Exercices de Fonction exponentielle, Première (page 2)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x-2}$, et ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x_0=\frac{2}{3}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{-3x+6}$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant brièvement :

1. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
2. $f(2)=1$.
3. $f^{\prime }(x)=-3e^{-3x+6}$ pour tout réel $x$.
4. La suite ${\left(f(n)\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $e^{-3}$.
5. L'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Soit $x$ un réel quelconque. Démontrer, en utilisant uniquement la relation $e^a\times e^b=e^{a+b}$ (valable pour tous réels $a,b$), l'égalité suivante :$$\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^x}{1+e^x}$$(indication : multiplier le numérateur et le dénominateur du membre de gauche par $e^x$.)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes, après avoir factorisé le membre de gauche :

1. $5x{e}^{3x-2}-15e^{3x-2}<0$
2. $\left(x^2-9\right)e^{-2x+1}\ge 0$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l'ensemble où elles sont définies :

1. $f(x)=\frac{e^{3x-2}}{x-1}$
2. $g(x)=\frac{2x+5}{e^{x+3}}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(3x-6)e^{-x+2}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, avec la valeur exacte de l'extremum.
4. Calculer $f(0)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$).

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}-1$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et $D$ la droite d'équation $y=3x$.

1. On pose, pour tout réel $x$, $h(x)=f(x)-3x$. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.
2. En déduire les variations de $h$, puis la valeur de son minimum.
3. En déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $D$ sur $\mathbb{R}$, en précisant en quel point elles se rencontrent.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(x-5)e^{3x-2}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Déterminer les coordonnées du point de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale (abscisse exacte, ordonnée exacte).

La concentration en principe actif d'un médicament dans le sang, exprimée en mg/L, $t$ heures après une prise, est modélisée pour $t\ge 0$ par$$C(t)=B{e}^{-kt}$$où $B$ et $k$ sont deux constantes réelles à déterminer.

On sait qu'immédiatement après la prise ($t=0$), la concentration est de $8$ mg/L, et qu'au bout de $4$ heures, elle a été divisée par $e^{0,8}$.

1. Déterminer la valeur de $B$.
2. À l'aide de la donnée à $4$ heures, déterminer la valeur de $k$.
3. En déduire l'expression de $C(t)$, le sens de variation de $C$ sur $[0;+\infty [$, et calculer $C(10)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$).

Un échantillon d'une substance radioactive a une masse initiale de $200$ mg. Sa masse restante, en fonction du temps $t$ exprimé en années, est modélisée par$$m(t)=200e^{-0,04t}t\ge 0$$1. Justifier, à partir de l'expression de $m$, que la masse restante diminue au cours du temps.
2. On rappelle que la demi-vie de cette substance vaut environ $17,3$ ans. Calculer $m(17,3)$ (valeur arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$), et vérifier que ce résultat est cohérent avec la demi-vie annoncée.
3. Calculer $m(34,6)$ (valeur arrondie au centième) et comparer ce résultat au quart de la masse initiale. Commenter.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, en posant $X=e^x$ :

1. $e^{2x}-5e^x+6=0$
2. $e^{2x}+e^x-6=0$

Pour les solutions qui ne peuvent pas s'exprimer exactement, on donnera une valeur approchée à $0,01$ près à l'aide de la calculatrice.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=\left(x^2-3\right)e^{-x+1}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=g(x)e^{-x+1}$, où $g(x)=-x^2+2x+3$.
2. Montrer que, pour tout réel $x$, $g(x)=-(x-3)(x+1)$, puis étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis le tableau de variations de $f$.

Un plat, sorti du four à une température de $180{}^{\circ }\mathrm{C}$, est posé dans une cuisine dont la température ambiante est de $22{}^{\circ }\mathrm{C}$. Sa température $T(t)$, exprimée en degrés Celsius en fonction du temps $t$ écoulé en minutes, est modélisée par$$T(t)=22+158e^{-0,08t}t\ge 0$$1. Vérifier que ce modèle est cohérent avec la température initiale du plat.
2. Étudier le sens de variation de $T$ sur $[0;+\infty [$, sans calculer de limite.
3. Calculer la température du plat au bout de $20$ minutes (valeur exacte, puis arrondie au dixième de degré avec $e\approx 2,71828$).
4. Que peut-on dire, de façon qualitative, de la température du plat au bout d'un temps très long ?

