Exercices de Dérivation, Première (page 3)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=3x^2-18x+20$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=0$, puis étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis donner le minimum de $f$ et la valeur en laquelle il est atteint. Ce résultat est-il cohérent avec le signe du coefficient devant $x^2$ ?

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;7]$, telle que pour tout $x$ de cet intervalle :$$f^{\prime }(x)=-6x+18$$On donne de plus $f(-2)=-52$, $f(3)=23$ et $f(7)=-25$.

1. Résoudre l'inéquation $f^{\prime }(x)⩾0$ sur $[-2;7]$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-2;7]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-2;7]$, en y faisant figurer les valeurs données.

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $k$ définie sur $[-6;7]$ :$$\begin{array}{cccccccc}x& -6& & -3& & 2& & 7\\ & 4& & & & 6& & \\ k(x)& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & -7& & & & 1\end{array}$$1. Donner la valeur du minimum local de $k$, atteint en $x=-3$.
2. Donner la valeur du maximum de $k$ sur $[-6;7]$ et la valeur en laquelle il est atteint.
3. Combien l'équation $k(x)=0$ admet-elle de solutions sur $[-6;7]$ ? Justifier à l'aide du tableau.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=2x^3-5x^2+3$$On souhaite déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=-1$.

1. Calculer $f(-1)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, puis $f^{\prime }(-1)$.
3. En déduire l'équation réduite de $T$, sous la forme $y=mx+p$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=x^3-27x+10$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et le factoriser sous la forme $3(x-\alpha )(x-\beta )$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=0$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis préciser, pour chaque point trouvé, s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum local de $f$, en donnant ses coordonnées.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(2x+1)(x^2-3x+4)$$1. Identifier deux fonctions $u$ et $v$ telles que $f=u\times v$, puis donner $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un produit, puis réduire le résultat obtenu.
3. Vérifier ce résultat en développant d'abord $f(x)$, puis en la dérivant terme à terme.

On considère la fonction $f$ définie par :$$f(x)=\frac{1}{x^2-4x+7}$$1. Montrer que $x^2-4x+7=(x-2{)}^2+3$, puis en déduire que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier.
2. En posant $u(x)=x^2-4x+7$, donner $u^{\prime }(x)$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation de $\frac{1}{u}$.

On considère la fonction $f$ définie par :$$f(x)=\sqrt{7-3x}$$1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
2. Justifier que $f$ est dérivable sur $\left]-\infty ;\frac{7}{3}\right[$, en précisant pourquoi $x=\frac{7}{3}$ doit être exclu du domaine de dérivabilité.
3. Écrire $f$ sous la forme $g(ax+b)$ avec $g$ une fonction usuelle, puis calculer $f^{\prime }(x)$.

Une particule se déplace le long d'un axe gradué. Sa position $s(t)$, en mètres, en fonction du temps $t$ (en secondes), est modélisée sur $[0;5]$ par :$$s(t)=t^3-6t^2+9t$$1. Calculer $v(t)=s^{\prime }(t)$, la vitesse instantanée de la particule.
2. Calculer $v(0)$ et $v(2)$, puis interpréter le signe de chacune de ces deux valeurs (la particule avance-t-elle ou recule-t-elle ?).
3. Déterminer les instants où la vitesse instantanée s'annule, et interpréter ces instants.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$, et la droite $D$ d'équation $y=15x-2$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Expliquer pourquoi trouver les points de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à $D$ revient à résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=15$.
3. Résoudre cette équation, puis donner les coordonnées complètes de tous les points de la courbe où la tangente est parallèle à $D$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\frac{3x+2}{x^2+5}$$1. Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier.
2. En posant $u(x)=3x+2$ et $v(x)=x^2+5$, donner $u^{\prime }(x)$ et $v^{\prime }(x)$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, et donner le résultat sous forme d'une fraction dont le numérateur est réduit.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(5-3x{)}^2$$1. Reconnaître que $f$ s'écrit sous la forme $g(ax+b)$, où $g$ est une fonction usuelle à préciser, et donner les valeurs de $a$ et $b$.
2. En déduire $f^{\prime }(x)$ en utilisant la formule $f^{\prime }(x)=a\times g^{\prime }(ax+b)$.
3. Vérifier ce résultat en développant d'abord $f(x)$, puis en la dérivant terme à terme.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-4;6]$ par :$$f(x)=x^3-3x^2-24x+10$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et vérifier que $f^{\prime }(x)=3(x-4)(x+2)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $[-4;6]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-4;6]$, en y faisant figurer les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f^{\prime }$ s'annule.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4;6]$. On ne connaît pas l'expression algébrique de $f$, mais on donne le tableau de signes de sa fonction dérivée $f^{\prime }$, obtenu par lecture graphique de la courbe de $f^{\prime }$ :$$\begin{array}{cccccccc}x& -4& & -1& & 2& & 6\\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& 0& -& \end{array}$$1. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-4;6]$ (sans valeurs numériques, uniquement le sens de variation).
2. Préciser la nature du point d'abscisse $-1$ et celle du point d'abscisse $2$ (minimum local ou maximum local de $f$).
3. Que peut-on dire de la tangente à la courbe de $f$ aux points d'abscisses $-1$ et $2$ ?

