Polynômes

Soit la fraction $F = \dfrac{1}{X(X + 1)}$.

Exprimer la dérivée d'ordre $n$ de $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$.

Soit $F = \dfrac{1}{X^2 + 1} \in \mathbb{C}(X)$.

Soit $F = \dfrac{1}{(X - 1)^3(X + 1)^3}$.

On pose $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ avec $k \in \{0, \ldots, n - 1\}$ et $n \geq 2$. Réduire au même dénominateur $F = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{X - \omega_k}$.

Soient $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq 2$ et $p \in \{0, 1, \ldots, n - 1\}$. On pose $\omega_k = \exp\left(\dfrac{2ik\pi}{n}\right)$. Mettre sous forme irréductible la fraction $\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\omega_k^p}{X - \omega_k}$.

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $z_1, z_2, \ldots, z_n \in \mathbb{C}$ deux à deux distincts. On pose $Q = \prod_{k=1}^{n} (X - z_k)$.

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples $x_1, \ldots, x_n$.

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples : $x_1, \ldots, x_n$.

Résoudre les équations suivantes :

Trouver les $P \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P(X^2) = (X^2 + 1)P(X)$.

Résoudre les équations suivantes :

Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Montrer
$$P(X + 1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n!} P^{(n)}(X).$$

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que $a \in \mathbb{R}$ vérifie $P(a) > 0$ et $\forall k \in \mathbb{N}^*, \; P^{(k)}(a) \geq 0$. Montrer que le polynôme $P$ ne possède pas de racines dans $[a ; +\infty[$.

Soient $a \in \mathbb{K}$ et $P \in \mathbb{K}[X]$. Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a)^2$ en fonction de $P(a)$ et $P'(a)$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : 1. $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$. 2. $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$. 3. $4x^4 + 4x^2 - 3 = 0$. 4. $x - 3\sqrt{x} - 4 = 0$.

1. On considère l'équation $2x^3 - 13x^2 + 5x + 6 = 0$ $(E_1)$ (a) Montrer que le nombre 1 est racine de $(E_1)$. (b) Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $2x^3-13x^2+5x+6 = (x-1)(ax^2+bx+c)$. (c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E_1)$ 2. Après avoir déterminé une racine évidente, résoudre les équations suivantes : (a) $6x^3 + 25x^2 + 21x - 10 = 0$ $(E_2)$. (b) $x^3 - x^2 - 4x - 6 = 0$ $(E_3)$. (c) $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 8x + 4 = 0$ $(E_4)$. (Il faut trouver deux racines évidentes)

Décomposer en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2 les polynômes $(x+1)^5 - x^5 - 1$ $(x+1)^7 - x^7 - 1$.

L'équation $x^2 - x - 9 = 0$ admet deux solutions $x'$ et $x''$ ; sans les calculer, déterminer les expressions suivantes : $x'^2 + x''^2$ et $(x' - x'')^2$.

L'équation $x^2 - x - 9 = 0$ admet deux solutions $x'$ et $x''$ ; sans les calculer, déterminer les expressions suivantes : $x'^3 + x''^3$ et $x'^4 + x''^4$.

Résoudre l'équation $3x^4 - 4x^3 + 1 = 0$.

On donne des nombres réels $a$, $b$, $c$. Donner, sans utiliser les formules de résolution, les racines des équations suivantes : $ax^2 + bx + c = a + b + c$ $x^2(a - b) + x(b - c) + c - a = 0$

On donne des nombres réels $a$, $b$, $c$, $d$. Déterminer $x$ en sorte que la somme $(x-a)^2 + (x-b)^2 + (x-c)^2 + (x-d)^2$ soit minimale.