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Statistique à deux variables | The Maths Tailor

Statistique à deux variables

Cours Exercices

Cours

1Série statistique à deux variables

2Ajustement affine

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3Ajustement par changement de variable

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Méthodes11p.1/2

PavlovConstruire un nuage de points et déterminer le point moyen

Objectif : Représenter une série statistique à deux variables $(x_{i}; y_{i})$ et calculer les coordonnées de son point moyen.

Étape 1 : Représenter le nuage de points

Dans un repère orthogonal, placer chaque point $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ pour $i = 1, \dots, n$ . L'ensemble des points $M_{i}$ ainsi obtenu est le nuage de points associé à la série statistique.

Étape 2 : Calculer les coordonnées du point moyen

$\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i} \overset{y}{ˉ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n y_{i}$

Le point $G (\overset{x}{ˉ}; \overset{y}{ˉ})$ est appelé point moyen du nuage.

Étape 3 : Analyser la forme du nuage

Si les points semblent globalement alignés, un ajustement affine (droite) est envisageable. Si le nuage a une forme courbe caractéristique (croissance rapide, allure de puissance...), un changement de variable sera nécessaire pour se ramener à une situation linéaire.

ClassiqueRéaliser une prévision par ajustement affine et évaluer sa fiabilité

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ClassiqueDéterminer une droite d'ajustement par la méthode de Mayer

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TunnelDémontrer que la droite des moindres carrés passe par le point moyen

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PavlovComparer la méthode de Mayer et la méthode des moindres carrés

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TunnelÉtudier l'effet d'un changement de variable affine sur la moyenne et la variance

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ClassiqueInterpréter le coefficient de corrélation linéaire pour juger la pertinence d'un ajustement affine

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TunnelDémontrer la formule du coefficient directeur de la droite des moindres carrés

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ClassiqueEffectuer un ajustement exponentiel par changement de variable

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ClassiqueEffectuer un ajustement par changement de variable avec une fonction de référence (carré, cube, inverse, racine carrée)

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Exercices

Nuage de points

Le taux de réussite à l'épreuve du Baccalauréat n'a pas toujours été aussi élevé qu'il l'est aujourd'hui. En 1980 par exemple, seul un quart d'une classe d'âge était bachelier. En 1930, ce taux était inférieur à 5%. Aujourd'hui, un peu plus des trois quarts d'une classe d'âge possède ce précieux diplôme.
Le tableau suivant donne la proportion, en %, de bacheliers dans une génération entre 1980 et 2015.

Année	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Prop. en %	26	26	27	28	29	29	31	33	36	40	44	48	51	55	60	63	62	62

Année	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
Prop. en %	63	62	63	62	62	63	62	61	63	63	62	65	65	71	77	74	77	77

Dans un repère tracé sur toute la largeur d'une copie-double, construire le nuage de points associé à la série statistique

(x_{i}; y_{i})

avec

x_{i}

le rang de l'année et

y_{i}

la proportion de bacheliers.
On prendra comme unités 1 cm pour 2 années en abscisse et 1 cm pour 5 % en ordonnée.

Indication

Point moyen

Calculer les coordonnées du point moyen G et placer ce point dans le repère.

Nuage de points

Dans le tableau suivant, on a reporté le nombre de nouveaux cas journaliers atteints du virus de la Covid-19, toutes les quinzaines et du 15 juillet au 30 octobre 2020.
Source : European Centre for Disease Prevention and Control (moyennes sur 7 jours glissants).

Jour	15 juil.	30 juil.	15 août	30 août	15 sept.	30 sept.	15 oct.	30 oct.
Numéro du relevé $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
Nombre de cas $y$	510	980	2041	4933	8325	11803	17936	40532

Représenter le nuage de points

(x; y)

dans un repère.

Indication

Calcul des coordonnées du point moyen d'une série bivariée

On relève la consommation électrique journalière

y

(en kilowattheures,

kWh

) d'un atelier artisanal en fonction de la température extérieure moyenne

x

(en degrés Celsius,

^{\circ} C

) sur cinq journées consécutives d'hiver :

| Température

x_{i}

(

^{\circ} C

) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| Consommation

y_{i}

(

kWh

) | 145 | 138 | 126 | 115 | 106 |

1. Calculer la température moyenne

\overset{x}{ˉ}

.
2. Calculer la consommation électrique moyenne

\overset{y}{ˉ}

.
3. En déduire les coordonnées du point moyen

G

du nuage de points associé à cette série.

1. Calculer la température moyenne $\overset{x}{ˉ}$ .
2. Calculer la consommation électrique moyenne $\overset{y}{ˉ}$ .
3. En déduire les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points associé à cette série.

Placement de points et graduation pour un suivi de production hydroélectrique

Un exploitant de centrale hydroélectrique relève le débit moyen

x

d'un cours d'eau (en

m^{3} /s

) et la puissance électrique produite

y

(en mégawatts, notés

MW

) sur cinq journées types :

D \overset{e}{ˊ} bit x_{i} (en m^{3} /s) Puissance y_{i} (en MW) 12361545185322642572

1. Donner les coordonnées de chacun des cinq points du nuage associé à cette série statistique.
2. Déterminer une échelle appropriée sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées pour représenter ce nuage dans un repère orthogonal de dimensions

10 cm \times 10 cm

.
3. Décrire l'allure générale du nuage de points et préciser si un ajustement affine semble envisageable.

Donner les coordonnées de chacun des cinq points du nuage associé à cette série statistique.
Déterminer une échelle appropriée sur chaque axe pour représenter ce nuage.
Décrire l'allure générale du nuage de points et préciser si un ajustement affine semble envisageable.

Extrapolation simple à l'aide d'une droite de régression

Le nombre d'abonnés à une revue culturelle en ligne, noté

y

(en milliers), a été modélisé entre 2018 (

x_{1} = 1

) et 2023 (

x_{6} = 6

) par la droite de régression linéaire suivante :

y = 2, 8 x + 15, 4

1. Donner une estimation du nombre d'abonnés pour l'année 2026 en faisant l'hypothèse que la tendance constatée se poursuive à l'identique.
2. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation, et indiquer la réserve méthodologique qui s'impose.

1. Donner une estimation du nombre d'abonnés pour l'année 2026 en faisant l'hypothèse que la tendance constatée se poursuive à l'identique.
2. Préciser s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation, et indiquer la réserve méthodologique qui s'impose.