Exercices de Fonction exponentielle en maths Première (page 3)

82. $Simplifier un produit et un quotient d'exponentielles à exposants affines$

Simplifier chacune des expressions suivantes, en l'écrivant sous la forme d'une unique puissance de

e

(ou d'un nombre entier) :

1.

A = e^{5 x + 3} \times e^{- 3 x - 7}

B = \frac{e ^{9 x - 2}}{e ^{4 x + 1}}

C = e^{- 11} \times e^{11}

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83. $Simplifier une expression combinant puissances et produits d'exponentielles$

Simplifier chacune des expressions suivantes :

1.

D = (e^{4 x + 1})^{2}

E = e^{6 x} \times (e^{- 3 x})^{2}

F = \frac{( e ^{x - 2} ) ^{3}}{e ^{3 x - 5}}

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84. $Résoudre des équations exponentielles par égalité des exposants$

Résoudre dans

R

les équations suivantes :

1.

e^{3 x - 7} = e^{x + 5}

e^{- 5 x + 2} = 1

e^{7 x - 3} = e^{4 - 2 x}

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85. $Calculer la dérivée de fonctions exponentielles à exposant affine$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur

R

:

1.

f (x) = e^{5 x + 3}

g (x) = e^{- 2 x - 4}

h (x) = e^{- \frac{x}{4} + 2}

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86. $Calculer la dérivée d'une somme comportant un terme exponentiel$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur

R

:

1.

f (x) = 4 x^{2} + 7 x - 3 e^{2 x + 5}

g (x) = 9 - 5 x + e^{- 3 x + 2}

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87. $Résoudre des inéquations exponentielles simples$

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes :

1.

e^{5 x - 2} \leq e^{2 x + 7}

e^{- 4 x + 3} > 1

e^{x - 6} \geq e^{4 - 2 x}

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88. $Factoriser des expressions faisant apparaître un facteur exponentiel commun$

Factoriser puis simplifier chacune des expressions suivantes :

1.

G = e^{3 x} + e^{3 x + 4}

H = e^{4 x + 2} - e^{4 x - 1}

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89. $Démontrer une égalité algébrique sur la fonction exponentielle$

Démontrer que, pour tout réel

x

e^{3 x - 2} \times e^{- x + 5} = e^{3} \times e^{2 x}

On rédigera la démonstration en utilisant strictement la relation fonctionnelle

e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}

, sans admettre le résultat.

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90. $Réécrire une expression sous la forme d'une unique exponentielle$

On considère l'expression, définie pour tout réel

x

, suivante :

K = \frac{e ^{2 x + 1} \times e ^{- 5 x + 4}}{e ^{- x - 3}}

1. Réécrire

K

sous la forme

e^{a x + b}

, où

a

b

sont deux réels à préciser.
2. En déduire la valeur de

K

pour

x = 0

(valeur exacte).

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91. $Reconnaître une suite géométrique définie à partir de l'exponentielle$

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier naturel

n

par

u_{n} = 5 e^{3 n + 2}

1. Montrer que

(u_{n})

est une suite géométrique, en précisant sa raison

q

et son premier terme

u_{0}

(valeurs exactes).
2. En déduire le sens de variation de la suite

(u_{n})

.
3. Calculer

u_{2}

(valeur exacte, puis arrondie au centième à l'aide de la calculatrice).

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92. $Étudier l'existence de solutions d'une équation exponentielle à l'aide d'un tableau de valeurs$

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction exponentielle, arrondies au centième :

x e^{x} 01 1 2, 72 2 7, 39 3 20, 09 4 54, 60 5 148, 41

1. L'équation

e^{x} = - 8

admet-elle une solution dans

R

? Justifier.
2. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude

1

d'une solution de l'équation

e^{x} = 100

.
3. Résoudre exactement dans

R

l'équation

e^{3 x - 6} = 1

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93. $Calculer la dérivée de produits affine par exponentielle$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur

R

:

1.

f (x) = (4 x - 5) e^{3 x + 2}

g (x) = (7 - 2 x) e^{- 4 x + 1}

On donnera chaque résultat sous forme factorisée par le facteur exponentiel.

