Exercices de Fonctions affines, Première (page 2)

Dans un même repère, la droite $(d_1)$ représente la fonction affine $f$ et la droite $(d_2)$ représente la fonction affine $g$. Leur point d'intersection a pour abscisse $-2$. Une lecture du graphique montre que pour $x=-5$, la droite $(d_1)$ se situe en dessous de la droite $(d_2)$, et que pour $x=3$, la droite $(d_1)$ se situe au-dessus de la droite $(d_2)$.

Par lecture graphique seule (sans résoudre d'inéquation algébriquement) :
1. Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)<g(x)$.
2. Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)>g(x)$.
3. Donner la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=g(x)$.

On sait que $f$ est une fonction affine strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

1. Sans calculer aucune image, comparer $f(-8)$ et $f(2)$, en justifiant uniquement à partir du sens de variation.
2. On donne de plus $f(0)=5$. Comparer $f(-3)$ et $f(0)$, puis en déduire si $f(-3)$ est supérieur ou inférieur à $5$.
3. On considère à présent une fonction $g$, affine et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, telle que $g(1)=7$. Peut-on affirmer, sans calculer $g(6)$, que $g(6)>7$ ? Justifier.

Soit $g$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=px+q$, où $p$ et $q$ sont deux réels fixés, avec $p\ne 0$. Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u<v$.

1. On suppose $p>0$. Démontrer que $g(u)<g(v)$.
2. On suppose $p<0$. Démontrer que $g(u)>g(v)$.
3. Que peut-on dire du cas $p=0$, laissé de côté dans les deux questions précédentes ?

On considère la famille de fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$f_k(x)=(3k+6)x+(k-4)$$où $k$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est une fonction linéaire.
2. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est une fonction constante.
3. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k(1)=10$.

On considère la famille de fonctions $h_t$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$h_t(x)=(6-3t)x-2$$où $t$ est un nombre réel.

Déterminer, selon les valeurs de $t$, si $h_t$ est strictement croissante, strictement décroissante, ou constante sur $\mathbb{R}$.

Dans un repère où chaque carreau horizontal vaut $2$ unités et chaque carreau vertical vaut $0,5$ unité, une droite $(d)$ coupe l'axe des ordonnées à $2$ carreaux au-dessus de l'origine du repère. En partant de ce point d'intersection, on se déplace de $3$ carreaux vers la droite et $4$ carreaux vers le haut pour retrouver un second point de $(d)$.

1. Donner les coordonnées réelles (en unités, et non en carreaux) de ces deux points.
2. En déduire le coefficient directeur $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction affine $f$ représentée par $(d)$.
3. Donner l'expression de $f(x)$, puis calculer $f(9)$.

Une salle de sport propose trois formules pour un nombre $x$ de séances suivies dans le mois :
- Formule Illimité : $40€$ fixes, quel que soit le nombre de séances.
- Formule à la séance : $6€$ par séance, sans abonnement.
- Formule Pass 10 : $15€$ d'adhésion, puis $3€$ par séance.

1. Exprimer, pour chaque formule, le prix payé en fonction de $x$, sous forme d'une fonction affine (ou constante) $i(x)$, $s(x)$, $p(x)$.
2. Comparer $s(x)$ et $p(x)$ : pour quelles valeurs de $x$ la formule à la séance est-elle plus avantageuse que le Pass 10 ?
3. En comparant chaque formule à la formule Illimité, déterminer, selon les valeurs de $x\ge 0$, quelle formule est la moins chère.

Un fournisseur d'électricité facture la consommation mensuelle $x$ (en kWh) selon le barème suivant :
- pour $0\le x\le 200$, chaque kWh coûte $0,15€$ ;
- au-delà de $200$ kWh, chaque kWh supplémentaire coûte $0,10€$, mais le montant déjà facturé pour les $200$ premiers kWh reste dû (continuité de la facture).

On note $C(x)$ le montant total facturé, en euros, pour une consommation de $x$ kWh.

1. Donner l'expression de $C(x)$ pour $0\le x\le 200$.
2. À l'aide de $C(200)$, donner l'expression de $C(x)$ pour $x>200$, en assurant la continuité de la facture en $x=200$.
3. Calculer le montant facturé pour une consommation de $350$ kWh.

En acoustique, on utilise une approximation affine de la vitesse du son dans l'air $v(T)$ (en mètres par seconde), en fonction de la température $T$ (en degrés Celsius), valable pour $T$ compris entre $-20{}^{\circ }\text{C}$ et $40{}^{\circ }\text{C}$ :$$v(T)=\frac{1655+3T}{5}$$1. Montrer, en simplifiant cette expression, que $v$ est une fonction affine de $T$, et donner ses coefficients $a$ et $b$.
2. Calculer $v(20)$.
3. Déterminer la température $T$ pour laquelle $v(T)=340$.
4. Que peut-on dire du calcul de la température pour laquelle $v(T)=250$ ?

