Exercices de Fonctions affines, Première

Dans un repère orthonormé, on considère les fonctions affines $f$ et $g$ dont les représentations graphiques sont deux droites.

1. La droite ${\mathcal{C}}_f$ passe par $A(0;2)$ et $B(3;8)$. Déterminer l'expression de $f(x)$.
2. La droite ${\mathcal{C}}_g$ a une pente $m=-4$ et passe par $C(1;5)$. Déterminer l'expression de $g(x)$.
3. Les droites ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ sont-elles sécantes ou parallèles ? Si elles sont sécantes, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Soit $f(x)=5x-3$.

1. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $x=2$ et $x=2+h$ (avec $h\ne 0$).
2. Que vaut ce taux d'accroissement quelle que soit la valeur de $h\ne 0$ ?
3. On considère maintenant $g(x)=x^2$. Calculer le taux d'accroissement de $g$ entre $x=3$ et $x=3+h$ (avec $h\ne 0$). Simplifier.
4. Que se passe-t-il lorsque $h$ « tend vers $0$ » pour le taux d'accroissement de $g$ en $x=3$ ? Quel est le rapport avec la dérivée ?

On donne les cinq fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$f(x)=6x-4g(x)=9-3xh(x)=-2xk(x)=5m(x)=\frac{2x-6}{3}$$Pour chacune de ces fonctions :
1. Écrire, si possible, son expression sous la forme canonique $ax+b$.
2. Préciser si elle est affine, linéaire, ou constante.
3. Donner les valeurs de $a$ (coefficient directeur) et $b$ (ordonnée à l'origine).

On considère les quatre fonctions affines suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$p(x)=4x+1q(x)=-\frac{1}{5}x+3r(x)=-xs(x)=6-0x$$Pour chacune, déterminer son sens de variation sur $\mathbb{R}$, en justifiant à partir du signe de son coefficient directeur.

On considère la fonction affine $f(x)=-3x+7$ et la fonction $g(x)=\frac{2}{5}x-1$.

1. Calculer $f(2)$ et $f(-1)$.
2. Déterminer l'antécédent de $1$ par $f$, puis l'antécédent de $-5$ par $f$.
3. Calculer $g(5)$.
4. Déterminer l'antécédent de $3$ par $g$.

Dans un repère, une droite $(d)$ représente une fonction affine $f$. On sait que $(d)$ passe par les trois points suivants :$$A(0;-3)B(1;1)C(2;5)$$1. Parmi ces trois points, lequel donne directement l'ordonnée à l'origine $b$ de $f$ ? Justifier.
2. En utilisant les points $A$ et $B$, donner directement la valeur du coefficient directeur $a$ (sans faire de calcul de taux d'accroissement).
3. En déduire l'expression de $f(x)$, puis vérifier qu'elle est cohérente avec le point $C$.

On considère la fonction affine $f(x)=-5x+2$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a) Le coefficient directeur de $f$ vaut $2$.
b) La représentation graphique de $f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;2)$.
c) $f$ est une fonction linéaire.
d) $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
e) La représentation graphique de $f$ passe par l'origine du repère.

On considère la fonction affine $f(x)=\frac{3}{4}x-2$, représentée par une droite $(d)$.

On donne trois points : $A(4;1)$, $B(-2;-3,5)$ et $E(-8;-7,9)$.

Déterminer, par le calcul, lesquels de ces points appartiennent à $(d)$.

On considère les trois fonctions affines suivantes :$$f_1(x)=2x-1f_2(x)=-x+4f_3(x)=\frac{1}{2}x$$et trois droites $D_1$, $D_2$, $D_3$ définies chacune par deux points qu'elles contiennent :
- $D_1$ passe par $(0;4)$ et $(4;0)$.
- $D_2$ passe par $(-2;-1)$ et $(2;1)$.
- $D_3$ passe par $(0;-1)$ et $(3;5)$.

Associer à chaque fonction $f_1$, $f_2$, $f_3$ la droite qui la représente, en justifiant.

On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(3)=11$ et $f(-2)=1$.

Déterminer l'expression de $f(x)$.

La représentation graphique d'une fonction affine $g$ est une droite passant par les points $M(-3;4)$ et $N(5;-8)$.

