Probabilités sur un univers fini

Déterminer une probabilité sur $\Omega =\{1,2,\dots ,n\}$ telle que la probabilité de l'événement $\{k\}$ soit proportionnelle à $k$.

Soient $A$, $B$ deux parties d'un ensemble $\Omega$ fini vérifiant$$A\cap B\ne \varnothing ,A\cap \overline{B}\ne \varnothing ,\overline{A}\cap B\ne \varnothing \text{et}\overline{A}\cap \overline{B}\ne \varnothing .$$À quelle condition sur $(a,b,c,d)\in ]0;1{[}^4$ existe-t-il une probabilité $P$ sur $\Omega$ vérifiant$$P(A|B)=a,P(A|\overline{B})=b,P(B|A)=c\text{et}P(B|\overline{A})=d?$$

On considère $n$ sacs $S_1,\dots ,S_n$. Le sac $S_k$ contient $k$ jetons blancs et $n+1-k$ jetons noirs. On choisit un sac aléatoirement, de sorte que le sac $S_k$ est choisi avec la probabilité $\alpha k$ pour tout $1\le k\le n$, pour un certain réel $\alpha$ fixé. On tire ensuite un jeton au hasard dans le sac choisi.

Une urne contient 4 boules blanches et 3 boules noires. Donner les résultats aux questions suivantes en forme de fraction irréductible.

On considère une urne contenant 3 boules vertes et 3 boules rouges. On lance un dé et on tire simultanément dans l'urne autant de boules que le chiffre obtenu. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi de $X$.