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Polynômes | The Maths Tailor

Polynômes

Cours Exercices

Cours— 5 sections

0Introduction

0. Introduction

0.1. Convention

Remarque

Dans tout ce chapitre,

\mathbb{K}

désigne les corps

\mathbb{R}

\mathbb{C}

1Polynômes à une indéterminée à coefficients dans

\mathbb{K}

2Division euclidienne

4Factorisation

5Compléments

Cours

0Introduction

1Polynômes à une indéterminée à coefficients dans

\mathbb{K}

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2Division euclidienne

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4Factorisation

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5Compléments

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Méthodes35

PavlovRaisonnement par le degré

Comparer les degrés des deux membres pour obtenir une équation sur

\deg P

.
\nSi

P

non constant, cette équation contraint fortement

\deg P

(souvent une seule valeur possible).
\nPuis chercher par coefficients indéterminés dans l'espace de dimension finie correspondant.

PavlovChangement de variable dans les équations polynomiales

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TunnelRecherche et utilisation de racines évidentes

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PavlovForme canonique d'un polynôme du second degré

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ClassiqueRacines multiples ↔ racines communes avec la dérivée

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ClassiqueIntroduire

f(x) = P(x)e^{\alpha x}

pour étudier

P' + \alpha P

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Classique

(X - a_1)...(X - a_k) \mid P - c

quand

P(a_i) = c

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ClassiqueMultiplicité

\geq k

ssi annulation des

k-1

premières dérivées

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ClassiqueÉquations fonctionnelles

P(X^2) = P(X)Q(X)

→ racines de module 1

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ClassiqueFormule de Leibniz pour les dérivées de produits

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TunnelMontrer que

P'

est scindé quand

P

est scindé

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TunnelLemme des racines rationnelles

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TunnelInterpolation de Lagrange

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TunnelFactorisation par division euclidienne

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PavlovFormule de Taylor polynomiale

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PavlovÉvaluer en des racines connues

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ClassiquePasser dans

\mathbb{C}[X]

pour évaluer en des racines complexes

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TunnelCalculer le reste de la division euclidienne

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TunnelTrouver le reste dans la division euclidienne

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ClassiqueDémontrer que B divise A

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Classique

A - B \mid A^k - B^k

pour prouver des divisibilités

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PavlovComplétion du carré pour factoriser

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PavlovVoir

X^2 + X + 1

→ penser à

j

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PavlovQuantité conjuguée : voir

a + b

→ penser à

a - b

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ClassiqueLinéarisation trigonométrique → racines explicites

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ClassiqueProduits avec sinus/cosinus → racines

n

-ièmes et

X^n - 1

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TunnelFactorisation de

X^n - 1

dans

\mathbb{C}[X]

puis

\mathbb{R}[X]

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TunnelPolynômes de Tchebychev

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TunnelDécomposer un polynôme en produit d'irréductibles

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TunnelRelations coefficients-racines (formules de Viète)

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ClassiqueExploiter une contrainte additionnelle sur les racines

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TunnelRésolution de systèmes symétriques via les

\sigma_k

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TunnelRelations de Newton

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ClassiquePropriétés sur les racines

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PavlovThéorème de Gauss pour les divisibilités

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Exercices

\mathbb{K}[X]

Résoudre les équations suivantes :

$Q^2 = XP^2$ d'inconnues $P, Q \in \mathbb{K}[X]$
$P \circ P = P$ d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$ .

Indication

Appliquer la Raisonnement par le degré (raisonnement par le degre) : comparer les degres des deux membres de chaque equation pour contraindre

\deg P

, puis chercher le polynome par coefficients indetermines.

P(X^2)=(X^2+1)P(X)

Trouver les

P \in \mathbb{R}[X]

tels que

P(X^2) = (X^2 + 1)P(X)

Indication

Appliquer la Raisonnement par le degré (raisonnement par le degre) : comparer les degres des deux membres

P(X^2) = (X^2+1)P(X)

pour trouver que

\deg P = 2

, puis chercher

P = aX^2 + bX + c

par identification.

\mathbb{K}[X]

Résoudre les équations suivantes :

$P'^2 = 4P$ d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$
$(X^2 + 1)P'' - 6P = 0$ d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$ .

Indication

Appliquer la Raisonnement par le degré (raisonnement par le degre) : pour chaque equation, comparer les degres des deux membres pour contraindre

\deg P

, puis identifier les coefficients.

X^6+X^5+3X^4+\ldots

Soit

P

le polynôme suivant,

X^6 + X^5 + 3X^4 + 2X^3 + 3X^2 + X + 1.

Vérifier que $i$ est racine multiple de $P$ .
En déduire la décomposition de $P$ sur $\mathbb{R}$ .

Indication

Appliquer la Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles et la Multiplicité

\geq k

ssi annulation des

k-1

premières dérivées : verifier

P(i) = 0

P'(i) = 0

pour montrer que

i

est racine double ; en deduire que

-i

est aussi racine double (coefficients reels), puis factoriser

P

par

(X^2+1)^2