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Suites Arithmétiques et Suites Géométriques | The Maths Tailor

Suites Arithmétiques et Suites Géométriques

Cours Exercices

Cours

1Suites arithmétiques

2Suites géométriques

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3Sommes de termes consécutifs

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Méthodes11p.1/2

TunnelÉtudier le sens de variation d'une suite arithmétique

Propriété : $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $r$ .
- Si $r > 0$ , alors $(u_{n})$ est croissante.
- Si $r < 0$ , alors $(u_{n})$ est décroissante.
- Si $r = 0$ , alors $(u_{n})$ est constante.

Méthode

1. Identifier ou calculer la raison $r$ de la suite arithmétique.
2. Comparer $r$ à $0$ .
3. Conclure directement grâce à la propriété, sans avoir besoin d'étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ terme par terme (c'est justement ce que dit la propriété).

*Exemple a)* $(u_{n})$ définie par $u_{n} = 3 + 5 n$ est arithmétique de raison $r = 5 > 0$ : elle est croissante.

*Exemple b)* $(v_{n})$ définie par $v_{0} = - 3$ et $v_{n + 1} = v_{n} - 4$ est arithmétique de raison $r = - 4 < 0$ : elle est décroissante.

Point de vigilance : cette méthode ne s'applique qu'à une suite déjà reconnue comme arithmétique ; pour une suite quelconque, il faut étudier directement le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Pourquoi ça marche

Démonstration.

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ , c'est-à-dire $u_{n + 1} = u_{n} + r$ pour tout $n$ .

Calculons la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n + 1} - u_{n} = (u_{n} + r) - u_{n} = r$

Cette différence est constante et vaut exactement $r$ , quel que soit $n$ .

- Si $r > 0$ , alors $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ pour tout $n$ , c'est-à-dire $u_{n + 1} > u_{n}$ pour tout $n$ : $(u_{n})$ est donc croissante.
- Si $r < 0$ , alors $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ pour tout $n$ , c'est-à-dire $u_{n + 1} < u_{n}$ pour tout $n$ : $(u_{n})$ est donc décroissante.
- Si $r = 0$ , alors $u_{n + 1} = u_{n}$ pour tout $n$ : $(u_{n})$ est constante.

ClassiqueReconnaître une suite arithmétique ou géométrique à partir de sa représentation graphique

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TunnelÉtudier le sens de variation d'une suite géométrique

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PavlovCalculer la somme des termes d'une suite arithmétique

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TunnelDémontrer et utiliser la formule de la somme des n premiers entiers

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ClassiqueCalculer une somme de termes consécutifs à bornes quelconques

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TunnelCalculer la somme des termes d'une suite géométrique

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PavlovCalculer une somme de puissances d'un même nombre

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ClassiqueModéliser une situation financière par une somme de termes d'une suite géométrique

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ClassiqueProgrammer un algorithme de calcul d'une somme de termes

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Exercices

Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

u_{n} = - 8 + 3 n

, et la suite

(v_{n})

définie par

v_{0} = 40

et, pour tout entier

n

,

v_{n + 1} = v_{n} - 2, 5

.

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.
2. Justifier que

(v_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.

Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques

Un drone décolle et son altitude, en mètres, après

n

secondes est modélisée pour tout entier

n \geq 0

par

(a_{n})

avec

a_{n} = 2 + 3, 5 n

. Le niveau d'un réservoir de carburant, en litres, est modélisé par

(b_{n})

avec

b_{0} = 60

et, pour tout entier

n

,

b_{n + 1} = b_{n} - 1, 2

.

1. Justifier que

(a_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.
2. Justifier que

(b_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.

Étudier le sens de variation de deux suites arithmétiques (score e-sport et niveau d'encre)

On considère la suite

(s_{n})

, qui modélise le score cumulé d'un joueur lors d'un tournoi e-sport, définie pour tout entier

n \geq 0

par

s_{n} = 120 + 45 n

(où

n

désigne le numéro de la manche), et la suite

(e_{n})

, qui modélise le niveau d'encre restant, en

%

, dans une imprimante après

n

pages imprimées, définie par

e_{0} = 100

et, pour tout entier

n

,

e_{n + 1} = e_{n} - 0, 8

.

