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Systèmes linéaires | The Maths Tailor

Systèmes linéaires

Cours Exercices

Cours

1Notion de système linéaire

2Structure de l'ensemble des solutions

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3Résolution d'un système linéaire

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4Quelques exemples

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Méthodes3

TunnelRésolution d'un système linéaire

Pour résoudre un système linéaire, on utilise la méthode du pivot de Gauss pour le ramener à un système échelonné.

On cherche une ligne faisant apparaître la première inconnue. Le coefficient apparaissant devant cette inconnue s'appelle le pivot.
On fait un échange de lignes pour amener le pivot sur la première ligne.
On fait disparaître la première inconnue des autres lignes à l'aide d'opérations élémentaires $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{1}$ .
On recommence à partir de la deuxième ligne et de l'inconnue suivante qui apparaît encore dans les lignes suivantes.

Après application de la méthode du pivot de Gauss, on arrive à un système échelonné. Les dernières équations, qui ne font plus intervenir les inconnues, sont des relations de compatibilité. S'il existe une ligne du type

0 = b_{i}^{'}

avec

b_{i}^{'}

non nul, alors le système n'admet pas de solutions.

Si au contraire il n'y a pas de telle ligne, on appelle inconnue principale une inconnue $x_{i}$ se plaçant en tête d'une des lignes du système. On résout en exprimant les inconnues principales en fonction des autres inconnues (paramètres libres), par substitution de bas en haut. S'il n'y a pas d'inconnues qui ne sont pas principales, le système admet une solution unique. Sinon, le système admet une infinité de solutions.

ClassiqueSystèmes à structure circulaire/cascade

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TunnelCalcul de l'inverse par pivot de Gauss

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Exercices

CCP — système 3 \times 3 param. a, b

Discuter suivant

a

b

et résoudre

⎩ ⎨ ⎧ a x + 2 b y + 2 z = 1 2 x + ab y + 2 z = b 2 x + 2 b y + a z = 1.

Indication

CCP — système 4 \times 4 param. a, b

Résoudre, en discutant selon

a, b \in R

le système

⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z + t = 1 x + a y + z + t = b x + y + a z + t = b^{2} x + y + z + a t = b^{3} .

Indication

Systèmes param. m \in C

Résoudre en fonction du paramètre

m \in C

, les systèmes suivants d'inconnues complexes :

(a)

⎩ ⎨ ⎧ x - y + z = m x + m y - z = 1 x - y - z = 1

(b)

⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z = 1 x + m y + z = m x + y + m z = m^{2}

(c)

⎩ ⎨ ⎧ m x + y + z + t = 1 x + m y + z + t = m x + y + m z + t = m + 1

Indication

Systèmes avec paramètre et dim. SEV

Discuter, selon

m

paramètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels de

R^{3}

définis par des systèmes linéaires.

$F = {(x, y, z) ∣ x + m y + z = 0, m x + y + m z = 0}$ .
$F = {(x, y, z) ∣ x + y + m z = 0, x + m y + z = 0, m x + y + z = 0}$ .

Indication

Sous-espaces F et G param. m

On considère, pour

m

paramètre réel, les sous-espaces

F = {(x, y, z) ∣ x + m y + z = 0, m x + y - m z = 0}

G = {(x, y, z) ∣ x - m y + z = 0}

Déterminer la dimension de $F$ et $G$ .
Discuter la dimension de $F \cap G$ .

Indication

Système 3 \times 3 param. a et b

Soient

a, b \in C

. Résoudre le système

⎩ ⎨ ⎧ a x + b y + z = 1 x + ab y + z = b x + b y + a z = 1

Indication