Déterminer l'expression de $g(x)$.

Sur la planète fictive Zorg, les scientifiques utilisent une échelle de température locale, le zorg (noté $Z$), liée aux degrés Celsius ($C$) par la relation affine :$$Z=2C-10$$1. Convertir $25{}^{\circ }\text{C}$ en zorgs.
2. Convertir $0$ zorg en degrés Celsius.
3. Déterminer la température (en degrés Celsius) pour laquelle les deux échelles affichent la même valeur numérique.

On considère la fonction affine $f(x)=-2x+5$. Un élève a commencé à compléter le tableau de valeurs suivant, mais il a commis une erreur sur l'une des valeurs.$$\begin{array}{cccccc}x& -3& -1& 0& 2& 4\\ f(x)& \dots & 7& 5& 2& \dots \end{array}$$1. Recalculer, en détaillant, chacune des cinq valeurs de $f(x)$.
2. Identifier la valeur erronée dans le tableau de l'élève, et donner la valeur correcte.

Un réservoir contient initialement $40$ litres d'eau. On ouvre un robinet qui le remplit à débit constant. Après $6$ minutes de remplissage, le réservoir contient $100$ litres.

On modélise le volume d'eau dans le réservoir, en litres, par une fonction affine $V(t)=at+b$, où $t$ est le temps écoulé en minutes depuis l'ouverture du robinet.

1. Déterminer $a$ et $b$, puis interpréter chacun dans le contexte (avec les unités).
2. Calculer le volume d'eau après $15$ minutes.
3. Au bout de combien de temps le réservoir contiendra-t-il $250$ litres ?

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2-3$.

En calculant le taux d'accroissement de $g$ entre deux couples de valeurs différents, montrer que $g$ n'est pas une fonction affine.

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, avec $a>0$.

Démontrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, avec $a<0$.

Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

On considère la famille de fonctions $f_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$f_m(x)=(m-1)x+(2m+4)$$où $m$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f_m$ est une fonction linéaire.
2. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f_m$ est une fonction constante.
3. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f_m(2)=5$.

On considère la famille de fonctions $g_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$g_m(x)=(4-2m)x+3$$où $m$ est un nombre réel.

Déterminer, selon les valeurs de $m$, si $g_m$ est strictement croissante, strictement décroissante, ou constante sur $\mathbb{R}$.

Une entreprise de location de vélos propose trois formules pour une durée $x$ (en heures) :
- Formule A : forfait illimité à $15€$, quelle que soit la durée.
- Formule B : tarif proportionnel de $2€$ par heure.
- Formule C : tarif mixte, $5€$ de frais fixes puis $1€$ par heure.

1. Exprimer, pour chaque formule, le prix payé en fonction de $x$, sous forme d'une fonction affine (ou constante) $a(x)$, $b(x)$, $c(x)$.
2. Comparer $b(x)$ et $c(x)$ : pour quelles durées la formule B est-elle plus avantageuse que la formule C, et réciproquement ?
3. En comparant chaque formule à la formule A, déterminer quelle formule est la plus avantageuse selon la durée $x\ge 0$.

Un parking applique le tarif suivant :
- gratuit pendant la première demi-heure ;
- de $0,5$h à $2$h, chaque heure supplémentaire coûte $2€$ (proportionnellement, au-delà de la demi-heure gratuite) ;
- au-delà de $2$h, le tarif horaire supplémentaire baisse à $1€$ par heure, mais le montant déjà dû à $2$h reste acquis (continuité du tarif).

On note $c(t)$ le prix payé, en euros, pour un stationnement de $t$ heures, avec $t\ge 0,5$.

1. Donner l'expression de $c(t)$ pour $0,5\le t\le 2$.
2. En utilisant la valeur de $c(2)$, donner l'expression de $c(t)$ pour $t>2$, en veillant à la continuité du tarif à $t=2$.
3. Calculer le prix payé pour $1,5$h de stationnement, puis pour $4$h de stationnement.

