THE MATHS TAILOR
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur I telle que F′=f. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle (résultat admis à ce stade du programme, il sera établi dans le chapitre sur le calcul intégral en construisant F(x)=∫axf(t)dt). Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x↦F(x)+C, C∈R : deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.
Démontrons que deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle I diffèrent d'une constante. L'existence d'au moins une primitive est en revanche admise à ce niveau : elle sera établie dans le chapitre sur le calcul intégral, en montrant que x↦∫axf(t)dt est dérivable de dérivée f.
Étape 1. Introduire la différence des deux primitives.
Soient F et G deux primitives de f sur I : par définition, F′=f et G′=f sur I. Posons H=F−G. La fonction H est dérivable sur I comme différence de fonctions dérivables, etH′(x)=F′(x)−G′(x)=f(x)−f(x)=0pour tout x∈I.
Étape 2. Une dérivée nulle sur un intervalle caractérise une fonction constante.
C'est un résultat acquis, établi dès l'étude du sens de variation par le signe de la dérivée : sur un intervalle I, une fonction dérivable dont la dérivée est nulle en tout point est constante sur I. Le point essentiel est que I soit un intervalle, sans hypothèse de connexité deux primitives pourraient différer d'une constante différente sur chaque morceau du domaine.
Étape 3. Conclure.
En appliquant ce résultat à H=F−G, il existe une constante réelle C telle que H(x)=C pour tout x∈I, c'est-à-direF(x)=G(x)+Cpour tout x∈I.Réciproquement, si G est une primitive de f et C∈R, alors x↦G(x)+C est dérivable de dérivée G′=f : c'est bien une primitive de f. L'ensemble des primitives de f sur I est donc exactement l'ensemble des fonctions x↦G(x)+C, C∈R, dès qu'on en connaît une, G.