Exercices de Dérivation, Première (page 2)

Soit $f$ la fonction définie sur $[-3;6]$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$, puis vérifier qu'elle se factorise sous la forme $3(x-3)(x+1)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $[-3;6]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-3;6]$, avec les valeurs exactes de $f$ en $-3$, $-1$, $3$ et $6$.

Une fonction $f$ est dérivable sur $[-6;6]$. On lit sur la représentation graphique de sa fonction dérivée $f^{\prime }$ le tableau de signes suivant :
- $f^{\prime }(x)<0$ sur $[-6;-2[$ ;
- $f^{\prime }(-2)=0$ ;
- $f^{\prime }(x)>0$ sur $]-2;1[$ ;
- $f^{\prime }(1)=0$ ;
- $f^{\prime }(x)<0$ sur $]1;6]$.

On donne de plus $f(-2)=-3$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-6;6]$.
2. En déduire la nature des points d'abscisses $-2$ et $1$ (minimum local ou maximum local de $f$).
3. Peut-on affirmer, avec les seules informations données, que $-3$ est le minimum de $f$ sur $[-6;6]$ tout entier ? Justifier précisément.

On décrit trois fonctions par leurs variations sur $[-4;4]$ :

- Fonction (1) : strictement croissante sur tout $[-4;4]$, sans aucun extremum local sur $]-4;4[$.
- Fonction (2) : admet un minimum local en $x=-1$ et un maximum local en $x=2$.
- Fonction (3) : constante sur tout $[-4;4]$.

On propose trois courbes candidates pour leurs fonctions dérivées respectives :

- Courbe (a) : la droite horizontale confondue avec l'axe des abscisses sur $[-4;4]$ (fonction identiquement nulle).
- Courbe (b) : une fonction strictement positive sur tout $[-4;4]$, qui ne s'annule jamais.
- Courbe (c) : une fonction qui s'annule exactement en $x=-1$ et $x=2$, négative avant $-1$, positive entre $-1$ et $2$, puis négative après $2$.

Associer chaque fonction (1), (2), (3) à sa fonction dérivée parmi (a), (b), (c), en justifiant chaque choix par la cohérence entre variations et signe de la dérivée.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+3$, représentées respectivement par la parabole ${\mathcal{C}}_f$ et la droite $D$. On pose $d(x)=f(x)-g(x)$.

1. Calculer $d^{\prime }(x)$, étudier son signe sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $d$.
2. En déduire le minimum de $d$ sur $\mathbb{R}$. Que peut-on en conclure sur le nombre de solutions de l'équation $d(x)=0$ ?
3. Résoudre $d(x)=0$ pour déterminer les abscisses des points communs à ${\mathcal{C}}_f$ et $D$, puis en déduire la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $D$ sur chacun des trois intervalles obtenus.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$. On considère le point $M(1;-3)$.

1. Vérifier que $M$ n'appartient pas à ${\mathcal{C}}_f$.
2. Pour un réel $a$ quelconque, écrire l'équation de la tangente $T_a$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a$.
3. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles $T_a$ passe par $M$.
4. En déduire les équations des tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ passant par $M$.

Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout réel $x\ge 0$ :$$\sqrt{x}\le \frac{x+1}{2}$$avec égalité seulement en $x=1$.

On introduit la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)=\frac{x+1}{2}-\sqrt{x}$.

1. Justifier que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ et calculer $g^{\prime }(x)$ pour $x>0$.
2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0;+\infty [$ (on admettra que $g$ est continue en $0$, avec $g(0)=\frac{1}{2}$).
3. En déduire le minimum de $g$ sur $[0;+\infty [$, puis conclure sur le signe de $g(x)$ pour tout $x\ge 0$.
4. Conclure la démonstration de l'inégalité demandée, en précisant le cas d'égalité.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$, et $T$ la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$.

1. Calculer $f(1)$, $f^{\prime }(1)$, puis donner l'équation réduite de $T$.
2. On pose $d(x)=f(x)-[\text{ordonneˊe du point de }T\text{ d’abscisse }x]$. Calculer $d(x)$ et vérifier que $d(x)=(x-1{)}^2(x+2)$.
3. Étudier le signe de $d(x)$ sur $\mathbb{R}$.
4. En déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$ sur $\mathbb{R}$, en précisant les éventuels points de contact.

