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Variations d'une fonction | The Maths Tailor

Variations d'une fonction

Cours Exercices

Cours

1Fonctions croissantes et fonctions décroissantes

2Cas des fonctions affines

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3Cas des fonctions de référence

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Méthodes12p.1/2

PavlovDéfinir une fonction croissante ou décroissante sur un intervalle

Définition : soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

- $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f (a) \leq f (b)$ : quand $x$ augmente, $f (x)$ augmente (ou reste constant).

- $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a < b$ , on a $f (a) \geq f (b)$ : quand $x$ augmente, $f (x)$ diminue (ou reste constant).

- $f$ est constante sur $I$ si $f (a) = f (b)$ pour tous $a$ et $b$ de $I$ .

- $f$ est monotone sur $I$ si elle est soit croissante, soit décroissante sur cet intervalle, sans changer de sens de variation.

À retenir : une fonction croissante conserve l'ordre (l'ordre de $x$ se retrouve dans l'ordre de $f (x)$ ) ; une fonction décroissante renverse l'ordre.

Exemple : pour la fonction $f$ définie par $f (x) = 5 x - x^{2}$ et deux réels $a < b$ , on a $f (b) - f (a) = 5 (b - a) - (b^{2} - a^{2}) = (b - a) (5 - a - b)$ . Si $a$ et $b$ sont dans $[0, 2, 5]$ , alors $a + b < 5$ , donc $f (b) - f (a) > 0$ : $f$ est croissante sur $[0, 2, 5]$ . S'ils sont dans $[2, 5, 5]$ , alors $a + b > 5$ , donc $f (b) - f (a) < 0$ : $f$ est décroissante sur $[2, 5, 5]$ . Les valeurs $f (1) = 4 < f (2) = 6$ et $f (3) = 6 > f (4) = 4$ illustrent ces sens de variation, mais deux valeurs ne suffisent pas à les démontrer.

TunnelDéterminer le sens de variation d'une fonction à l'aide du signe de f(b) - f(a)

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PavlovDéfinir le maximum, le minimum et un extremum d'une fonction

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TunnelLire et exploiter un tableau de variations

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TunnelDéterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser son tableau de variations

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TunnelDéterminer les variations d'une fonction affine selon le signe de a

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TunnelUtiliser la propriété des accroissements pour une fonction affine

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TunnelDéterminer l'expression d'une fonction affine connaissant deux images

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TunnelDémontrer les variations de la fonction carré

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TunnelDémontrer les variations de la fonction inverse

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Exercices

Encadrer une image à l'aide de la monotonie d'une fonction

Une fonction

p

est strictement croissante sur

[0; 12]

. On connaît les valeurs suivantes :

p (0) = 1

,

p (5) = 9

,

p (9) = 17

,

p (12) = 23

.

1. Justifier que

9 < p (7) < 17

.
2. Encadrer de la même façon

p (10)

à l'aide des valeurs connues.

Vrai ou faux sur le sens de variation d'une fonction

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse (par une démonstration ou un contre-exemple).

a) Si une fonction

f

vérifie

f (2) < f (5)

, alors

f

est croissante sur

[2; 5]

.

b) Si une fonction

f

est croissante sur

[0; 10]

, alors pour tous

a

et

b

de

[0; 10]

avec

a < b

, on a

f (a) \leq f (b)

.

c) Une fonction affine constante est à la fois croissante et décroissante sur

R

.

Démontrer qu'une somme de deux fonctions croissantes est croissante

On admet que la fonction cube

c

, définie par

c (x) = x^{3}

, est strictement croissante sur

R

.

1. Soient

u

et

v

deux fonctions strictement croissantes sur

R

. Démontrer, à l'aide de la définition, que la fonction

u + v

(définie par

(u + v) (x) = u (x) + v (x)

) est strictement croissante sur

R

.
2. On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = x^{3} + 4 x

. En reconnaissant

f

comme une somme de deux fonctions dont la monotonie est connue, démontrer que

f

est strictement croissante sur

R

.
3. En déduire, sans calcul, laquelle des deux valeurs

f (- 1)

et

f (2)

est la plus grande.
4. Vérifier ce résultat par le calcul.

Reconnaître une fonction constante cachée dans une écriture affine

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = 4 x + 7 - 4 x

.

1. Montrer que

f (x)

peut s'écrire sous une forme plus simple, sans

x

.
2. En déduire le sens de variation de

f

sur

R

.
3. Comparer

f (- 10)

et

f (100)

.

Démontrer qu'une translation verticale ne change pas le sens de variation

Soit

f

une fonction définie et croissante sur un intervalle

I

, et soit

k

un nombre réel. On définit la fonction

g

sur

I

par

g (x) = f (x) + k

.

Démontrer, à l'aide de la définition, que

g

est également croissante sur

I

.

Démontrer que multiplier une fonction croissante par un réel positif conserve la croissance

Soit

f

une fonction définie et croissante sur un intervalle

I

, et soit

k

un nombre réel strictement positif. On définit la fonction

g

sur

I

par

g (x) = k \times f (x)

.

Démontrer, à l'aide de la définition, que

g

est également croissante sur

I

.