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94. $Déterminer la valeur exacte d'un extremum à partir de la dérivée factorisée$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (5 - 2 x) e^{2 x - 6}

1. Calculer

f^{'} (x)

et l'écrire sous la forme

k (2 - x) e^{2 x - 6}

, où

k

est un réel à préciser.
2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

sur

R

, puis dresser le tableau de variations de

f

.
3. En déduire la valeur exacte de l'extremum de

f

, puis sa valeur arrondie au centième avec

e \approx 2, 71828

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95. $Déterminer l'équation d'une tangente à la courbe représentative d'une exponentielle$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = e^{4 x - 8}

, et

C_{f}

sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente

T

C_{f}

au point d'abscisse

x_{0} = 2

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96. $Résoudre des inéquations en factorisant un facteur exponentiel$

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes, après avoir factorisé le membre de gauche :

1.

4 x e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} \geq 0

(x^{2} - 16) e^{- 3 x + 2} < 0

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97. $Calculer la dérivée de quotients faisant intervenir une exponentielle$

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, sur l'ensemble où elles sont définies :

1.

f (x) = \frac{e ^{3 x - 2}}{x + 5}

g (x) = \frac{4 x + 1}{e ^{x - 3}}

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98. $Étudier le signe d'une dérivée et dresser le tableau de variations complet$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (6 - 3 x) e^{x + 1}

1. Calculer

f^{'} (x)

et l'écrire sous forme factorisée.
2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

sur

R

.
3. Dresser le tableau de variations de

f

sur

R

, avec la valeur exacte de l'extremum.
4. Calculer

f (0)

(valeur exacte, puis arrondie au centième avec

e \approx 2, 71828

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99. $Étudier complètement une fonction produit d'une expression affine et d'une exponentielle$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (2 x + 5) e^{- x + 3}

1. Calculer

f^{'} (x)

et l'écrire sous forme factorisée.
2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

sur

R

.
3. Dresser le tableau de variations de

f

sur

R

, avec la valeur exacte de l'extremum.
4. Calculer

f (0)

(valeur exacte, puis arrondie au centième avec

e \approx 2, 71828

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100. $Comparer une courbe exponentielle à sa tangente en un point autre que l'origine$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = e^{x - 1}

, de courbe représentative

C_{f}

.

1. Calculer

f (1)

f^{'} (1)

, puis vérifier que la droite

D

d'équation

y = x

est la tangente à

C_{f}

au point d'abscisse

1

.
2. On pose, pour tout réel

x

h (x) = f (x) - x

. Calculer

h^{'} (x)

et étudier son signe sur

R

.
3. En déduire les variations de

h

, puis la valeur de son minimum.
4. En déduire la position de

C_{f}

par rapport à

D

sur

R

, en précisant en quel point elles se rencontrent.

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101. $Déterminer les coordonnées d'un point à tangente horizontale$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (x - 4) e^{3 x - 5}

1. Calculer

f^{'} (x)

et l'écrire sous forme factorisée.
2. Déterminer les coordonnées du point de la courbe de

f

où la tangente est horizontale (abscisse exacte, puis arrondie au centième ; ordonnée exacte).

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102. $Déterminer les paramètres d'un modèle de croissance exponentielle d'une population$

Le nombre de bactéries, en milliers, présentes dans une culture

t

heures après le début d'une expérience est modélisé pour

t \geq 0

par

n (t) = A e^{k t}

où

A

k

sont deux constantes réelles à déterminer.

On sait qu'à l'instant initial (

t = 0

), la culture comptait

2

milliers de bactéries, et que ce nombre a été multiplié par

e^{1, 5}

au bout de

5

heures.

1. Déterminer la valeur de

A

.
2. À l'aide de la donnée à

5

heures, déterminer la valeur de

k

.
3. En déduire l'expression de

n (t)

, le sens de variation de

n

sur

[0; + \infty [

, et calculer

n (10)

(valeur exacte, puis arrondie au centième en milliers de bactéries, avec

e \approx 2, 71828

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103. $Résoudre des équations exponentielles par changement de variable$

Résoudre dans

R

les équations suivantes, en posant

X = e^{x}

:

1.

e^{2 x} - 4 e^{x} + 3 = 0

e^{2 x} + 2 e^{x} - 8 = 0

Pour les solutions qui ne peuvent pas s'exprimer exactement, on donnera une valeur approchée à

0, 01

près à l'aide de la calculatrice.