On sait qu'une fonction affine $f$ vérifie $f(4)=6$, et que sa représentation graphique coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;-10)$.

1. Traduire chacune de ces deux informations par une équation, puis déterminer l'expression de $f(x)$.
2. Une autre fonction affine $g$ vérifie $g(-2)=9$, et sa représentation graphique passe par le point $(3;-1)$. Déterminer l'expression de $g(x)$.

Deux banques proposent des formules de compte courant, facturées en fonction du nombre $x$ de virements effectués dans le mois :
- Banque Alpha : $4€$ de frais fixes mensuels, puis $0,25€$ par virement.
- Banque Beta : aucun frais fixe, mais $0,60€$ par virement.

1. Exprimer le coût mensuel $a(x)$ chez Alpha et $b(x)$ chez Beta.
2. Déterminer, par le calcul, le nombre de virements pour lequel les deux banques coûtent le même prix.
3. Rédiger une réponse complète et justifiée conseillant, selon le nombre de virements mensuels $x\ge 0$, la banque la plus avantageuse (la réponse doit être confirmée par le calcul, pas seulement par une estimation).

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On suppose qu'il existe un réel $k$ tel que, pour tous réels distincts $m$ et $n$ :$$\frac{f(m)-f(n)}{m-n}=k$$On souhaite démontrer que $f$ est nécessairement une fonction affine, de coefficient directeur $k$.

1. En appliquant l'égalité précédente avec $n=0$ (pour $m\ne 0$), exprimer $f(m)$ en fonction de $m$, $k$ et $f(0)$.
2. En déduire que $f(x)=kx+f(0)$ pour tout réel $x$ non nul.
3. Vérifier que cette expression reste vraie pour $x=0$, puis conclure que $f$ est une fonction affine.

Un organisateur de concert doit payer un coût total fixe de $2400€$ (location de salle, sécurité, technique), quel que soit le nombre de billets vendus. Chaque billet est vendu $30€$.

On note $x$ le nombre de billets vendus, $R(x)$ la recette totale des ventes, et $B(x)$ le bénéfice réalisé (recette moins coût total). On sait, par une lecture graphique effectuée en cours, que la droite représentant $B$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $80$.

1. Exprimer $R(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$.
2. Vérifier par le calcul que la droite représentant $B$ coupe bien l'axe des abscisses en $x=80$, puis interpréter ce nombre dans le contexte (on parle de seuil de rentabilité).
3. Sachant que la salle ne peut accueillir que $300$ personnes au maximum, déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l'organisateur.
4. Un sponsor propose de prendre en charge une partie du coût fixe, ce qui ferait passer le seuil de rentabilité à $60$ billets vendus au lieu de $80$. Déterminer le nouveau coût fixe total, après l'intervention du sponsor.

On donne les cinq fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$f(x)=-8x+5g(x)=11-4xh(x)=3xk(x)=-7m(x)=\frac{5x-10}{2}$$Pour chacune de ces fonctions :
1. Écrire, si nécessaire, son expression sous la forme canonique $ax+b$.
2. Préciser si elle est affine, linéaire, ou constante.
3. Donner les valeurs de $a$ (coefficient directeur) et $b$ (ordonnée à l'origine).

On considère les quatre fonctions affines suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$p(x)=-6x+2q(x)=\frac{3}{7}x-1u(x)=-xs(x)=-9+0x$$Pour chacune, déterminer son sens de variation sur $\mathbb{R}$, en justifiant à partir du signe de son coefficient directeur.

On considère la fonction affine $f(x)=-4x+9$ et la fonction $g(x)=\frac{3}{8}x-2$.

1. Calculer $f(3)$ et $f(-2)$.
2. Déterminer l'antécédent de $-7$ par $f$, puis l'antécédent de $21$ par $f$.
3. Calculer $g(8)$.
4. Déterminer l'antécédent de $4$ par $g$.

Dans un repère orthonormé gradué à l'unité sur les deux axes, une droite $(d)$ représente une fonction affine $f$. On lit sur le graphique que $(d)$ passe par le point $A(0;-2)$, intersection de $(d)$ avec l'axe des ordonnées, et par le point $B(1;5)$.

1. Donner directement la valeur de $b$ à partir du point $A$.
2. En utilisant le déplacement d'une unité en abscisse entre $A$ et $B$, donner directement la valeur du coefficient directeur $a$.
3. En déduire l'expression de $f(x)$, puis vérifier qu'elle est cohérente avec le point $C(2;12)$, également situé sur $(d)$.