On considère trois fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$ dérivables sur $[-3;3]$, décrites ainsi :

- $f_1$ est strictement croissante sur tout l'intervalle $[-3;3]$, sans aucun palier ;
- $f_2$ est décroissante sur $[-3;0]$ puis croissante sur $[0;3]$, avec un minimum en $x=0$ ;
- $f_3$ est croissante sur $[-3;-1]$, décroissante sur $[-1;2]$, puis croissante sur $[2;3]$, avec un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=2$.

On donne également trois fonctions $g_A$, $g_B$, $g_C$, dont on sait que chacune est la dérivée de l'une des trois fonctions précédentes :

- $g_A$ est strictement positive sur tout l'intervalle $[-3;3]$, sans jamais s'annuler ;
- $g_B$ est négative sur $[-3;0[$, s'annule en $x=0$, puis est positive sur $]0;3]$ ;
- $g_C$ est positive sur $[-3;-1[$, s'annule en $x=-1$, négative sur $]-1;2[$, s'annule en $x=2$, puis positive sur $]2;3]$.

Associer chaque fonction $f_i$ à sa fonction dérivée $g$, en justifiant chaque association à l'aide du lien entre signe de la dérivée et sens de variation.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x+3$ et la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=4x-6$, dont les courbes représentatives sont respectivement une parabole $\mathcal{P}$ et une droite $D$.

1. On pose $d(x)=f(x)-g(x)$. Calculer $d(x)$ et vérifier qu'il s'agit d'un carré parfait.
2. En déduire le signe de $d(x)$ sur $\mathbb{R}$, en précisant la ou les valeurs de $x$ pour lesquelles $d(x)=0$.
3. En déduire la position relative de $\mathcal{P}$ par rapport à $D$ sur $\mathbb{R}$, et interpréter le cas où $d(x)=0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+1$, de courbe représentative $\mathcal{P}$, et le point $M(1;-6)$.

1. Vérifier que $M$ n'appartient pas à $\mathcal{P}$.
2. Pour un réel $a$ quelconque, écrire l'équation de la tangente $T_a$ à $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $a$, et montrer qu'elle se met sous la forme $y=(2a-4)x-a^2+1$.
3. En imposant que $T_a$ passe par $M$, montrer que $a$ doit vérifier l'équation $a^2-2a-3=0$, puis la résoudre.
4. En déduire les équations des deux tangentes à $\mathcal{P}$ passant par $M$, ainsi que les coordonnées de leurs points de tangence.

On veut démontrer que, pour tout réel $x$ :$$x^4-4x+3⩾0$$On introduit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^4-4x+3$.

1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et le factoriser sous la forme $4(x-1)(x^2+x+1)$.
2. Montrer que $x^2+x+1>0$ pour tout réel $x$ (on pourra utiliser le discriminant de ce trinôme).
3. En déduire le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis les variations de $g$.
4. Conclure, en précisant s'il existe une valeur de $x$ pour laquelle l'égalité $x^4-4x+3=0$ est atteinte.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+2$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$.