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104. $Discuter le nombre de solutions d'une équation à l'aide d'un tableau de variations$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (2 - x) e^{x + 1}

1. Calculer

f^{'} (x)

et montrer que

f^{'} (x) = (1 - x) e^{x + 1}

.
2. On admet que les valeurs de

f (x)

se rapprochent de

0

(sans jamais l'atteindre) lorsque

x

tend vers

- \infty

, et que

f (x)

tend vers

- \infty

lorsque

x

devient très grand. En déduire, avec la question 1, le tableau de variations complet de

f

sur

R

(on y fera figurer la valeur exacte du maximum).
3. Calculer

f (2)

et vérifier qu'il est cohérent avec le tableau.
4. Discuter, selon les valeurs du réel

m

, le nombre de solutions de l'équation

f (x) = m

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105. $Étudier le signe d'une dérivée à l'aide d'une fonction auxiliaire quadratique$

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (x^{2} + 3) e^{- 2 x + 5}

1. Calculer

f^{'} (x)

et montrer que

f^{'} (x) = g (x) e^{- 2 x + 5}

, où

g (x) = - 2 x^{2} + 2 x - 6

.
2. Montrer que, pour tout réel

x

g (x) = - 2 (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{11}{2}

, puis étudier le signe de

g (x)

.
3. En déduire le signe de

f^{'} (x)

sur

R

, puis le sens de variation de

f

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106. $Modéliser une décroissance radioactive et vérifier une demi-vie annoncée$

Un échantillon d'une substance radioactive a une masse initiale de

250

mg. Sa masse restante, en fonction du temps

t

exprimé en jours, est modélisée par

m (t) = 250 e^{- 0, 03 t} t \geq 0

1. Justifier, à partir de l'expression de

m

, que la masse restante diminue au cours du temps.
2. On rappelle que la demi-vie de cette substance vaut environ

23

jours. Calculer

m (23)

(valeur exacte, puis arrondie au centième avec

e \approx 2, 71828

), et vérifier que ce résultat est cohérent avec la demi-vie annoncée.
3. Calculer

m (46)

(valeur arrondie au centième) et comparer ce résultat au quart de la masse initiale. Commenter, en le reliant à la demi-vie annoncée.

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107. $Modéliser le réchauffement d'un objet selon une loi de type Newton$

Une barre métallique, sortie d'un congélateur à une température de

- 18^{\circ} C

, est posée dans une pièce dont la température ambiante est de

22^{\circ} C

. Sa température

T (t)

, exprimée en degrés Celsius en fonction du temps

t

écoulé en minutes, est modélisée par

T (t) = 22 - 40 e^{- 0, 08 t} t \geq 0

1. Vérifier que ce modèle est cohérent avec la température initiale de la barre.
2. Étudier le sens de variation de

T

sur

[0; + \infty [

, sans calculer de limite.
3. Calculer la température de la barre au bout de

10

minutes (valeur exacte, puis arrondie au centième avec

e \approx 2, 71828

).
4. Que peut-on dire, de façon qualitative, de la température de la barre au bout d'un temps très long ?

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108. $Rechercher un seuil par balayage numérique dans un modèle exponentiel$

Un capital de départ de

1000

euros est placé et évolue, pour

t

exprimé en années, selon le modèle

C (t) = 1000 e^{0, 04 t}

1. Vérifier que

C (0)

correspond bien au capital initial.
2. Calculer

C (10)

C (11)

(valeurs arrondies au centième avec

e \approx 2, 71828

), et en déduire entre quelles deux années entières le capital dépasse pour la première fois

1500

euros.
3. Compléter l'algorithme suivant, écrit en pseudo-code et utilisant une boucle « tant que », afin qu'il détermine automatiquement la première année entière

t

où le capital dépasse

1500

euros, puis donner la valeur renvoyée :

t \leftarrow 0 C \leftarrow 1000 Tant que C \leq 1500 faire t \leftarrow \dots C \leftarrow \dots Fin Tant que Afficher t

