Exercices de Fonctions affines, Première (page 3)

On donne les cinq fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$f(x)=-7x+12g(x)=8-4xh(x)=3xk(x)=-9n(x)=\frac{10-5x}{2}$$Pour chacune de ces fonctions :
1. Écrire, si nécessaire, son expression sous la forme réduite $ax+b$.
2. Préciser si elle est affine, linéaire, ou constante.
3. Donner les valeurs de $a$ (coefficient directeur) et $b$ (ordonnée à l'origine).

On considère les quatre fonctions affines suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$p(x)=5x-2q(x)=-\frac{3}{7}x+1r(x)=6-xs(x)=11+0x$$Pour chacune, déterminer son sens de variation sur $\mathbb{R}$, en justifiant à partir du signe de son coefficient directeur.

On considère la fonction affine $f(x)=-4x+9$ et la fonction $g(x)=\frac{3}{8}x-2$.

1. Calculer $f(3)$ et $f(-2)$.
2. Déterminer l'antécédent de $-7$ par $f$, puis l'antécédent de $13$ par $f$.
3. Calculer $g(8)$.
4. Déterminer l'antécédent de $4$ par $g$.

Dans un repère, une droite $(d)$ représente une fonction affine $f$. On sait que $(d)$ passe par les trois points suivants :$$A(0;-2)B(1;3)C(3;13)$$1. Parmi ces trois points, lequel donne directement l'ordonnée à l'origine $b$ de $f$ ? Justifier.
2. En utilisant les points $A$ et $B$, donner directement la valeur du coefficient directeur $a$ (sans faire de calcul de taux d'accroissement).
3. En déduire l'expression de $f(x)$, puis vérifier qu'elle est cohérente avec le point $C$.

On considère les deux fonctions affines $f(x)=2x-3$ et $g(x)=-\frac{1}{2}x+4$, définies sur $\mathbb{R}$.

1. Compléter un tableau de trois valeurs pour $f$, en choisissant les abscisses $-1$, $0$ et $2$.
2. Compléter un tableau de trois valeurs pour $g$, en choisissant les abscisses $-2$, $0$ et $4$.
3. Expliquer comment utiliser ces tableaux pour tracer, dans un même repère, les droites représentant $f$ et $g$.

On considère la fonction affine $f(x)=8x-5$. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a) Le coefficient directeur de $f$ vaut $-5$.
b) La représentation graphique de $f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;-5)$.
c) $f$ est une fonction linéaire.
d) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
e) La représentation graphique de $f$ passe par l'origine du repère.

On considère la fonction affine $f(x)=-\frac{5}{6}x+3$, représentée par une droite $(d)$.

On donne trois points : $A(6;-2)$, $B(-12;13)$ et $E(18;-11,9)$.

Déterminer, par le calcul, lesquels de ces points appartiennent à $(d)$.

On considère les trois fonctions affines suivantes :$$f_1(x)=3x-2f_2(x)=-2x+5f_3(x)=\frac{1}{4}x$$et trois droites $D_1$, $D_2$, $D_3$ définies chacune par deux points qu'elles contiennent :
- $D_1$ passe par $(0;5)$ et $(5;-5)$.
- $D_2$ passe par $(-4;-1)$ et $(4;1)$.
- $D_3$ passe par $(0;-2)$ et $(3;7)$.

Associer à chaque fonction $f_1$, $f_2$, $f_3$ la droite qui la représente, en justifiant.

On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(5)=14$ et $f(-1)=2$.

Déterminer l'expression de $f(x)$.

La représentation graphique d'une fonction affine $g$ est une droite passant par les points $M(-3;-7)$ et $N(5;9)$.

Déterminer l'expression de $g(x)$.

Un bureau de change convertit des euros ($E$) en une monnaie locale fictive, le talar ($T$), selon la relation affine :$$T=4E-15$$où le taux de change appliqué est de $4$ talars par euro, moins une commission fixe de $15$ talars.