On découpe un carré de côté $x$ (en cm) à chaque coin d'une plaque de carton carrée de côté $12$ cm, puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. On note $V(x)$ le volume, en ${\text{cm}}^3$, de la boîte obtenue.

1. Justifier que le domaine pertinent pour $x$ est l'intervalle $]0;6[$, et exprimer $V(x)$ en fonction de $x$.
2. Calculer $V^{\prime }(x)$, puis vérifier qu'elle se factorise sous la forme $12(x-2)(x-6)$.
3. Étudier le signe de $V^{\prime }(x)$ sur $]0;6[$ et dresser le tableau de variations de $V$.
4. En déduire la valeur de $x$ qui maximise le volume de la boîte, ainsi que ce volume maximal.

Une entreprise produit $x$ centaines d'objets, avec $x\in [0;20]$. Le coût total de production, en milliers d'euros, est $C(x)=x^2+4x+30$, et la recette totale, en milliers d'euros, est $R(x)=26x$.

1. Calculer le coût marginal $C^{\prime }(x)$, et donner sa valeur pour $x=5$ ; interpréter ce nombre dans le contexte.
2. Exprimer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ en fonction de $x$, puis calculer $B^{\prime }(x)$.
3. Étudier le signe de $B^{\prime }(x)$ sur $[0;20]$ et dresser le tableau de variations de $B$.
4. En déduire la quantité (en centaines d'objets) qui maximise le bénéfice, ainsi que le bénéfice maximal correspondant, en milliers d'euros.

On définit une fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par :$$g(x)=x^2\text{ si }x\le 1\text{et}g(x)=3x-2\text{ si }x>1$$1. Vérifier que les deux expressions de $g$ donnent la même valeur en $x=1$ (les deux morceaux de la courbe de $g$ se raccordent).
2. Calculer le taux de variation à gauche en $1$, c'est-à-dire $\underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{g(1+h)-g(1)}{h}$ (on utilisera l'expression $x^2$, valable car $1+h\le 1$ pour $h<0$).
3. Calculer de même le taux de variation à droite en $1$, avec $h>0$ (on utilisera l'expression $3x-2$, valable car $1+h>1$).
4. La fonction $g$ est-elle dérivable en $x=1$ ? Justifier précisément, en expliquant pourquoi le seul raccord des deux morceaux de la courbe en $x=1$ ne suffisait pas à répondre.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-6;4]$, et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Au point $A$ d'abscisse $-3$, la tangente à la courbe de $f$ est tracée : elle passe par les points $A(-3;2)$ et $B(-1;-2)$.

Au point $C$ d'abscisse $1$, une seconde tangente est tracée : elle passe par les points $C(1;-1)$ et $D(4;5)$.

1. Donner, à l'aide des données de l'énoncé, les valeurs de $f(-3)$ et $f(1)$.
2. Calculer le coefficient directeur de chacune des deux tangentes, pour en déduire $f^{\prime }(-3)$ et $f^{\prime }(1)$.
3. On admet que, pour tout $x$ de $[0;2]$, $f^{\prime }(x)$ a le même signe que $f^{\prime }(1)$. La fonction $f$ est-elle croissante ou décroissante sur $[0;2]$, donc au voisinage de $x=1$ ? Justifier à l'aide du signe de $f^{\prime }(1)$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée dans un repère orthogonal. On sait que :$$f(3)=-2\text{ et }{f}^{\prime }(3)=4$$1. Donner l'équation réduite $y=mx+p$ de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $3$.
2. Vérifier que le point $E(5;6)$ appartient à $T$.
3. Donner les coordonnées d'un autre point de $T$, à coordonnées entières, utile pour tracer cette tangente dans le repère.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=-3x^3+5x^2-2x+8$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. En déduire les valeurs de $f^{\prime }(0)$ et $f^{\prime }(1)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=3x^2-12x+7$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=0$, puis étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis donner le minimum de $f$ et la valeur en laquelle il est atteint. Ce résultat est-il cohérent avec le signe du coefficient devant $x^2$ ?

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;7]$, telle que pour tout $x$ de cet intervalle :$$f^{\prime }(x)=5x-15$$On donne de plus $f(-2)=58,5$, $f(3)=-4$ et $f(7)=36$.