Une formule empirique, valable pour un âge $x$ compris entre $10$ et $70$ ans, estime la fréquence cardiaque maximale recommandée $F(x)$ (en battements par minute) par :$$F(x)=\frac{2(220-x)+220}{3}$$1. Montrer, en simplifiant cette expression, que $F$ est une fonction affine de $x$, et donner ses coefficients $a$ et $b$.
2. Calculer $F(30)$.
3. Déterminer l'âge pour lequel $F(x)=180$.
4. Que peut-on dire de la recherche de l'âge pour lequel $F(x)=100$ ?

Un service de reprographie propose deux formules pour l'impression de copies, en fonction du nombre $x$ de copies imprimées dans le mois :
- Offre A : $0,10€$ par copie, sans abonnement.
- Offre B : abonnement mensuel de $8€$, puis $0,02€$ par copie.

1. Exprimer le coût mensuel $a(x)$ de l'offre A et $b(x)$ de l'offre B.
2. Déterminer, par le calcul, le nombre de copies pour lequel les deux offres coûtent le même prix.
3. Rédiger une réponse complète et justifiée conseillant, selon le nombre de copies mensuelles $x\ge 0$, l'offre la plus avantageuse (on confirmera par le calcul, pas seulement par une lecture graphique).

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels fixés. Soient $m$ et $n$ deux réels distincts quelconques.

Démontrer que :$$a=\frac{f(m)-f(n)}{m-n}$$

Une entreprise de VTC facture ses courses par une fonction affine du nombre $x$ de kilomètres parcourus. On sait que la représentation graphique de cette fonction est une droite $(D)$ passant par les points $A(2;9)$ et $B(6;17)$, les ordonnées étant exprimées en euros.

1. Sans calculer l'expression de la fonction, déterminer son sens de variation à partir des points $A$ et $B$, en justifiant.
2. Déterminer l'expression $f(x)$ du prix payé pour $x$ kilomètres.
3. Interpréter, dans le contexte, les coefficients $a$ et $b$ obtenus.
4. Une cliente a payé $21€$ pour sa course. Quelle distance a-t-elle parcourue ?
5. Un concurrent facture $3€$ de prise en charge puis $2,25€$ par kilomètre. Pour quelles distances ce concurrent est-il plus avantageux que l'entreprise étudiée ?

On considère la famille de fonctions affines $f_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$f_m(x)=(m-2)x+(3-m)$$où $m$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f_m$ est linéaire.
2. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f_m$ est constante.
3. Discuter, selon les valeurs de $m$, le sens de variation de $f_m$ sur $\mathbb{R}$.
4. On suppose désormais $m\ne 2$. Montrer que la droite représentant $f_m$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $x_0=\frac{m-3}{m-2}$, puis étudier le signe de $f_5(x)$ et celui de $f_0(x)$ sur $\mathbb{R}$.

On donne les cinq fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$f(x)=-5x+8g(x)=4+7xh(x)=3xk(x)=-6n(x)=\frac{10x-15}{5}$$Pour chacune de ces fonctions :
1. Écrire, si besoin, son expression sous la forme canonique $ax+b$.
2. Préciser si elle est affine, linéaire, ou constante.
3. Donner les valeurs de $a$ (coefficient directeur) et $b$ (ordonnée à l'origine).

On considère les quatre fonctions affines suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$p(x)=5x-9q(x)=4-\frac{2}{9}xr(x)=-x-6s(x)=0x+12$$Pour chacune, déterminer son sens de variation sur $\mathbb{R}$, en justifiant à partir du signe de son coefficient directeur.

On considère la fonction affine $f(x)=5x-2$ et la fonction $g(x)=-\frac{3}{4}x+6$.

1. Calculer $f(3)$ et $f(-2)$.
2. Déterminer l'antécédent de $8$ par $f$, puis l'antécédent de $-12$ par $f$.
3. Calculer $g(8)$.
4. Déterminer l'antécédent de $3$ par $g$.

Dans un repère orthonormé gradué à l'unité (chaque carreau représente une unité sur chaque axe), une droite $(d)$ représentant une fonction affine $f$ est tracée. On lit sur le graphique que $(d)$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;5)$, et qu'en se déplaçant d'un carreau vers la droite à partir de ce point, la droite descend de $3$ carreaux.

