Exercices de Dérivation, Première

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée dans un repère orthogonal gradué de $-6$ à $6$ sur chaque axe. On sait que :$$f(4)=-1\text{ et }{f}^{\prime }(4)=3$$1. Donner l'équation réduite $y=mx+p$ de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $4$.
2. Vérifier que le point $E(6;5)$ appartient à $T$.
3. Donner les coordonnées d'un autre point de $T$, à coordonnées entières, utile pour tracer cette tangente dans le repère.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=5x^3-4x^2+7x-9$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. En déduire les valeurs de $f^{\prime }(0)$ et $f^{\prime }(1)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=-2x^2+12x-5$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=0$, puis étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis donner le maximum de $f$ et la valeur en laquelle il est atteint. Ce résultat est-il cohérent avec le signe du coefficient devant $x^2$ ?

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-3;5]$, telle que pour tout $x$ de cet intervalle :$$f^{\prime }(x)=4x-8$$On donne de plus $f(-3)=47$, $f(2)=-3$ et $f(5)=15$.

1. Résoudre l'inéquation $f^{\prime }(x)⩾0$ sur $[-3;5]$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-3;5]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-3;5]$, en y faisant figurer les valeurs données.

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $h$ définie sur $[-5;6]$ :$$\begin{array}{cccccccc}x& -5& & -1& & 4& & 6\\ & 10& & & & 6& & \\ h(x)& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & -2& & & & 1\end{array}$$1. Donner le minimum de $h$ sur $[-5;6]$ et la valeur en laquelle il est atteint.
2. Donner la valeur du maximum local atteint en $x=4$.
3. Combien l'équation $h(x)=0$ admet-elle de solutions sur $[-5;6]$ ? Justifier à l'aide du tableau.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-5x$.

On souhaite calculer $f^{\prime }(2)$ en revenant à la définition du nombre dérivé, sans utiliser directement le formulaire de dérivation.

1. Calculer $f(2)$, puis exprimer $f(2+h)$ en fonction de $h$, pour $h$ réel.
2. Montrer que le taux d'accroissement $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ (pour $h\ne 0$) se simplifie en $h-1$.
3. En déduire $f^{\prime }(2)$ en faisant tendre $h$ vers $0$, puis vérifier ce résultat à l'aide du formulaire de dérivation usuel.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=x^3-2x^2+1$$On souhaite déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=2$.

1. Calculer $f(2)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, puis $f^{\prime }(2)$.
3. En déduire l'équation réduite de $T$, sous la forme $y=mx+p$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=x^3-12x+5$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et le factoriser sous la forme $3(x-\alpha )(x-\beta )$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=0$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis préciser, pour chaque point trouvé, s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum local de $f$, en donnant ses coordonnées.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=(2x+3)\sqrt{x}$$1. Identifier deux fonctions $u$ et $v$ telles que $f=u\times v$, puis donner $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un produit, puis écrire le résultat sous la forme d'une unique fraction.

On considère la fonction $f$ définie par :$$f(x)=\sqrt{5x+4}$$1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
2. Justifier que $f$ est dérivable sur $\left]-\frac{4}{5};+\infty \right[$, en précisant pourquoi $x=-\frac{4}{5}$ doit être exclu du domaine de dérivabilité.
3. Écrire $f$ sous la forme $g(ax+b)$ avec $g$ une fonction usuelle, puis calculer $f^{\prime }(x)$.

Un objet est lancé verticalement depuis le sol. Sa hauteur $h(t)$, en mètres, en fonction du temps $t$ (en secondes), est modélisée sur $[0;6]$ par :$$h(t)=-5t^2+30t$$1. Vérifier que $h(0)=0$ et $h(6)=0$ : l'objet part du sol et y retombe après $6$ secondes.
2. Calculer $v(t)=h^{\prime }(t)$, la vitesse instantanée de l'objet.
3. Calculer $v(1)$ et $v(4)$, puis interpréter le signe de chacune de ces deux valeurs (l'objet monte-t-il ou descend-il ?).
4. Déterminer l'instant où la vitesse instantanée est nulle, et calculer la hauteur atteinte à cet instant.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+2$, et la droite $D$ d'équation $y=9x-4$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Expliquer pourquoi trouver les points de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à $D$ revient à résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=9$.
3. Résoudre cette équation, puis donner les coordonnées complètes de tous les points de la courbe où la tangente est parallèle à $D$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\frac{2x-1}{x^2+3}$$1. Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier.
2. En posant $u(x)=2x-1$ et $v(x)=x^2+3$, donner $u^{\prime }(x)$ et $v^{\prime }(x)$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, et donner le résultat sous forme d'une fraction dont le numérateur est réduit.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{4}\right\}$ par :$$f(x)=\frac{1}{4x-3}$$1. Reconnaître que $f$ s'écrit sous la forme $g(ax+b)$, où $g$ est une fonction usuelle à préciser, et donner les valeurs de $a$ et $b$.
2. En déduire $f^{\prime }(x)$ en utilisant la formule $f^{\prime }(x)=a\times g^{\prime }(ax+b)$, sans passer par la formule générale du quotient.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;5]$ par :$$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et vérifier que $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $[-1;5]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-1;5]$, en y faisant figurer les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f^{\prime }$ s'annule.