1. Justifier que

(s_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.
2. Justifier que

(e_{n})

est arithmétique et déterminer son sens de variation.

Reconnaître une épargne régulière à partir de son nuage de points

Chaque mois, Lina note le montant

u_{n}

, en euros, de son épargne

n

mois après le début de l'année, pour

n

allant de

0

à

5

. Elle représente les points

(n; u_{n})

ci-dessous.

Les ordonnées lues sur le graphique sont, dans l'ordre,

40

,

55

,

70

,

85

,

100

et

115

.

1. Les points semblent-ils alignés ? Quelle nature de suite peut-on conjecturer ?
2. Calculer les différences

u_{1} - u_{0}

,

u_{2} - u_{1}

et

u_{3} - u_{2}

, puis une quatrième

u_{5} - u_{4}

. Que constate-t-on ?
3. En déduire la nature de la suite

(u_{n})

, sa raison, et une expression de

u_{n}

en fonction de

n

.
4. Quelle épargne Lina aura-t-elle au bout de

10

mois, si ce rythme se maintient ?

Partie 2

Dans cette partie, on prendra

R = 1, 27

comme taux de reproduction hebdomadaire du virus.
On note

u_{n}

le nombre de nouveaux cas à la

n

-ième semaine après le

5

septembre.
On a donc :

u_{0} = 8550

. Et on admettra que le modèle mathématique reste valable au-delà du

24

octobre 2020.

1) a) Quelle est la nature de la suite

(u_{n})

? Déterminer sa raison.
b) Écrire, pour tout entier naturel

n

, l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

.

2) Calculer

u_{7}

et interpréter le résultat.

3) Calculer le nombre de nouveaux cas :
- le

31

octobre,
- le

21

novembre.

4) Selon ce modèle, à quelle date, le nombre de nouveaux cas journaliers dépasserait-il théoriquement le million ? Détailler la démarche mise en œuvre pour trouver (par calcul, à l'aide d'un tableur, ...).
5) Calculer le nombre total de cas cumulés entre le samedi

5

septembre et le vendredi

6

novembre inclus.
*Indication : Pour simplifier les calculs, on considère que le nombre de malades reste constant sur les 6 jours consécutifs à un samedi donné.*

Indication

Comparer deux flottes de véhicules de livraison écologique (problème de synthèse)

Une entreprise de livraison « verte » développe deux flottes de véhicules électriques pour ses tournées urbaines, à partir de l'année de lancement (

n = 0

).

La flotte A (vélos-cargos électriques) est constituée de

15

vélos au lancement, et l'entreprise en achète

9

de plus chaque année :

a_{0} = 15

et, pour tout entier

n

,

a_{n + 1} = a_{n} + 9

.

La flotte B (camionnettes électriques en location longue durée) est constituée de

4

camionnettes au lancement, et le parc est multiplié par

1, 5

chaque année grâce à un partenariat de location (modèle dont les valeurs ne sont pas toujours entières) :

b_{0} = 4

et, pour tout entier

n

,

b_{n + 1} = 1, 5 b_{n}

.

1. Justifier la nature de chacune des deux suites

(a_{n})

et

(b_{n})

, et donner leur expression en fonction de

n

.
2. Calculer la somme

a_{0} + a_{1} + \dots + a_{7}

des effectifs annuels de la flotte A sur les

8

premières années (de

n = 0

à

n = 7

), qui mesure le nombre de « vélos-années » d'exploitation.
3. Calculer de même la somme

b_{0} + b_{1} + \dots + b_{7}

des effectifs annuels de la flotte B sur les

8

premières années (de

n = 0

à

n = 7

), arrondie au centième.
4. En dressant un tableau de valeurs, déterminer à partir de quelle année le nombre de camionnettes de la flotte B dépasse le nombre de vélos-cargos de la flotte A.