Écrire chacune des expressions suivantes sous la forme d'une unique puissance de $e$ (ou d'un nombre entier), en détaillant le calcul sur les exposants :

1. $A=e^{4x-3}\times e^{-x+5}$
2. $B=\frac{e^{6x-1}}{e^{2x+4}}$
3. $C=e^9\times e^{-9}$

Simplifier chacune des expressions suivantes, sous la forme d'une unique puissance de $e$ :

1. $D={\left(e^{x+3}\right)}^4$
2. $E=e^{6x}\times {\left(e^{-2x}\right)}^2$
3. $F=\frac{{\left(e^{2x-1}\right)}^2}{e^{4x+3}}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :

1. $e^{4x-7}=e^{x+2}$
2. $e^{-5x+3}=1$
3. $e^{6x-4}=e^{1-3x}$

On considère les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$. Calculer $f^{\prime }(x)$, $g^{\prime }(x)$ et $h^{\prime }(x)$ :

1. $f(x)=e^{4x+5}$
2. $g(x)=e^{-3x-2}$
3. $h(x)=e^{\frac{x}{4}}$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=3x^2-7x+4e^{2x+3}$
2. $g(x)=6+2x-e^{-5x+1}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes :

1. $e^{4x-1}\ge e^{2x+5}$
2. $e^{-3x+2}<1$
3. $e^{5x-2}\le e^{3-x}$

Factoriser puis simplifier chacune des expressions suivantes :

1. $G=e^{4x}+e^{4x+5}$
2. $H=e^{3x-4}-e^{3x+2}$

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par$$u_n=4e^{3n+1}$$1. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique, en précisant sa raison $q$ et son premier terme $u_0$.
2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. Calculer $u_2$ (valeur exacte, puis arrondie au centième à l'aide de la calculatrice).

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. $f(x)=(5x+2)e^{3x-1}$
2. $g(x)=(6-4x)e^{-3x+2}$

On donnera chaque résultat sous forme factorisée par le facteur exponentiel.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{4x-3}$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $x_0=\frac{3}{4}$.

La masse $M(t)$, en grammes, d'une culture de bactéries $t$ heures après le début d'une expérience, est modélisée pour $t\ge 0$ par$$M(t)=5e^{0,2t}$$1. Calculer $M^{\prime }(t)$.
2. Calculer la valeur exacte de $M^{\prime }(5)$, puis sa valeur arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$. Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $M$ au point d'abscisse $5$ : interpréter concrètement sa valeur dans le contexte de l'énoncé, unité comprise.
3. Calculer le taux de variation moyen de $M$ entre $t=0$ et $t=5$ (valeur exacte, puis arrondie au centième).
4. Comparer les résultats des questions 2. et 3., et expliquer pourquoi ils sont différents.

On donne quatre expressions, toutes définies sur $\mathbb{R}$ :$$p_1(x)=e^{-3x+1}{p}_2(x)=e^{3x+1}{p}_3(x)=e^{-3x-1}{p}_4(x)=e^{3x-1}$$Une courbe $\Gamma$, associée à l'une de ces quatre expressions, est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ et coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée strictement inférieure à $1$.

Déterminer, en justifiant à l'aide des propriétés algébriques (sans tracer aucune courbe), laquelle des quatre expressions correspond à $\Gamma$.

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction exponentielle, arrondies au centième :$$\begin{array}{ccccccc}x& -1& 0& 1& 2& 3& 4\\ e^x& 0,37& 1& 2,72& 7,39& 20,09& 54,60\end{array}$$1. L'équation $e^x=-5$ admet-elle une solution dans $\mathbb{R}$ ? Justifier.
2. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude $1$ d'une solution de l'équation $e^x=40$.
3. Résoudre exactement dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^x=e^{-1}$.

Soit $x$ un réel quelconque. En développant chaque carré et en utilisant uniquement la relation $e^a\times e^b=e^{a+b}$ (valable pour tous réels $a,b$) ainsi que $e^0=1$, démontrer l'égalité suivante :$${\left(e^x+e^{-x}\right)}^2-{\left(e^x-e^{-x}\right)}^2=4$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes, après avoir factorisé le membre de gauche :

1. $4x{e}^{3x+2}-20e^{3x+2}<0$
2. $\left(x^2-x-12\right)e^{-2x+5}\ge 0$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l'ensemble où elles sont définies :

1. $f(x)=\frac{e^{4x-3}}{x+2}$
2. $g(x)=\frac{5x-2}{e^{2x+1}}$

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dont la dérivée s'écrit, pour tout réel $x$,$$f^{\prime }(x)=(3x-9)e^{-2x+4}$$On donne de plus $f(3)=2e^{-2}$.

1. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, en indiquant la valeur exacte de son extremum.
3. Donner une valeur approchée au centième de cet extremum, avec $e\approx 2,71828$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(4x-8)e^{-x+3}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, avec la valeur exacte de l'extremum.
4. Calculer $f(0)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$).

