THE MATHS TAILOR
Propriétés du conjugué (pour z,z′∈C, n∈N∗)
zˉ=z,z+z′=zˉ+zˉ′,zz′=zˉzˉ′,zn=zˉn,(z1)=zˉ1 (z=0)
Caractérisations utiles
- z est réel ⟺z=zˉ
- z est imaginaire pur ⟺z=−zˉ
- z+zˉ=2Re(z) et z−zˉ=2iIm(z)
*Application :* pour prouver qu'un nombre Z est réel, il suffit de montrer Z=Zˉ. Pour conjuguer une expression composée, on conjugue terme à terme, par exemple i3+2i=iˉ3+2i=−i3−2i.
Démontrons les deux propriétés les plus utiles du conjugué à partir de la forme algébrique, puis la caractérisation des réels.
Étape 1. Conjugué d'une somme.
Écrivons z=a+ib et z′=a′+ib′ avec a,b,a′,b′∈R. Alors z+z′=(a+a′)+i(b+b′), donc par définition du conjugué :z+z′=(a+a′)−i(b+b′)=(a−ib)+(a′−ib′)=zˉ+zˉ′.
Étape 2. Conjugué d'un produit.
On calcule zz′=(a+ib)(a′+ib′)=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b), dont le conjugué vaut (aa′−bb′)−i(ab′+a′b). D'autre part :zˉzˉ′=(a−ib)(a′−ib′)=(aa′−bb′)−i(ab′+a′b).Les deux expressions coïncident, donc zz′=zˉzˉ′. Le point clé est que i2=−1 joue le même rôle dans les deux calculs, ce qui force l'égalité terme à terme.
Étape 3. Caractérisation des réels.
Si z=zˉ, alors a+ib=a−ib, donc 2ib=0, donc b=0 : z est réel. Réciproquement, si z est réel (b=0), alors zˉ=a−i⋅0=a=z. D'où l'équivalence z réel ⟺z=zˉ, qui se transpose de la même façon en z imaginaire pur ⟺z=−zˉ (en annulant la partie réelle plutôt que la partie imaginaire).