On considère les deux fonctions affines $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-x+4$, définies sur $\mathbb{R}$.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant pour $f$ et pour $g$ :$$\begin{array}{ccccccc}x& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\ f(x)& & & & & & \\ g(x)& & & & & & \end{array}$$2. À l'aide de ce tableau, expliquer comment représenter graphiquement $f$ et $g$ dans un même repère, en précisant pourquoi il ne faut pas se limiter à relier les points par un simple segment.

On considère la fonction affine $f(x)=3-7x$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a) Le coefficient directeur de $f$ vaut $3$.
b) $f(0)=3$.
c) $f$ est une fonction linéaire.
d) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
e) La représentation graphique de $f$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse positive.

On considère la fonction affine $f(x)=-\frac{5}{6}x+4$, représentée par une droite $(d)$.

On donne trois points : $A(6;-1)$, $B(-12;13)$ et $C(-6;9)$.

Déterminer, par le calcul, lesquels de ces points appartiennent à $(d)$.

On considère les trois fonctions affines suivantes :$$f_1(x)=3x-2f_2(x)=-2x+5f_3(x)=\frac{1}{4}x$$et trois droites $D_1$, $D_2$, $D_3$ définies chacune par deux points qu'elles contiennent :
- $D_1$ passe par $(0;5)$ et $(1;3)$.
- $D_2$ passe par $(-4;-1)$ et $(4;1)$.
- $D_3$ passe par $(0;-2)$ et $(2;4)$.

Associer à chaque fonction $f_1$, $f_2$, $f_3$ la droite qui la représente, en justifiant.

On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(4)=17$ et $f(-3)=-11$.

Déterminer l'expression de $f(x)$.

La représentation graphique d'une fonction affine $g$ est une droite passant par les points $M(-4;10)$ et $N(2;-2)$.

Déterminer l'expression de $g(x)$.

La température en degrés Fahrenheit ($F$) est liée à la température en degrés Celsius ($C$) par la relation affine :$$F=\frac{9}{5}C+32$$1. Convertir $20{}^{\circ }\text{C}$ en degrés Fahrenheit.
2. Convertir $5{}^{\circ }\text{F}$ en degrés Celsius.
3. Déterminer la température (en degrés Celsius) pour laquelle les deux échelles affichent la même valeur numérique.

On considère la fonction affine $f(x)=3x-5$. Un élève a rempli le tableau de valeurs suivant, mais il a commis une erreur sur l'une des valeurs.$$\begin{array}{cccccc}x& -2& -1& 0& 2& 4\\ f(x)& -11& -8& -5& 2& 7\end{array}$$1. Recalculer, en détaillant, chacune des cinq valeurs de $f(x)$.
2. Identifier la valeur erronée dans le tableau de l'élève, et donner la valeur correcte.

Le réservoir d'une voiture contient initialement $48$ litres de carburant. La voiture roule à une consommation constante : après avoir parcouru $60$ km, il reste $42$ litres dans le réservoir.

On modélise le volume de carburant restant, en litres, par une fonction affine $V(d)=ad+b$, où $d$ est la distance parcourue en kilomètres depuis le départ.

1. Déterminer $b$, puis $a$, et interpréter chacun dans le contexte (avec les unités).
2. Calculer le volume de carburant restant après $250$ km.
3. Après combien de kilomètres le réservoir sera-t-il vide ?

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=|x+1|$.

En calculant le taux d'accroissement de $g$ entre deux couples de valeurs différents, montrer que $g$ n'est pas une fonction affine.

Dans un même repère, la droite $(d_1)$, représentant une fonction affine $f$, passe par les points $(0;6)$ et $(4;-2)$. La droite $(d_2)$, représentant une fonction affine $g$, passe par les points $(0;-2)$ et $(4;6)$.

1. Par simple lecture des positions relatives de $(d_1)$ et $(d_2)$ décrites ci-dessus (sans calculer les expressions de $f$ et $g$), conjecturer pour quelles valeurs de $x$ la droite $(d_1)$ semble se situer au-dessus de $(d_2)$.
2. Confirmer cette conjecture par le calcul, en déterminant les expressions de $f$ et $g$ puis l'abscisse de leur point d'intersection.

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.

1. Montrer que pour tous réels $x_1$ et $x_2$, $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$.
2. En déduire, en distinguant les cas $a>0$ et $a<0$, le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la famille de fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$f_k(x)=(2k-8)x+(3k+6)$$où $k$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est une fonction linéaire.
2. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est une fonction constante.
3. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k(1)=10$.