1. Convertir $50€$ en talars.
2. Convertir $0$ talar en euros.
3. Déterminer la valeur en euros pour laquelle le nombre de talars obtenus est numériquement égal au nombre d'euros échangés.

On considère la fonction affine $f(x)=3x-4$. Un élève a rempli le tableau de valeurs suivant, mais il a commis une erreur sur l'une des valeurs.$$\begin{array}{cccccc}x& -2& -1& 0& 3& 5\\ f(x)& -10& -7& -4& 4& 11\end{array}$$1. Recalculer, en détaillant, chacune des cinq valeurs de $f(x)$.
2. Identifier la valeur erronée dans le tableau de l'élève, et donner la valeur correcte.

Une montgolfière décolle et monte à vitesse verticale constante. À l'instant du décollage ($t=0$), elle se trouve à $30$ mètres d'altitude. Après $8$ minutes de montée, elle se trouve à $310$ mètres d'altitude.

On modélise l'altitude de la montgolfière, en mètres, par une fonction affine $h(t)=at+b$, où $t$ est le temps écoulé en minutes depuis le décollage.

1. Déterminer $a$ et $b$, puis interpréter chacun dans le contexte (avec les unités).
2. Calculer l'altitude après $12$ minutes.
3. Au bout de combien de temps la montgolfière atteindra-t-elle $800$ mètres d'altitude ?

On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (c'est-à-dire pour $x\ne 0$) par $g(x)=\frac{1}{x}$.

En calculant le taux d'accroissement de $g$ entre deux couples de valeurs différents, montrer que $g$ n'est pas une fonction affine.

On considère la famille de fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$f_k(x)=(3k+6)x+(k-5)$$où $k$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est une fonction linéaire.
2. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est une fonction constante.
3. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $f_k(1)=4$.

On considère la famille de fonctions $g_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$g_k(x)=(10-5k)x-2$$où $k$ est un nombre réel.

Déterminer, selon les valeurs de $k$, si $g_k$ est strictement croissante, strictement décroissante, ou constante sur $\mathbb{R}$.

Dans un repère, l'axe des abscisses est gradué en carreaux de $2$ unités chacun, et l'axe des ordonnées est gradué en carreaux de $0,5$ unité chacun (les deux échelles sont différentes).

Une droite $(d)$, représentant une fonction affine $f$, passe par le point $A$, situé à $3$ carreaux à droite de l'origine et $4$ carreaux au-dessus de l'axe des abscisses, et par le point $B$, situé à $7$ carreaux à droite de l'origine et $12$ carreaux au-dessus de l'axe des abscisses.

1. Donner les coordonnées réelles de $A$ et de $B$, en tenant compte des échelles.
2. En déduire le coefficient directeur $a$ de $f$.
3. Déterminer l'ordonnée à l'origine $b$, puis l'expression de $f(x)$.

Un opérateur téléphonique propose trois forfaits pour un volume de données mobiles $x$ (en Go) consommé dans le mois :
- Forfait A : illimité pour $25€$, quel que soit le volume consommé.
- Forfait B : $3€$ par Go consommé, sans frais fixes.
- Forfait C : $9€$ de frais fixes puis $1€$ par Go consommé.

1. Exprimer, pour chaque forfait, le prix payé en fonction de $x$, sous forme d'une fonction $a(x)$, $b(x)$, $c(x)$.
2. Comparer $b(x)$ et $c(x)$ : pour quels volumes le forfait B est-il plus avantageux que le forfait C, et réciproquement ?
3. En comparant chaque forfait au forfait A, déterminer quel forfait est le plus avantageux selon le volume $x\ge 0$.

Un vendeur perçoit une commission mensuelle selon le barème suivant, où $x$ désigne son chiffre d'affaires du mois (en milliers d'euros) :
- jusqu'à $20$ (milliers d'euros) inclus : commission de $8\%$ du chiffre d'affaires ;
- au-delà de $20$, chaque tranche supplémentaire est commissionnée à $12\%$, la commission déjà acquise sur les premiers $20$ restant due.

