Produit Scalaire

Formule : Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs de même origine $A$, alors :$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos (\widehat{BAC})$$

Méthode :
1. Si les deux vecteurs n'ont pas la même origine, utiliser la relation de Chasles pour les ramener à une origine commune.
2. Repérer les longueurs des deux vecteurs et l'angle géométrique qu'ils forment.
3. Appliquer la formule ci-dessus, en n'oubliant pas que $\cos$ est négatif pour un angle obtus.

Exemple : Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $6$. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont pour origine commune $A$ et l'angle $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ (triangle équilatéral), donc :$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\times 6\times \cos (60^{\circ })=36\times \frac{1}{2}=18$$

Exemple (vecteurs sans origine commune) : Dans le triangle équilatéral $ABC$ de côté $6$ précédent, soit $I$ le milieu de $[AB]$ (donc $AI=3$). Calculer $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}$.

On construit $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, ce qui donne deux vecteurs de même origine $A$, avec $AD=BC=6$ et un angle $\widehat{IAD}=120^{\circ }$ (angle entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$, supplémentaire de l'angle $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ du triangle équilatéral) :$$\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{AD}=AI\times AD\times \cos (\widehat{IAD})=3\times 6\times \cos (120^{\circ })=18\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-9$$