On considère la famille de fonctions $g_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$g_k(x)=(10-5k)x-1$$où $k$ est un nombre réel.

Déterminer, selon les valeurs de $k$, si $g_k$ est strictement croissante, strictement décroissante, ou constante sur $\mathbb{R}$.

Dans un repère, l'axe des abscisses est gradué de $2$ en $2$ (chaque carreau vaut $2$ unités), et l'axe des ordonnées est gradué de $0,5$ en $0,5$ (chaque carreau vaut $0,5$ unité).

On lit sur le graphique qu'une droite $(d)$ coupe l'axe des ordonnées à $4$ carreaux au-dessus de l'origine, et passe également par le point situé à $3$ carreaux à droite de l'axe des ordonnées et $1$ carreau au-dessus de l'axe des abscisses.

1. Convertir ces lectures « en carreaux » en coordonnées réelles, puis en déduire $b$.
2. En déduire le coefficient directeur $a$, puis l'expression de la fonction affine représentée par $(d)$.

Un magasin de sports d'hiver propose trois formules pour la location de matériel de ski, pour une durée $x$ (en jours) :
- Formule A : forfait saison illimité à $32€$, quelle que soit la durée.
- Formule B : tarif proportionnel de $4€$ par jour.
- Formule C : formule mixte, $8€$ de frais fixes puis $3€$ par jour.

1. Exprimer, pour chaque formule, le prix payé en fonction de $x$, sous forme d'une fonction $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$.
2. Déterminer pour quelles durées la formule B est plus avantageuse que la formule C, et réciproquement.
3. En comparant chaque formule à la formule A, déterminer quelle formule est la plus avantageuse selon la durée $x\ge 0$.

Un service de livraison facture ses colis selon le tarif suivant, pour un poids $p$ (en kg), $p\ge 0$ :
- pour $0\le p\le 5$, le tarif est proportionnel au poids, à raison de $1,80€$ par kg ;
- au-delà de $5$ kg, le tarif au kilogramme de la partie excédentaire baisse à $1,20€$ par kg, mais le montant déjà dû pour les $5$ premiers kilogrammes reste acquis (continuité du tarif).

On note $c(p)$ le prix payé, en euros.

1. Donner l'expression de $c(p)$ pour $0\le p\le 5$.
2. En utilisant la valeur de $c(5)$, donner l'expression de $c(p)$ pour $p>5$, en veillant à la continuité du tarif en $p=5$.
3. Calculer le prix payé pour un colis de $3$ kg, puis pour un colis de $8$ kg.

Une application de suivi sportif estime le nombre de calories brûlées $C$ (en kcal) lors d'une marche de durée $t$ (en minutes) par la formule empirique, valable pour $10\le t\le 90$ :$$C(t)=\frac{16t+240}{4}-10$$1. Réduire $C(t)$ sous la forme $at+b$, et vérifier qu'il s'agit bien d'une fonction affine.
2. Calculer $C(30)$.
3. Pour quelle durée de marche, dans l'intervalle de validité de la formule, dépense-t-on exactement $250$ kcal ?

Une fonction affine $h$ vérifie les deux conditions suivantes :
- $h(5)=3$ ;
- la représentation graphique de $h$ passe par le point $B(-2;-18)$.

Déterminer l'expression de $h(x)$.

Un club propose deux formules de location de courts pour $x$ heures de location dans le mois :
- Formule Découverte : $6€$ de l'heure, sans frais fixes.
- Formule Adhérent : $15€$ d'adhésion mensuelle, puis $3,50€$ de l'heure.

À partir de combien d'heures de location mensuelle la formule Adhérent devient-elle plus avantageuse que la formule Découverte ? Rédiger une réponse complète et justifiée, combinant une lecture graphique qualitative et une confirmation par le calcul exact, en précisant ce qu'il se passe au moment où les deux formules coûtent le même prix.

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, et soient $m$ et $n$ deux réels distincts.

Démontrer que $\frac{f(m)-f(n)}{m-n}=a$.

Un commerce de reprographie facture ses clients selon une fonction affine $P(x)$ du nombre $x$ de copies effectuées, avec $P(x)$ le prix en euros.

1. Sur le graphique de $P$ (non reproduit ici), on lit que la droite coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $5$ : ces $5€$ correspondent à des frais fixes de mise en route. En déduire l'ordonnée à l'origine $b$ de $P$.
2. On sait par ailleurs que $200$ copies coûtent $11€$. En déduire le coefficient directeur $a$ de $P$, puis l'expression complète de $P(x)$.
3. Calculer le prix de $350$ copies.
4. Un client dispose d'un budget de $20€$. Déterminer, par le calcul, le nombre maximal de copies qu'il peut faire sans dépasser ce budget.