur les matrices

2Opérations sur les matrices

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3Matrice inverse

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4Écriture matricielle d'un système linéaire

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5Suites de matrices colonnes

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Méthodes10

PavlovIdentifier les matrices particulières : carrée, ligne, colonne, nulle, diagonale, identité

Objectif : Reconnaître immédiatement la nature d'une matrice à partir de sa taille et de la disposition de ses coefficients, pour choisir la bonne méthode de calcul.

Matrice carrée de taille $n$ : autant de lignes que de colonnes ( $n \times n$ ).

Matrice ligne : une seule ligne, $n$ colonnes, de taille $1 \times n$ .

Matrice colonne : une seule colonne, $n$ lignes, de taille $n \times 1$ .

Matrice nulle : tous les coefficients sont nuls, quelle que soit la taille.

Matrice diagonale : matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale principale sont nuls : $D = d_{1} 0 ⋮ 0 0 d_{2} 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ d_{n}$

Matrice identité $I_{n}$ : matrice diagonale particulière avec des $1$ sur toute la diagonale. Elle vérifie $A \times I_{n} = I_{n} \times A = A$ pour toute matrice carrée $A$ de taille $n$ : c'est l'élément neutre du produit matriciel, comme le nombre $1$ pour la multiplication des réels.

Réflexe utile : avant tout calcul (somme, produit), vérifier les tailles des matrices en présence ; c'est souvent l'étape qui évite l'erreur.

TunnelCalculer un produit de matrices et montrer la non-commutativité par un contre-exemple

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ClassiqueCalculer une puissance de matrice diagonale

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TunnelCalculer une puissance de matrice par décomposition en matrice identité plus matrice nilpotente

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TunnelDémontrer qu'une matrice carrée d'ordre deux est inversible et calculer son inverse

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ClassiqueVérifier qu'une matrice candidate est l'inverse d'une matrice donnée

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ClassiqueRésoudre un système linéaire par écriture matricielle

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TunnelDéterminer le terme général d'une suite de matrices colonnes

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ClassiqueDéterminer l'état stable d'une suite de matrices homogène

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TunnelÉtudier une suite de matrices avec terme constant et déterminer son état stable

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Exercices

Matrices lignes, colonnes et diagonales

On considère les quatre matrices suivantes :

A = (07 - 4), B = (30 0 - 5), C = - 1 62, D = 100010001

1. Préciser le format (nombre de lignes et nombre de colonnes) de chacune de ces matrices.
2. Parmi ces quatre matrices, identifier :
a) la matrice ligne ;
b) la matrice colonne ;
c) la matrice carrée diagonale dont les coefficients diagonaux ne sont pas tous égaux ;
d) la matrice identité (ou unité).
3. Donner la valeur des coefficients

c_{2, 1}

de la matrice

C

et

b_{2, 2}

de la matrice

B

.

Vocabulaire et coefficients d'une matrice

On considère la matrice

M

définie par :

M = (42 - 1 5 0 - 3)

1. Préciser le format (ou la taille) de la matrice

M

. S'agit-il d'une matrice carrée, d'une matrice ligne ou d'une matrice colonne ?
2. Combien de coefficients cette matrice comporte-t-elle au total ?
3. Donner les valeurs respectives des coefficients

m_{1, 2}

,

m_{2, 1}

et

m_{2, 3}

.

Format et coefficients d'une matrice rectangulaire

On donne les deux matrices suivantes :

M = (42 - 1 7 0 - 3 58) et C = - 6 31

1. Donner le format (nombre de lignes et nombre de colonnes) de chacune des matrices

M

et

C

.
2. Préciser la nature particulière de la matrice

C

(matrice ligne, matrice colonne ou matrice carrée).
3. Déterminer la valeur des coefficients

m_{1, 4}

,

m_{2, 2}

et

m_{2, 3}

de la matrice

M

, ainsi que le coefficient

c_{3, 1}

de la matrice

C

.
4. Le coefficient

m_{4, 1}

est-il défini pour la matrice

M

? Justifier la réponse.

Puissance n-ième par décomposition nilpotente et récurrence

On considère la matrice carrée d'ordre 2 :

A = (3023)

On introduit les matrices

J = 3 I_{2} = (3003)

et

N = (0020)

.
1. Vérifier que

A = J + N

, puis calculer la matrice

N^{2}

.
2. Justifier que la matrice

J

commute avec n'importe quelle matrice carrée

M

d'ordre 2, c'est-à-dire que

J \times M = M \times J

.
3. Calculer les matrices

A^{2}

et

A^{3}

en utilisant la décomposition

A = J + N

.
4. Émettre une conjecture donnant l'expression explicite de la matrice

A^{n}

pour tout entier naturel

n ⩾ 1

sous la forme

3^{n} I_{2} + n 3^{n - 1} N

.
5. Démontrer cette conjecture par récurrence sur

n

.
6. En déduire la matrice explicite

A^{6}

.

Validation de l'inverse par le produit matriciel

On donne les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :

A = (7231) et B = (1 - 2 - 3 7)

1. Rappeler la définition de la matrice inverse d'une matrice carrée

A

d'ordre 2.
2. Calculer le produit matriciel

A \times B

.
3. Calculer le produit matriciel

B \times A

.
4. Que peut-on en conclure concernant la matrice

A

et la matrice

B

?

Partie 1

Une étude prouve que chaque année depuis 2015 :
- 5 % des adhérents d'un parti A quittent ce parti pour adhérer au parti B.
- À l'inverse, 8 % des adhérents du parti B le quittent pour adhérer au parti A.
En 2015, le parti A comptait 40 000 adhérents et le parti B en comptait 70 000.

a) Prouver qu'en 2016, les parties A et B comptaient respectivement 43 600 et 66 400 adhérents.
b) On considère que 2015 est l'année 0 et on note :
- $a_{n}$ le nombre d'adhérents au parti A à l'année $n$ ;
- $b_{n}$ le nombre d'adhérents au parti B à l'année $n$ .
Exprimer $a_{n + 1}$ puis $b_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$ .
c) Écrire un algorithme permettant de calculer le nombre d'adhérents en 2025. On recopiera le programme sur la copie à rendre.
Indice Q1
a) On considère $U_{n}$ les matrices $(a_{n} b_{n})$ . Donner la matrice carrée $A$ d'ordre 2 telle que : $U_{n + 1} = A U_{n}$ .
b) A l'aide d'un calcul matriciel, retrouver le résultat établi à la question 1c.
c) Conjecturer la répartition des adhérents dans un futur éloigné.
Semble-t-on obtenir un état stable ?
Indice Q2