On donne le tableau de signes de $f^{\prime }$, fonction dérivée d'une fonction $f$ définie sur $[-6;5]$, obtenu par lecture de la représentation graphique de $f^{\prime }$ (dont on ne connaît pas l'expression algébrique) :$$\begin{array}{cccccccc}x& -6& & -2& & 3& & 5\\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& 0& -& \end{array}$$1. Sans connaître l'expression de $f$, dresser son tableau de variations sur $[-6;5]$.
2. Préciser la nature (maximum local ou minimum local) des points d'abscisses $-2$ et $3$.
3. Un élève affirme : « comme $f^{\prime }(-2)=0$ et $f^{\prime }(3)=0$, la courbe de $f$ s'annule en ces deux points ». Expliquer pourquoi cette affirmation est incorrecte.

On considère, sur l'intervalle $[-1;3]$, la fonction $f(x)=x^3$ et la fonction affine $g(x)=3x-2$. On souhaite déterminer la position de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à la droite ${\mathcal{C}}_g$ sur cet intervalle.

1. On pose $d(x)=f(x)-g(x)$. Vérifier que $d(x)=x^3-3x+2$.
2. Calculer $d^{\prime }(x)$, le factoriser, puis étudier son signe sur $[-1;3]$.
3. Dresser le tableau de variations de $d$ sur $[-1;3]$, puis en déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à ${\mathcal{C}}_g$ sur cet intervalle, en précisant s'il existe un point de contact.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et le point $M(2;3)$.

1. Vérifier que $M$ n'appartient pas à ${\mathcal{C}}_f$.
2. Pour un réel $a$ quelconque, écrire l'équation de la tangente $T_a$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a$, en fonction de $a$ et $x$, et montrer qu'elle peut s'écrire $y=2ax-a^2$.
3. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles la tangente $T_a$ passe par le point $M$.
4. En déduire les équations des tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ passant par $M$, ainsi que les coordonnées de leurs points de contact respectifs avec ${\mathcal{C}}_f$.

On souhaite démontrer que, pour tout réel $x⩾0$ :$$x^3-6x^2+12x⩾0$$On introduit pour cela la fonction $\phi$ définie sur $[0;+\infty [$ par $\phi (x)=x^3-6x^2+12x$.

1. Calculer ${\phi }^{\prime }(x)$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $3(x-2{)}^2$.
2. En déduire le signe de ${\phi }^{\prime }(x)$ sur $[0;+\infty [$. Que peut-on dire du sens de variation de $\phi$, y compris au point où ${\phi }^{\prime }$ s'annule ?
3. Calculer $\phi (0)$, puis conclure sur le signe de $\phi (x)$ pour $x⩾0$. Préciser le(s) cas d'égalité.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+4$, et $T$ la tangente à sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a=1$.

1. Calculer $f(1)$, $f^{\prime }(x)$ puis $f^{\prime }(1)$, et en déduire l'équation réduite de $T$.
2. On pose $\delta (x)=f(x)-T(x)$, où $T(x)$ désigne l'ordonnée du point de $T$ d'abscisse $x$. Montrer que $\delta (x)=x^3-3x^2+3x-1$, puis vérifier que $\delta (x)=(x-1{)}^3$.
3. Étudier le signe de $\delta (x)$ sur $\mathbb{R}$, et en déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ de part et d'autre du point de contact.

Un maraîcher dispose de $80$ m de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire, en s'appuyant sur un mur existant pour l'un des côtés (il n'a donc besoin de clôturer que les trois autres côtés). On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Exprimer, en fonction de $x$, la longueur $L(x)$ du côté parallèle au mur, puis préciser l'ensemble de définition pertinent pour $x$ (on exclut les valeurs qui ne donneraient pas un enclos réel).
2. Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$.
3. Calculer $A^{\prime }(x)$, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations de $A$ sur l'intervalle trouvé à la question 1.
4. En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale, ainsi que la valeur de cette aire maximale.

Une entreprise fabrique un composant électronique. Pour une production de $x$ centaines d'unités, avec $x\in [0;7]$, le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par :$$C(x)=x^3-6x^2+30x+10$$L'entreprise revend l'intégralité de sa production à un prix constant, ce qui donne une recette totale (en milliers d'euros) :$$R(x)=45x$$1. Le coût marginal est, par définition, la dérivée du coût total : il représente le coût approximatif engendré par une centaine d'unités supplémentaires produites. Calculer $C^{\prime }(x)$, et montrer qu'il est strictement positif sur $[0;7]$ (on pourra calculer son discriminant).
2. Exprimer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ en fonction de $x$, et vérifier que $B(x)=-x^3+6x^2+15x-10$.
3. Calculer $B^{\prime }(x)$, le factoriser sous la forme $-3(x-\alpha )(x-\beta )$ avec $\alpha \in [0;7]$, puis étudier son signe sur $[0;7]$.
4. En déduire la quantité produite qui maximise le bénéfice, ainsi que ce bénéfice maximal.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=|x-3|+2x$$1. Justifier que, pour $x⩾3$, $f(x)=3x-3$, et que pour $x<3$, $f(x)=x+3$.
2. Calculer $f(3)$, puis, pour $h\ne 0$, exprimer $f(3+h)$ en fonction de $h$, selon que $h>0$ ou $h<0$.
3. En déduire, pour $h\ne 0$, la valeur du taux d'accroissement $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$, selon que $h>0$ ou $h<0$.
4. La fonction $f$ est-elle dérivable en $x=3$ ? Justifier.

