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Réduction géométrique | The Maths Tailor

Réduction géométrique

Cours Exercices

Cours

1Rappels et compléments

2Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée

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3Diagonalisabilité

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4Trigonalisabilité

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Méthodes6

ClassiqueRéduire un endomorphisme quelconque

Quand on a un endomorphisme $φ \in L (E)$ défini sur un espace de polynômes, de matrices, ou sur un espace de dimension infinie, sa réduction ne nécessite pas toujours de calculer le polynôme caractéristique de $φ$ .
Le plus souvent, on cherche simultanément les éléments propres (valeurs propres et vecteurs propres) en étudiant l'équation aux éléments propres $φ (x) = λ x$ et en déterminant des conditions sur $λ$ pour que cette équation admette des solutions $x$ non nulles.

ClassiquePropriétés vérifiées par un endomorphisme diagonalisable

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TunnelÉtudier si une matrice est diagonalisable et la diagonaliser le cas échéant

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ClassiqueDéterminer une racine carrée, cubique, n-ième d'une matrice, ou sa puissance n-ème

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PavlovA la recherche de contre-exemples

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TunnelTrigonaliser une matrice A

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Exercices

Mines-Télécom (hors Mines-Ponts) MP 2021

Soit l'endomorphisme

u : {M_{n} (R) ⟶ M_{n} (R) M ⟼ M + tr (M) I_{n}

Déterminer les valeurs propres de

u

, ainsi que les espaces propres associés.

Indication

Nilpotence de T (M) = A M - M A et réciproque

Soit

A \in M n

(C). On considère l'endomorphisme T de Mn(C) défini par
T(M) = AM -MA.

On suppose que la matrice $A$ est nilpotente. Montrer que l'endomorphisme $T$ est aussi nilpotent.
Réciproque ?

Indication

Spectre de la dérivation sur C^{\infty} (R)

Soient E = C

\infty

(R, R) et D l'endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f '.
Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés.

Indication

Spectre d'un opérateur à noyau min (x, t)

Soit E = C([0 ; 1], R). Si

f \in E

on pose
T(f): x

\in

[0 ; 1] 7

\to

Z 1
min(x, t)f(t) dt.

Vérifier que T est un endomorphisme de E.
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T.

Indication

Éléments propres de Φ sur R_{4} [X]

Soient

n \in N

et

Φ

l'endomorphisme de

R_{4} [X]

défini par

Φ (P) = (X^{2} - 1) P^{'} (X) - (4 X + 1) P (X)

.

Montrer que $Φ$ , qui à P associe
(X2 -1)P '(X) -(4X + 1)P(X)
est un endomorphisme de R4[X].
Résoudre l'équation différentielle
y' =
5 - $λ$
2(x -1) +
3 + $λ$
2(x + 1)
"
y.
En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de $Φ$ .

Indication

Éléments propres de l'opérateur X P^{'}

Soit

φ

l'endomorphisme de

K [X]

défini par

φ (P) = X P^{'}

pour tout

P \in K [X]

. Déterminer les éléments propres de

φ

.

Indication