1. Calculer $f(0)$ et $f^{\prime }(0)$, puis donner l'équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.
2. On pose $d(x)=f(x)-T(x)$, où $T(x)$ désigne le second membre de l'équation de $T$. Montrer que $d(x)=x^3$.
3. Étudier le signe de $d(x)$ sur $\mathbb{R}$.
4. En déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ selon le signe de $x$, et expliquer pourquoi la tangente $T$ traverse la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$ (contrairement à une tangente qui laisserait la courbe entièrement d'un seul côté).

On dispose de $60$ m de grillage pour clôturer entièrement (sur les quatre côtés) un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur, en mètres, d'un des côtés de l'enclos, avec $0<x<30$.

1. Exprimer la largeur $y$ de l'enclos en fonction de $x$.
2. Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$ seul.
3. Calculer $A^{\prime }(x)$, étudier son signe sur $]0;30[$, puis dresser le tableau de variations de $A$.
4. En déduire la valeur de $x$ qui rend l'aire maximale, la valeur de cette aire maximale, et la nature du quadrilatère obtenu.

Une entreprise produit et vend un article. Pour une quantité $x$ produite et vendue, avec $x\in [0;100]$, le coût total de production, en euros, est modélisé par :$$C(x)=0,5x^2+20x+500$$Chaque unité est vendue au prix de $80$ euros, de sorte que la recette totale est $R(x)=80x$.

1. Calculer le coût marginal $C^{\prime }(x)$, interprété comme le coût approximatif d'une unité supplémentaire produite.
2. Exprimer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ en fonction de $x$ seul.
3. Calculer $B^{\prime }(x)$, étudier son signe sur $[0;100]$, puis dresser le tableau de variations de $B$.
4. En déduire la quantité $x$ qui maximise le bénéfice, et la valeur de ce bénéfice maximal.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=|2x-6|-x$$1. Calculer $f(3)$.
2. Donner l'expression de $f(x)$ sans valeur absolue sur $]-\infty ;3]$, puis sur $[3;+\infty [$.
3. Calculer, sur chacun de ces deux intervalles, le nombre dérivé de $f$ à gauche et à droite de $x=3$.
4. La fonction $f$ est-elle dérivable en $x=3$ ? Justifier.

Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets par jour, avec $x\in [0;6]$. Son bénéfice quotidien, en milliers d'euros, est donné par $B(x)=-x^2+6x-5$. On note ${\mathcal{C}}_B$ sa courbe représentative.

1. Calculer $B^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $B$.
2. Calculer $B(0)$, $B(1)$, $B(3)$, $B(5)$ et $B(6)$.
3. Écrire l'équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_B$ au point d'abscisse $3$, puis aux points d'abscisses $1$ et $5$.
4. Tracer ces trois tangentes et la courbe ${\mathcal{C}}_B$ dans un repère orthonormé.
5. Pour quelles productions l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ? Que représente le sommet de la courbe ?

On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par $f(x)=x^3-3x$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.
2. Calculer $f(-2)$, $f(-1)$, $f(1)$ et $f(2)$.
3. Écrire l'équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $-1$, puis au point d'abscisse $1$. Que remarque-t-on ?
4. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $2$.
5. Tracer dans le repère les trois tangentes, puis la courbe ${\mathcal{C}}_f$, en veillant à ce qu'elle soit tangente à chacune d'elles en son point de contact.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;3]$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$, et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Montrer que $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
2. Calculer $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$ et $f(3)$.
3. Donner les équations des tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ aux points d'abscisses $0$ et $2$.
4. Déterminer les équations des tangentes $T_{-1}$ et $T_3$ aux points d'abscisses $-1$ et $3$. Montrer que ces deux droites sont parallèles.
5. Tracer ces quatre tangentes puis la courbe ${\mathcal{C}}_f$. Combien l'équation $f(x)=0$ semble-t-elle avoir de solutions sur $[-1;3]$ d'après le tracé ?