1. Résoudre l'inéquation $f^{\prime }(x)⩽0$ sur $[-2;7]$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-2;7]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-2;7]$, en y faisant figurer les valeurs données.

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $k$ définie sur $[-6;5]$ :$$\begin{array}{cccccccc}x& -6& & -3& & 2& & 5\\ & 8& & & & 9& & \\ k(x)& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & -6& & & & -2\end{array}$$1. Donner le minimum de $k$ sur $[-6;5]$ et la valeur en laquelle il est atteint.
2. Donner la valeur du maximum local atteint en $x=2$.
3. Combien l'équation $k(x)=3$ admet-elle de solutions sur $[-6;5]$ ? Justifier à l'aide du tableau.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+3x$.

On souhaite calculer $f^{\prime }(-1)$ en revenant à la définition du nombre dérivé, sans utiliser directement le formulaire de dérivation.

1. Calculer $f(-1)$, puis exprimer $f(-1+h)$ en fonction de $h$, pour $h$ réel.
2. Montrer que le taux d'accroissement $\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$ (pour $h\ne 0$) se simplifie en $h+1$.
3. En déduire $f^{\prime }(-1)$ en faisant tendre $h$ vers $0$, puis vérifier ce résultat à l'aide du formulaire de dérivation usuel.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=2x^3-x^2+3$$On souhaite déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a=-1$.

1. Calculer $f(-1)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, puis $f^{\prime }(-1)$.
3. En déduire l'équation réduite de $T$, sous la forme $y=mx+p$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=x^3-27x+10$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et le factoriser sous la forme $3(x-\alpha )(x+\alpha )$.
2. Résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=0$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis préciser, pour chaque point trouvé, s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum local de $f$, en donnant ses coordonnées.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :$$f(x)=(3x-2)\sqrt{x}$$1. Identifier deux fonctions $u$ et $v$ telles que $f=u\times v$, puis donner $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un produit, puis écrire le résultat sous la forme d'une unique fraction.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}$$1. Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier (on pourra écrire $u(x)=x^2-6x+10$ sous forme canonique).
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation de $\frac{1}{u}$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire les variations de $f$.

On considère la fonction $f$ définie par :$$f(x)=\sqrt{3x+10}$$1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
2. Justifier que $f$ est dérivable sur $\left]-\frac{10}{3};+\infty \right[$, en précisant pourquoi $x=-\frac{10}{3}$ doit être exclu du domaine de dérivabilité.
3. Écrire $f$ sous la forme $g(ax+b)$ avec $g$ une fonction usuelle, puis calculer $f^{\prime }(x)$.

Un ballon est lancé verticalement vers le haut depuis un balcon situé à $3$ mètres de hauteur. Sa hauteur $h(t)$, en mètres, en fonction du temps $t$ (en secondes), est modélisée sur $[0;4,5]$ par :$$h(t)=-5t^2+22t+3$$1. Vérifier que $h(0)=3$, ce qui correspond bien à la hauteur du balcon au départ.
2. Calculer $v(t)=h^{\prime }(t)$, la vitesse instantanée du ballon.
3. Calculer $v(1)$ et $v(4)$, puis interpréter le signe de chacune de ces deux valeurs (le ballon monte-t-il ou descend-il ?).

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-4x+1$, et la droite $D$ d'équation $y=8x-3$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Expliquer pourquoi trouver les points de la courbe de $f$ où la tangente est parallèle à $D$ revient à résoudre l'équation $f^{\prime }(x)=8$.
3. Résoudre cette équation, puis donner les coordonnées complètes de tous les points de la courbe où la tangente est parallèle à $D$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$ par :$$f(x)=\frac{x^2-3x+5}{2x+1}$$1. En posant $u(x)=x^2-3x+5$ et $v(x)=2x+1$, donner $u^{\prime }(x)$ et $v^{\prime }(x)$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient, et donner le résultat sous forme d'une fraction dont le numérateur est réduit.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=(2x-3{)}^3$$1. Reconnaître $f$ comme une fonction de la forme $x\mapsto g(ax+b)$ : préciser la fonction de référence $g$, ainsi que les réels $a$ et $b$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ en utilisant la règle de dérivation de $x\mapsto g(ax+b)$.
3. Vérifier ce résultat en développant entièrement $f(x)$, puis en le dérivant terme à terme.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-5;3]$ par :$$f(x)=x^3+3x^2-9x-2$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et vérifier que $f^{\prime }(x)=3(x+3)(x-1)$.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $[-5;3]$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[-5;3]$, en y faisant figurer les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f^{\prime }$ s'annule.