1. Donner la valeur de l'ordonnée à l'origine $b$ de $f$, en justifiant à partir de la lecture graphique.
2. Donner la valeur du coefficient directeur $a$ de $f$, en justifiant à partir du déplacement décrit.
3. En déduire l'expression de $f(x)$, puis calculer $f(-2)$.

On considère les deux fonctions affines $f(x)=-\frac{1}{2}x+3$ et $g(x)=2x-1$.

1. Compléter un tableau de valeurs de $f$ pour $x\in \{-4;-2;0;2;4\}$.
2. Compléter un tableau de valeurs de $g$ pour $x\in \{-2;-1;0;1;2\}$.
3. Pour chacune des deux fonctions, donner les coordonnées du point où sa représentation coupe l'axe des ordonnées, puis celles du point où elle coupe l'axe des abscisses. Ces quatre points permettent de tracer les deux droites dans un même repère.

On considère la fonction affine $f(x)=4-7x$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a) Le coefficient directeur de $f$ vaut $4$.
b) $f(0)=4$.
c) $f$ est une fonction linéaire.
d) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
e) La représentation graphique de $f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\frac{4}{7};0\right)$.

On considère la fonction affine $f(x)=-\frac{2}{3}x+4$, représentée par une droite $(d)$.

On donne trois points : $A(3;2)$, $B(-6;8)$ et $C(9;-1)$.

Déterminer, par le calcul, lesquels de ces points appartiennent à $(d)$.

On considère les trois fonctions affines suivantes :$$f_1(x)=-2x+3f_2(x)=\frac{1}{4}x{f}_3(x)=3x-6$$et trois droites $D_1$, $D_2$, $D_3$ définies chacune par deux points qu'elles contiennent :
- $D_1$ passe par $(0;3)$ et $(3;-3)$.
- $D_2$ passe par $(-4;-1)$ et $(4;1)$.
- $D_3$ passe par $(2;0)$ et $(4;6)$.

Associer à chaque fonction $f_1$, $f_2$, $f_3$ la droite qui la représente, en justifiant.

On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(4)=5$ et $f(-3)=-9$.

Déterminer l'expression de $f(x)$.

La représentation graphique d'une fonction affine $g$ est une droite passant par les points $M(2;-1)$ et $N(5;8)$.

Déterminer l'expression de $g(x)$.

Sur une plateforme de jeu vidéo en ligne, les euros versés (notés $E$) sont convertis en une monnaie virtuelle appelée les cristaux (notés $K$), selon la relation affine :$$K=9E-40$$La plateforme applique $9$ cristaux par euro versé, puis retire un forfait fixe de $40$ cristaux de frais de conversion.

1. Convertir $10€$ en cristaux.
2. Un joueur a reçu $590$ cristaux après une recharge. Combien d'euros a-t-il versés ?
3. Déterminer le montant en euros pour lequel le nombre de cristaux obtenus est exactement égal, numériquement, au montant versé (c'est-à-dire $K=E$).

Un coureur, après un échauffement, parcourt une distance $d(t)$ (en centaines de mètres) donnée par la fonction affine $d(t)=4t+6$, où $t$ est le temps écoulé en minutes depuis le début du chronométrage. Un élève a rempli le tableau suivant, mais il a commis une erreur sur l'une des valeurs : pour $t=0$, il trouve $d=6$ ; pour $t=2$, $d=14$ ; pour $t=5$, $d=26$ ; pour $t=8$, $d=37$ ; pour $t=10$, $d=46$.

1. Recalculer, en détaillant, chacune des cinq valeurs de $d(t)$.
2. Identifier la valeur erronée, et donner la valeur correcte.

Un vendeur perçoit un salaire mensuel $S(x)=ax+b$, où $x$ est le nombre de ventes réalisées dans le mois. On sait qu'avec $5$ ventes, il perçoit $1400€$, et qu'avec $12$ ventes, il perçoit $1750€$.

1. Déterminer $a$ et $b$ (à l'aide d'un taux d'accroissement), puis interpréter chacun dans le contexte, avec ses unités.
2. Calculer $S(20)$.
3. Combien de ventes doit-il réaliser pour atteindre un salaire de $2100€$ ?