Orthogonalité dans l'espace

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace et $\theta \in [0;\pi ]$ l'angle géométrique qu'ils forment (obtenu en plaçant $\vec{u}$ et $\vec{v}$ à partir d'une même origine). Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \times \Vert \vec{v}\Vert \times \cos \theta$$si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, et $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ si l'un des deux est le vecteur nul.

Cette définition ne fait intervenir que les normes de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et l'angle qu'ils forment, mesuré dans un plan qui les contient (deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires dès qu'on les place à partir d'un point commun) : le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace se calcule donc comme dans le plan, et l'on admet que ses propriétés algébriques restent vraies dans l'espace, même pour trois vecteurs non coplanaires.

Propriétés algébriques. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ de l'espace et tout réel $k$ :

• symétrie : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$ ;
• bilinéarité : $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u})\cdot \vec{v}=k(\vec{u}\cdot \vec{v})$ ;
• $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2\ge 0$, avec $\vec{u}\cdot \vec{u}=0$ si et seulement si $\vec{u}=\vec{0}$.

Pour la décomposition d'un vecteur en combinaison linéaire, la colinéarité et la coplanarité de vecteurs de l'espace, propriétés purement affines indépendantes du produit scalaire, voir le chapitre Vecteurs, droites et plans de l'espace.