Exercices de Fonction exponentielle, Première

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

1. $e^{2x-1}=e^{x+3}$
2. $e^x=1$
3. $e^{3x}>e^{x+4}$
4. $e^{x^2-3x}=e^{-2}$

La fonction exponentielle $f(x)=e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }(x)=e^x$.

1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
- $g(x)=e^{2x}$
- $h(x)=e^{3x-1}$
- $k(x)=x\cdot e^x$
- $\ell (x)=\frac{e^x}{x}$ (pour $x\ne 0$)

2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et conclure sur les variations de $g$.

Simplifier chacune des expressions suivantes, en l'écrivant sous la forme d'une unique puissance de $e$ (ou d'un nombre entier) :

1. $A=e^{3x-1}\times e^{-x+4}$
2. $B=\frac{e^{5x}}{e^{2x-3}}$
3. $C=e^7\times e^{-7}$

Simplifier chacune des expressions suivantes :

1. $D={\left(e^{2x+1}\right)}^3$
2. $E=e^{4x}\times {\left(e^{-x}\right)}^2$
3. $F=\frac{{\left(e^{x-2}\right)}^2}{e^{2x-1}}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $e^{2x-5}=e^{x+1}$
2. $e^{-3x+4}=1$
3. $e^{5x-2}=e^{3-x}$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=e^{3x-2}$
2. $g(x)=e^{-4x+1}$
3. $h(x)=e^{\frac{x}{2}}$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=5x^2-3x+2e^{4x-1}$
2. $g(x)=-7-x+e^{-2x+3}$

On considère les trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par$$f_1(x)=e^{2x-1}{f}_2(x)=e^{-x+3}{f}_3(x)=e^{\frac{x}{2}+2}$$Sans tracer aucune courbe, répondre pour chacune des trois fonctions, en justifiant :

1. Quel est son sens de variation sur $\mathbb{R}$ ?
2. Quelle est sa valeur en $x=0$ (valeur exacte puis arrondie au centième, avec $e\approx 2,71828$) ?

Factoriser puis simplifier chacune des expressions suivantes :

1. $G=e^{2x}+e^{2x+3}$
2. $H=e^{5x-1}-e^{5x+2}$

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par$$u_n=3e^{2n-1}$$1. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique, en précisant sa raison $q$ et son premier terme $u_0$.
2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. Calculer $u_3$ (valeur exacte, puis arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$).

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction exponentielle, arrondies au centième :$$\begin{array}{ccccccc}x& -1& 0& 0,5& 1& 1,5& 2\\ e^x& 0,37& 1& 1,65& 2,72& 4,48& 7,39\end{array}$$1. L'équation $e^x=-3$ admet-elle une solution dans $\mathbb{R}$ ? Justifier.
2. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude $0,5$ d'une solution de l'équation $e^x=5$.
3. Résoudre exactement dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x=1$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1. $e^{3x-2}\le e^{x+4}$
2. $e^{-2x+1}>1$
3. $e^{4x-3}\ge e^{2-x}$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=(3x+1)e^{2x-1}$
2. $g(x)=(5-2x)e^{-x+4}$

On donnera chaque résultat sous forme factorisée par le facteur exponentiel.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x-1}$, et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x_0=\frac{1}{2}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes, après avoir factorisé le membre de gauche :

1. $3x{e}^{2x+1}-6e^{2x+1}<0$
2. $\left(x^2-4\right)e^{-x+3}\ge 0$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l'ensemble où elles sont définies :

1. $f(x)=\frac{e^{2x-1}}{x+3}$
2. $g(x)=\frac{3x-1}{e^{x-2}}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(2x-4)e^{-x+1}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, avec la valeur exacte de l'extremum.
4. Calculer $f(0)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$).

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-1$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et $D$ la droite d'équation $y=2x$.

1. On pose, pour tout réel $x$, $h(x)=f(x)-2x$. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.
2. En déduire les variations de $h$, puis la valeur de son minimum.
3. En déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $D$ sur $\mathbb{R}$, en précisant en quel(s) point(s) elles se rencontrent.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(x-3)e^{2x-1}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Déterminer les coordonnées du point de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale (abscisse exacte, ordonnée exacte).

Un échantillon d'une substance radioactive a une masse initiale de $100$ mg. Sa masse restante, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, est modélisée par$$m(t)=100e^{-0,05t}t\ge 0$$1. Justifier, à partir de l'expression de $m$, que la masse restante diminue au cours du temps.
2. On rappelle que la demi-vie de cette substance, c'est-à-dire la durée au bout de laquelle la masse initiale est divisée par deux, vaut environ $14$ jours. Calculer $m(14)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$), et vérifier que ce résultat est cohérent avec la demi-vie annoncée.
3. Calculer $m(28)$ (valeur arrondie au centième) et comparer ce résultat au quart de la masse initiale. Commenter.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, en posant $X=e^x$ :

1. $e^{2x}-3e^x+2=0$
2. $e^{2x}-3e^x-4=0$

Pour les solutions qui ne peuvent pas s'exprimer exactement, on donnera une valeur approchée à $0,01$ près à l'aide de la calculatrice.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(x+1)e^{-x+2}$$On admet, à l'issue d'une étude déjà menée, que $f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x+2}$, et l'on donne le tableau de variations suivant, complété par le fait que $f(-1)=0$ et que les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $0$ (sans jamais l'atteindre) lorsque $x$ devient très grand :$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 0& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& 0& -& \\ f(x)& -\infty & \nearrow & e^2& \searrow & 0\end{array}$$1. Justifier, à partir de $f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x+2}$, le signe de $f^{\prime }$ indiqué dans le tableau.
2. Calculer $f(-1)$ et vérifier qu'il est cohérent avec le tableau.
3. Discuter, selon les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x+3}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=g(x)e^{-x+3}$, où $g(x)=-x^2+2x-1$.
2. Montrer que, pour tout réel $x$, $g(x)=-(x-1{)}^2$, puis étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis le sens de variation de $f$.