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}$, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$, et $D$ la droite d'équation $y=2x+1$.

1. Calculer $f(0)$ et $f^{\prime }(0)$, puis vérifier que $D$ est la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.
2. On pose, pour tout réel $x$, $h(x)=f(x)-(2x+1)$. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire les variations de $h$, puis la valeur de son minimum.
4. En déduire la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $D$ sur $\mathbb{R}$, et interpréter géométriquement ce résultat.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(2x-3)e^{-2x+1}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
2. Déterminer les coordonnées du point de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale (abscisse exacte, ordonnée exacte, puis valeur approchée de l'ordonnée au centième avec $e\approx 2,71828$).

Le nombre d'individus, en milliers, d'une colonie d'insectes $t$ semaines après son implantation, est modélisé pour $t\ge 0$ par$$p(t)=A{e}^{kt}$$où $A$ et $k$ sont deux constantes réelles à déterminer.

On sait qu'à l'implantation ($t=0$), la colonie comptait $3$ milliers d'individus, et que ce nombre a été multiplié par $e^{0,9}$ au bout de $3$ semaines.

1. Déterminer la valeur de $A$.
2. À l'aide de la donnée à $3$ semaines, déterminer la valeur de $k$.
3. En déduire l'expression de $p(t)$, le sens de variation de $p$ sur $[0;+\infty [$, et calculer $p(9)$ (valeur exacte, puis arrondie au centième en milliers d'individus, avec $e\approx 2,71828$).

Une canette de soda, sortie d'un réfrigérateur à une température de $4{}^{\circ }\mathrm{C}$, est posée dans une pièce dont la température ambiante est de $24{}^{\circ }\mathrm{C}$. Sa température $T(t)$, exprimée en degrés Celsius en fonction du temps $t$ écoulé en minutes, est modélisée par$$T(t)=24-20e^{-0,05t}t\ge 0$$1. Vérifier que ce modèle est cohérent avec la température initiale de la canette.
2. Étudier le sens de variation de $T$ sur $[0;+\infty [$, sans calculer de limite.
3. Calculer la température de la canette au bout de $30$ minutes (valeur exacte, puis arrondie au dixième de degré avec $e\approx 2,71828$).
4. Que peut-on dire, de façon qualitative, de la température de la canette au bout d'un temps très long ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes, en posant $X=e^x$ :

1. $e^{2x}-7e^x+10=0$
2. $e^{2x}+2e^x-15=0$

Pour les solutions qui ne peuvent pas s'exprimer exactement, on donnera une valeur approchée à $0,01$ près à l'aide de la calculatrice.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=(x-2)e^{-x+4}$$On admet, à l'issue d'une étude déjà menée, que $f^{\prime }(x)=(3-x)e^{-x+4}$, et l'on donne le tableau de variations suivant, complété par le fait que les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $0$ (sans jamais l'atteindre) lorsque $x$ devient très grand, et deviennent aussi négatives que l'on veut lorsque $x$ devient très négatif :$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 3& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& 0& -& \\ f(x)& -\infty & \nearrow & e& \searrow & 0\end{array}$$1. Justifier, à partir de $f^{\prime }(x)=(3-x)e^{-x+4}$, le signe de $f^{\prime }$ indiqué dans le tableau.
2. Calculer $f(2)$ et vérifier qu'il est cohérent avec le tableau.
3. Discuter, selon les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par$$f(x)=\left(x^2-8\right)e^{-x+3}$$1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime }(x)=g(x)e^{-x+3}$, où $g(x)=-x^2+2x+8$.
2. Montrer que, pour tout réel $x$, $g(x)=-(x-4)(x+2)$, puis étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis le tableau de variations de $f$ (on précisera la nature, maximum local ou minimum local, des deux points où $f^{\prime }$ s'annule, sans chercher à calculer les valeurs de $f$ en ces points).

Un échantillon d'iode radioactif (iode-131) a une masse initiale de $80$ mg. Sa masse restante, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, est modélisée par$$m(t)=80e^{-0,0866t}t\ge 0$$1. Justifier, à partir de l'expression de $m$, que la masse restante diminue au cours du temps.
2. On rappelle que la demi-vie de l'iode-131 vaut environ $8$ jours. Calculer $m(8)$ (valeur arrondie au centième avec $e\approx 2,71828$), et vérifier que ce résultat est cohérent avec la demi-vie annoncée.
3. Calculer $m(16)$ (valeur arrondie au centième) et comparer ce résultat au quart de la masse initiale. Commenter.