On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5;5]$, dans un repère orthogonal.

Au point $P$ d'abscisse $-2$, la tangente à la courbe de $f$ est tracée : elle passe par les points $P(-2;-1)$ et $Q(1;5)$.

Au point $R$ d'abscisse $3$, une seconde tangente est tracée : elle passe par les points $R(3;4)$ et $S(5;0)$.

1. Donner, par simple lecture graphique, les valeurs de $f(-2)$ et $f(3)$.
2. Calculer le coefficient directeur de chacune des deux tangentes, pour en déduire $f^{\prime }(-2)$ et $f^{\prime }(3)$.
3. La courbe de $f$ monte-t-elle ou descend-elle en passant par le point $R$ ? Justifier à l'aide du signe de $f^{\prime }(3)$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée dans un repère. On sait que :$$f(1)=2f^{\prime }(1)=-3$$1. Donner l'équation réduite $y=mx+p$ de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$.
2. Le point $A(-1;8)$ appartient-il à $T$ ? Justifier.
3. Le point $B(2;0)$ appartient-il à $T$ ? Justifier.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=4x^3-5x^2+6x-7$$1. Calculer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$.
2. Calculer $f^{\prime }(0)$ et $f^{\prime }(2)$.
3. Que peut-on dire du sens de variation de $f$ au voisinage de $x=2$, au vu du signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=-2x^2+8x+1$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
3. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-2;8]$ par :$$f(x)=\frac{3}{2}{x}^2-9x+5$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Résoudre l'inéquation $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $[-2;8]$.
3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-2;8]$.

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur $[-3;7]$. On sait, par son tableau de variations, que :
- $f$ est strictement décroissante sur $[-3;-1]$ ;
- $f$ est strictement croissante sur $[-1;4]$ ;
- $f$ est strictement décroissante sur $[4;7]$.

On donne de plus $f(-3)=6$, $f(-1)=-2$, $f(4)=5$ et $f(7)=1$.

1. Donner le minimum de $f$ sur $[-3;7]$ et préciser en quelle valeur de $x$ il est atteint.
2. Donner le maximum de $f$ sur $[-3;7]$ et préciser en quelle valeur de $x$ il est atteint.
3. Combien l'équation $f(x)=3$ admet-elle de solutions sur $[-3;7]$ ? Justifier à l'aide des variations de $f$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x}$. On souhaite calculer $f^{\prime }(2)$ en revenant à la définition du nombre dérivé, sans utiliser le formulaire.

1. Pour $h\ne 0$ (avec $2+h>0$), exprimer le taux de variation $\tau (h)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$, puis le simplifier sous une forme ou $h$ n'apparaît plus qu'en un seul endroit.
2. En déduire la limite de $\tau (h)$ quand $h$ tend vers $0$, puis donner $f^{\prime }(2)$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-5x+1$.

1. Calculer $f(-1)$ et $f^{\prime }(-1)$.
2. En déduire l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $-1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-12x+5$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et la factoriser.
2. Déterminer les abscisses des points de la courbe de $f$ ou la tangente est horizontale.
3. Donner les coordonnées de ces points.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=(2x+1)\sqrt{x}$.

1. On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$, de sorte que $f=u\times v$. Donner $u^{\prime }(x)$ et $v^{\prime }(x)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, puis l'écrire sous la forme d'une seule fraction.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

1. Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation de $\frac{1}{u}$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire les variations de $f$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{5-2x}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$, puis l'ensemble sur lequel $f$ est dérivable.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x$ dans cet ensemble de dérivabilité.

La hauteur en mètres d'un projectile lancé verticalement, en fonction du temps $t$ (en secondes), est donnée par :$$h(t)=-5t^2+20t+2$$1. Calculer la vitesse instantanée $v(t)=h^{\prime }(t)$.
2. Calculer $v(1)$ et interpréter son signe (le projectile monte-t-il ou descend-il ?).
3. Calculer $v(3)$ et interpréter son signe.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$.

1. Préciser l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$, sachant que la formule $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ s'applique pour tout $n\in \mathbb{Z}$, y compris négatif.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous la forme d'une fraction.
3. Déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $]-\infty ;0[$ et sur $]0;+\infty [$, puis en déduire le sens de variation de $f$ sur chacun de ces deux intervalles.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x$, et $D$ la droite d'équation $y=6x-1$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=6$ pour déterminer les abscisses des points de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à $D$.
3. Donner les coordonnées de ces points.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous la forme d'une fraction simplifiee.
3. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ et le sens de variation de $f$ sur chacun des intervalles de son domaine.