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82.Simplifier un produit et un quotient d'exponentielles à exposants affines

83.Simplifier une expression combinant puissances et produits d'exponentielles

84.Résoudre des équations exponentielles par égalité des exposants

85.Calculer la dérivée de fonctions exponentielles à exposant affine

86.Calculer la dérivée d'une somme comportant un terme exponentiel

87.Résoudre des inéquations exponentielles simples

88.Factoriser des expressions faisant apparaître un facteur exponentiel commun

89.Démontrer une égalité algébrique sur la fonction exponentielle

90.Réécrire une expression sous la forme d'une unique exponentielle

91.Reconnaître une suite géométrique définie à partir de l'exponentielle

92.Étudier l'existence de solutions d'une équation exponentielle à l'aide d'un tableau de valeurs

93.Calculer la dérivée de produits affine par exponentielle

94.Déterminer la valeur exacte d'un extremum à partir de la dérivée factorisée

95.Déterminer l'équation d'une tangente à la courbe représentative d'une exponentielle

96.Résoudre des inéquations en factorisant un facteur exponentiel

97.Calculer la dérivée de quotients faisant intervenir une exponentielle

98.Étudier le signe d'une dérivée et dresser le tableau de variations complet

99.Étudier complètement une fonction produit d'une expression affine et d'une exponentielle

100.Comparer une courbe exponentielle à sa tangente en un point autre que l'origine

101.Déterminer les coordonnées d'un point à tangente horizontale

102.Déterminer les paramètres d'un modèle de croissance exponentielle d'une population

103.Résoudre des équations exponentielles par changement de variable

104.Discuter le nombre de solutions d'une équation à l'aide d'un tableau de variations

105.Étudier le signe d'une dérivée à l'aide d'une fonction auxiliaire quadratique

106.Modéliser une décroissance radioactive et vérifier une demi-vie annoncée

107.Modéliser le réchauffement d'un objet selon une loi de type Newton

108.Rechercher un seuil par balayage numérique dans un modèle exponentiel

82. $Simplifier un produit et un quotient d'exponentielles à exposants affines$

83. $Simplifier une expression combinant puissances et produits d'exponentielles$

84. $Résoudre des équations exponentielles par égalité des exposants$

85. $Calculer la dérivée de fonctions exponentielles à exposant affine$

86. $Calculer la dérivée d'une somme comportant un terme exponentiel$

87. $Résoudre des inéquations exponentielles simples$

88. $Factoriser des expressions faisant apparaître un facteur exponentiel commun$

89. $Démontrer une égalité algébrique sur la fonction exponentielle$

90. $Réécrire une expression sous la forme d'une unique exponentielle$

91. $Reconnaître une suite géométrique définie à partir de l'exponentielle$

92. $Étudier l'existence de solutions d'une équation exponentielle à l'aide d'un tableau de valeurs$

93. $Calculer la dérivée de produits affine par exponentielle$

94. $Déterminer la valeur exacte d'un extremum à partir de la dérivée factorisée$

95. $Déterminer l'équation d'une tangente à la courbe représentative d'une exponentielle$

96. $Résoudre des inéquations en factorisant un facteur exponentiel$

97. $Calculer la dérivée de quotients faisant intervenir une exponentielle$

98. $Étudier le signe d'une dérivée et dresser le tableau de variations complet$

99. $Étudier complètement une fonction produit d'une expression affine et d'une exponentielle$

100. $Comparer une courbe exponentielle à sa tangente en un point autre que l'origine$

101. $Déterminer les coordonnées d'un point à tangente horizontale$

102. $Déterminer les paramètres d'un modèle de croissance exponentielle d'une population$

103. $Résoudre des équations exponentielles par changement de variable$

104. $Discuter le nombre de solutions d'une équation à l'aide d'un tableau de variations$

105. $Étudier le signe d'une dérivée à l'aide d'une fonction auxiliaire quadratique$

106. $Modéliser une décroissance radioactive et vérifier une demi-vie annoncée$

107. $Modéliser le réchauffement d'un objet selon une loi de type Newton$

108. $Rechercher un seuil par balayage numérique dans un modèle exponentiel$