Vecteurs et repérage

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ ci-dessous, une graduation vaut une unité sur chaque axe.On sait que $A$ a pour abscisse $2$, que $B$ a pour ordonnée $1$, que $C$ a pour abscisse $-2$ et que $D$ a pour ordonnée $-2$.

Lire les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ ci-dessous (une graduation vaut une unité), on a tracé quatre vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{z}$.Les origines de ces vecteurs sont les points de coordonnées $(-4;2)$ pour $\vec{u}$, $(2;4)$ pour $\vec{v}$, $(-3;-3)$ pour $\vec{w}$ et $(4;-1)$ pour $\vec{z}$.

Lire les coordonnées de chacun de ces quatre vecteurs.

Dans le repère orthonormé $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$ ci-dessous (une graduation vaut une unité), on a placé les points $A$, $B$, $C$ et $D$ et tracé le quadrilatère $ABCD$.On sait que $A$ a pour abscisse $-3$, que $B$ a pour ordonnée $2$, que $C$ a pour abscisse $3$ et que $D$ a pour ordonnée $-4$.

1. Lire les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. En comptant les déplacements sur le quadrillage, lire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
3. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ?

Freddy la Mèche se divertit à la fête foraine en s'observant dans des miroirs déformants.

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, le visage de Freddy est formé :
- du carré $ABCD$, avec $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(4;4)$ et $D(0;4)$ ;
- des deux yeux $E(1;3)$ et $F(3;3)$ ;
- de la bouche, le segment $[GH]$, avec $G(1;1)$ et $H(3;1)$ ;
- de la mèche, le segment $[DK]$, avec $K(1;5)$.

Chaque miroir déformant dessine le visage dans un repère déformé $(O,\vec{u},\vec{v})$ : le point $M(x;y)$ apparaît dans le miroir au point $M^{\prime }$ tel que $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=x\vec{u}+y\vec{v}$. Les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont données dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ :
- miroir 1 : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ ;
- miroir 2 : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ ;
- miroir 3 : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$ ;
- miroir 4 : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ ;
- miroir 5 : $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

1. On note $\vec{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}{a}^{\prime }\\ b^{\prime }\end{array}\right)$. Exprimer les coordonnées du point $M^{\prime }$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ en fonction de $x$, $y$, $a$, $b$, $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$.
2. Pour chacun des cinq miroirs, calculer les coordonnées des images $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $D^{\prime }$, $E^{\prime }$, $F^{\prime }$, $G^{\prime }$, $H^{\prime }$ et $K^{\prime }$ des neuf points, puis tracer le visage déformé de Freddy la Mèche.
3. Pour chaque miroir, dire si le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ est orthonormé, orthogonal ou quelconque, et décrire comment le visage est déformé.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(0;0)$, $B(4;2)$, $C(2;6)$ et $D(-2;4)$.

1. Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
2. Calculer les longueurs $AB$ et $AD$. Que peut-on en déduire ?
3. Calculer les longueurs des diagonales $AC$ et $BD$. Que peut-on en déduire ?
4. Conclure sur la nature précise du quadrilatère $ABCD$.

Dans un repère, on donne les points $A(-2;1)$, $B(2;3)$, $C(2;6)$ et $D(0;5)$.

Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze de bases $(AB)$ et $(DC)$, mais n'est pas un parallélogramme.