Une tasse de café, sortie de la machine à une température de $90°C$, est posée dans une pièce dont la température ambiante est de $20°C$. Sa température $T(t)$, exprimée en degrés Celsius en fonction du temps $t$ écoulé en minutes, est modélisée par$$T(t)=20+70e^{-0,1t}t\ge 0$$1. Vérifier que ce modèle est cohérent avec la température initiale du café.
2. Étudier le sens de variation de $T$ sur $[0;+\infty [$, sans calculer de limite.
3. Calculer la température du café au bout de $15$ minutes (valeur exacte, puis arrondie au dixième de degré avec $e\approx 2,71828$).
4. Que peut-on dire, de façon qualitative, de la température du café au bout d'un temps très long ?

Le nombre d'utilisateurs, en milliers, d'une application $t$ mois après son lancement, est modélisé pour $t\ge 0$ par$$u(t)=A{e}^{kt}$$où $A$ et $k$ sont deux constantes réelles à déterminer.

On sait qu'au lancement ($t=0$), l'application comptait $4$ milliers d'utilisateurs, et que le nombre d'utilisateurs a été multiplié par $e^{1,2}$ au bout de $6$ mois.

1. Déterminer la valeur de $A$.
2. À l'aide de la donnée à $6$ mois, déterminer la valeur de $k$.
3. En déduire l'expression de $u(t)$, le sens de variation de $u$ sur $[0;+\infty [$, et calculer $u(12)$ (valeur exacte, puis arrondie à l'unité en milliers d'utilisateurs, avec $e\approx 2,71828$).

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On admet que sa dérivée s'écrit, pour tout réel $x$,$$f^{\prime }(x)=\left(x^2-x-6\right)e^{-x+2}$$1. Factoriser $x^2-x-6$.
2. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (on précisera la nature, maximum local ou minimum local, des deux points où $f^{\prime }$ s'annule, sans chercher à calculer les valeurs de $f$ en ces points).
4. Calculer $f^{\prime }(0)$ et vérifier que son signe est cohérent avec le tableau de variations obtenu.

Simplifier chacune des expressions suivantes, en l'écrivant sous la forme d'une unique puissance de $e$ (ou d'un nombre entier) :

1. $A=e^{4x+2}\times e^{-2x-5}$
2. $B=\frac{e^{7x-1}}{e^{3x+2}}$
3. $C=e^{-6}\times e^6$

Simplifier chacune des expressions suivantes :

1. $D={\left(e^{3x-2}\right)}^2$
2. $E=e^{5x}\times {\left(e^{-2x}\right)}^3$
3. $F=\frac{{\left(e^{x+1}\right)}^3}{e^{3x+1}}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $e^{3x-4}=e^{x+2}$
2. $e^{-2x+5}=1$
3. $e^{4x-1}=e^{2-x}$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=e^{5x-3}$
2. $g(x)=e^{-2x+7}$
3. $h(x)=e^{\frac{x}{3}}$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=-2x^2+4x+3e^{2x+1}$
2. $g(x)=9-5x-e^{-3x+2}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1. $e^{2x-3}\le e^{4x+1}$
2. $e^{-x+5}>1$

Factoriser puis simplifier chacune des expressions suivantes :

1. $G=e^{3x}+e^{3x+2}$
2. $H=e^{4x+5}-e^{4x-1}$

On considère l'expression$$K=\frac{e^{5x-2}\times e^{-x+7}}{e^{2x+1}}$$1. Écrire $K$ sous la forme $e^{ax+b}$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
2. En déduire le sens de variation de la fonction $x\mapsto K$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par$$v_n=5e^{3n+2}$$1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, en précisant sa raison $q$ et son premier terme $v_0$.
2. En déduire le sens de variation de la suite $(v_n)$.
3. Calculer $v_2$ (valeur exacte, puis arrondie au centième à l'aide de la calculatrice).

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction exponentielle, arrondies au centième :$$\begin{array}{ccccccc}x& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ e^x& 0,14& 0,37& 1& 2,72& 7,39& 20,09\end{array}$$1. L'équation $e^x=-4$ admet-elle une solution dans $\mathbb{R}$ ? Justifier.
2. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude $1$ d'une solution de l'équation $e^x=10$.
3. Résoudre exactement dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x=e^2$.

On donne quatre expressions candidates, toutes définies sur $\mathbb{R}$ :$$g_1(x)=e^{2x-3}{g}_2(x)=e^{-2x-3}{g}_3(x)=e^{2x+3}{g}_4(x)=e^{-2x+3}$$Une courbe $\mathcal{C}$ associée à l'une de ces quatre expressions est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée strictement supérieure à $1$.

Déterminer, en justifiant à l'aide des propriétés algébriques (sans tracer aucune courbe), laquelle des quatre expressions correspond à $\mathcal{C}$.

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=(4x-1)e^{3x+2}$
2. $g(x)=(7-3x)e^{-2x+5}$

On donnera chaque résultat sous forme factorisée par le facteur exponentiel.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la dérivée s'écrit, pour tout réel $x$,$$f^{\prime }(x)=(2x-6)e^{-x+2}$$1. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (on précisera en quelle valeur de $x$ $f$ atteint son extremum, sans chercher à calculer $f$ en ce point).