Une fonction $f$ est dérivable sur $[-5;6]$. On lit sur la représentation graphique de sa fonction dérivée $f^{\prime }$ le tableau de signes suivant :
- $f^{\prime }(x)<0$ sur $[-5;-2[$ ;
- $f^{\prime }(-2)=0$ ;
- $f^{\prime }(x)>0$ sur $]-2;3[$ ;
- $f^{\prime }(3)=0$ ;
- $f^{\prime }(x)<0$ sur $]3;6]$.

On donne de plus $f(-5)=7$, $f(-2)=-5$, $f(3)=10$ et $f(6)=-1$.

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-5;6]$, en y plaçant les quatre valeurs données.
2. En déduire la nature des points d'abscisses $-2$ et $3$ (minimum local ou maximum local de $f$).
3. Combien l'équation $f(x)=0$ admet-elle de solutions sur $[-5;6]$ ? Justifier à l'aide du tableau de variations.

On décrit trois fonctions par leurs variations sur $[-3;3]$ :

- Fonction (1) : strictement croissante sur tout $[-3;3]$, sans aucun extremum local sur $]-3;3[$.
- Fonction (2) : admet un unique minimum local en $x=0$ (décroissante avant, croissante après).
- Fonction (3) : admet un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=2$.

On propose trois courbes candidates pour leurs fonctions dérivées respectives :

- Courbe (a) : négative sur $[-3;0[$, nulle en $x=0$, positive sur $]0;3]$.
- Courbe (b) : strictement positive sur tout $[-3;3]$, qui ne s'annule jamais.
- Courbe (c) : positive sur $[-3;-1[$, nulle en $x=-1$, négative sur $]-1;2[$, nulle en $x=2$, positive sur $]2;3]$.

Associer chaque fonction (1), (2), (3) à sa fonction dérivée parmi (a), (b), (c), en justifiant chaque choix par la cohérence entre variations et signe de la dérivée.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=2x-2$, représentées respectivement par la parabole ${\mathcal{C}}_f$ et la droite $D$. On pose $d(x)=f(x)-g(x)$.

1. Calculer $d(x)$ et $d^{\prime }(x)$, étudier le signe de $d^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $d$.
2. En déduire le minimum de $d$ sur $\mathbb{R}$. Que peut-on en conclure sur le nombre de points communs à ${\mathcal{C}}_f$ et $D$ ?
3. Sans résoudre d'équation supplémentaire, préciser la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $D$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et le point $M(1;-5)$.

1. Vérifier que $M$ n'appartient pas à ${\mathcal{C}}_f$.
2. Pour un réel $a$ quelconque, écrire l'équation de la tangente $T_a$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a$, et montrer qu'elle peut s'écrire $y=2ax-a^2-2$.
3. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles la tangente $T_a$ passe par le point $M$.
4. En déduire les équations des tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ passant par $M$, ainsi que les coordonnées de leurs points de tangence.

Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout réel $x>0$ :$$x+\frac{1}{x}⩾2$$avec égalité seulement en $x=1$.

On introduit la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=x+\frac{1}{x}-2$.

1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et l'écrire sous la forme d'une unique fraction.
2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ sur $]0;+\infty [$ et dresser le tableau de variations de $g$.
3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty [$, puis conclure sur l'inégalité annoncée et le cas d'égalité.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$, et $T$ la tangente à sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $a=2$.

1. Calculer $f(2)$, $f^{\prime }(x)$ puis $f^{\prime }(2)$, et en déduire l'équation réduite de $T$.
2. On pose $\delta (x)=f(x)-T(x)$, où $T(x)$ désigne l'ordonnée du point de $T$ d'abscisse $x$. Montrer que $\delta (x)=x^3-12x+16$, puis vérifier que $\delta (x)=(x-2{)}^2(x+4)$.
3. Étudier le signe de $\delta (x)$ sur $\mathbb{R}$, et en déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $T$, en précisant si la courbe traverse sa tangente en un point autre que le point de tangence.