On ne connaît pas l'expression de la fonction $f$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On connaît seulement la représentation graphique de sa fonction dérivée $f^{\prime }$ : c'est une parabole tournée vers le haut, qui coupe l'axe des abscisses en exactement deux points, d'abscisses $2$ et $4$.

1. Recopier et compléter le tableau de signes de la fonction dérivée $f^{\prime }$.$$\begin{array}{cccccccc}x& -\infty & & 2& & 4& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & & 0& & 0& & \end{array}$$2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.

3. On décrit ci-dessous quatre courbes tracées dans un repère. Lesquelles pourraient être celle de la fonction $f$ ? Justifier.
- ${\mathcal{C}}_1$ : elle monte jusqu'au point $(2;3)$, descend jusqu'au point $(4;1)$, puis remonte.
- ${\mathcal{C}}_2$ : elle descend jusqu'au point $(2;-1)$, monte jusqu'au point $(4;1)$, puis redescend.
- ${\mathcal{C}}_3$ : elle monte jusqu'au point $(2;0)$, descend jusqu'au point $(4;-2)$, puis remonte.
- ${\mathcal{C}}_4$ : elle monte jusqu'au point $(1;2)$, descend jusqu'au point $(3;0)$, puis remonte.

On considère quatre fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Leurs courbes représentatives, tracées dans un repère, sont les suivantes :
- la courbe de $f$ est une parabole tournée vers le haut, de sommet le point $(1;-2)$ ;
- la courbe de $g$ monte jusqu'au point $(-1;3)$, descend jusqu'au point $(2;-1)$, puis remonte ;
- la courbe de $h$ est la droite qui passe par les points $(0;-1)$ et $(1;1)$ ;
- la courbe de $k$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet le point $(0;1)$.

Voici, dans le désordre, les courbes de leurs quatre fonctions dérivées :
- courbe 1 : la droite horizontale d'équation $y=2$ ;
- courbe 2 : une droite qui descend et passe par l'origine du repère ;
- courbe 3 : une parabole tournée vers le haut, qui coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $2$ ;
- courbe 4 : une droite qui monte et coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $1$.

1. Pour chacune des fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$, dresser le tableau de variations, avec le signe de la dérivée.
2. Associer chaque fonction à la courbe de sa fonction dérivée, en justifiant.

On décrit ci-dessous les courbes représentatives, tracées dans un repère, de trois fonctions dérivables $f$, $g$ et $h$.
- La fonction $f$ est définie sur $[-4;4]$. Sa courbe part du point $(-4;-3)$, monte jusqu'au point $(-1;2)$, descend jusqu'au point $(3;-2)$, puis monte jusqu'au point $(4;0)$.
- La fonction $g$ est définie sur $[-2;2]$. Sa courbe monte sur tout l'intervalle, du point $(-2;-3)$ au point $(2;3)$ ; elle passe par l'origine du repère, où sa tangente est horizontale.
- La fonction $h$ est définie sur $[0;4]$. Sa courbe est un arc de parabole tournée vers le bas, de sommet le point $(2;5)$, qui part du point $(0;1)$ et arrive au point $(4;1)$.

1. Pour chacune de ces trois fonctions, dresser le tableau de variations, avec le signe de la dérivée.
2. Pour chacune de ces trois fonctions, proposer une représentation graphique possible de sa fonction dérivée, en la décrivant.

On décrit ci-dessous, dans un repère, les courbes représentatives des fonctions dérivées $f^{\prime }$, $g^{\prime }$ et $h^{\prime }$ de trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies et dérivables sur $\mathbb{R}$.
- La courbe de $f^{\prime }$ est une droite qui monte et coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $-2$.
- La courbe de $g^{\prime }$ est une parabole tournée vers le bas, qui coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $0$ et $3$.
- La courbe de $h^{\prime }$ est la droite horizontale d'équation $y=-1$.

Pour chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$, proposer une courbe possible, en commençant par dresser son tableau de variations.