Un éleveur dispose de $120$ m de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire, qu'il souhaite en plus diviser en deux parties égales à l'aide d'une clôture intérieure parallèle à deux des côtés. Le grillage sert donc à réaliser trois segments parallèles de longueur $x$ (les deux côtés extrêmes et la clôture centrale) et deux segments de longueur $L$ (les deux autres côtés), avec $x$ et $L$ exprimés en mètres.

1. Exprimer, en fonction de $x$, la longueur $L(x)$ du côté restant, à partir de la contrainte $3x+2L=120$, puis préciser l'ensemble de définition pertinent pour $x$ (on exclut les valeurs qui ne donneraient pas un enclos réel).
2. Exprimer l'aire totale $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$, puis calculer $A^{\prime }(x)$.
3. Étudier le signe de $A^{\prime }(x)$ sur l'intervalle trouvé, en déduire la valeur de $x$ qui maximise l'aire, puis donner cette aire maximale et la valeur correspondante de $L$.

Une entreprise fabrique un appareil électroménager. Pour une production de $x$ centaines d'unités, avec $x\in [0;15]$, le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par :$$C(x)=2x^2+5x+50$$L'entreprise revend l'intégralité de sa production à un prix constant, ce qui donne une recette totale (en milliers d'euros) :$$R(x)=45x$$1. Le coût marginal est, par définition, la dérivée du coût total : il représente le coût approximatif engendré par une centaine d'unités supplémentaires produites. Calculer $C^{\prime }(x)$, puis donner sa valeur pour $x=5$ et interpréter ce nombre dans le contexte de l'énoncé.
2. Exprimer le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ en fonction de $x$, puis calculer $B^{\prime }(x)$.
3. Étudier le signe de $B^{\prime }(x)$ sur $[0;15]$, dresser le tableau de variations de $B$, et déterminer la quantité produite qui maximise le bénéfice, ainsi que la valeur de ce bénéfice maximal.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :$$f(x)=|x+2|-x$$1. Justifier que, pour $x⩾-2$, $f(x)=2$, et que pour $x<-2$, $f(x)=-2x-2$.
2. Vérifier que les deux expressions trouvées en question 1 donnent la même valeur en $x=-2$ : la courbe de $f$ ne présente pas de saut en ce point.
3. Calculer le nombre dérivé « à droite » de $f$ en $-2$ (à partir de l'expression valable pour $x⩾-2$) et le nombre dérivé « à gauche » de $f$ en $-2$ (à partir de l'expression valable pour $x<-2$). La fonction $f$ est-elle dérivable en $x=-2$ ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-x$, et la droite $D$ d'équation $y=-\frac{1}{2}x+3$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. À l'aide de vecteurs directeurs, établir la condition sur les coefficients directeurs pour que deux droites soient perpendiculaires, puis en déduire la valeur du coefficient directeur que doit avoir une tangente à la courbe de $f$ pour être perpendiculaire à $D$.
3. Résoudre l'équation correspondante, puis donner les équations réduites des tangentes à la courbe de $f$ qui sont perpendiculaires à $D$, en précisant leurs points de tangence.

On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5;5]$, dans un repère orthogonal.

Au point $A$ d'abscisse $1$, la tangente à la courbe de $f$ est tracée : elle passe par les points $A(1;-2)$ et $B(4;7)$.

Au point $C$ d'abscisse $-2$, une seconde tangente est tracée : elle passe par les points $C(-2;5)$ et $D(0;1)$.

1. Donner, par lecture graphique, les valeurs de $f(1)$ et $f(-2)$.
2. Calculer le coefficient directeur de chacune des deux tangentes, pour en déduire $f^{\prime }(1)$ et $f^{\prime }(-2)$.
3. Quel est le signe de $f^{\prime }(-2)$ ? Interpréter ce signe graphiquement, pour la tangente en $C$ puis pour l'allure de la courbe au voisinage de $x=-2$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est tracée dans un repère orthogonal. On sait que :$$f(2)=4\text{ et }{f}^{\prime }(2)=-3$$1. Donner l'équation réduite $y=mx+p$ de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $2$.
2. Vérifier que le point $F(6;-8)$ appartient à $T$.
3. Donner les coordonnées du point de tangence, utile pour tracer $T$ dans le repère.