On note $c(x)$ la commission perçue, en milliers d'euros, pour un chiffre d'affaires $x$ (en milliers d'euros), avec $x\ge 0$.

1. Donner l'expression de $c(x)$ pour $0\le x\le 20$.
2. En utilisant la valeur de $c(20)$, donner l'expression de $c(x)$ pour $x>20$, en veillant à la continuité de la commission à $x=20$.
3. Calculer la commission pour un chiffre d'affaires de $15$ milliers d'euros, puis pour $50$ milliers d'euros.

La formule de Lorentz donne un poids idéal théorique $P$ (en kg), pour un homme adulte, en fonction de sa taille $T$ (en cm), sous la forme suivante, valable pour $T$ compris entre $150$ et $200$ :$$P(T)=(T-100)-\frac{T-150}{4}$$1. Montrer, en simplifiant l'expression, que $P$ est une fonction affine de $T$, et donner ses coefficients $a$ et $b$.
2. Calculer le poids idéal théorique pour une taille de $180$ cm.
3. Déterminer la taille correspondant à un poids idéal théorique de $63,5$ kg, et vérifier qu'elle appartient bien au domaine de validité de la formule.

On sait que $f$ est une fonction affine telle que $f(4)=-1$, et que la représentation graphique de $f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;7)$.

Déterminer l'expression de $f(x)$.

Une association hésite entre deux solutions pour équiper un bénévole d'un vélo électrique pendant $x$ mois :
- Solution Achat : achat immédiat à $900€$, puis un forfait d'entretien de $15€$ par mois.
- Solution Location : aucun achat, mais un abonnement mensuel de $60€$ tout compris (entretien inclus).

1. Exprimer le coût total $A(x)$ de la solution Achat, et le coût total $L(x)$ de la solution Location, en fonction du nombre de mois $x$.
2. Déterminer, par le calcul, la durée $x$ pour laquelle les deux solutions ont le même coût total.
3. Étudier, sur $[0;+\infty [$, laquelle des deux solutions est la moins coûteuse, en distinguant les cas.
4. L'association prévoit d'utiliser le vélo pendant $30$ mois. Rédiger une réponse complète et justifiée indiquant quelle solution elle doit choisir.

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux réels. Soient $m$ et $n$ deux réels distincts ($m\ne n$).

Démontrer que :$$\frac{f(m)-f(n)}{m-n}=a$$

Une médiathèque facture ses adhérents non-résidents selon une fonction affine $f$ du nombre de livres $x$ empruntés dans l'année. La représentation graphique de $f$ est une droite $(d)$ passant par les points $P(0;18)$ et $Q(10;68)$.

1. Par lecture graphique, donner directement l'ordonnée à l'origine de $f$, puis calculer son coefficient directeur à l'aide de $P$ et $Q$. En déduire l'expression de $f(x)$.
2. Calculer le tarif annuel payé par un adhérent ayant emprunté $24$ livres dans l'année.
3. Un adhérent a payé $88€$ sur l'année. Déterminer, par le calcul, le nombre de livres qu'il a empruntés.
4. Justifier, à partir du signe du coefficient directeur, que le tarif est strictement croissant en fonction du nombre de livres empruntés, puis interpréter concrètement les valeurs de $a$ et de $b$ dans ce contexte.

On considère la famille de fonctions $h_t$ définies sur $\mathbb{R}$ par :$$h_t(x)=(2t-8)x+(3-t)$$où $t$ est un nombre réel.

1. Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle $h_t$ est linéaire, puis celle pour laquelle $h_t$ est constante.
2. Déterminer, selon les valeurs de $t$, le sens de variation de $h_t$ sur $\mathbb{R}$.
3. Pour $t\ne 4$, exprimer en fonction de $t$ l'abscisse $x_0$ du point où $(d_t)$, représentation graphique de $h_t$, coupe l'axe des abscisses.
4. En déduire, en distinguant les cas $t<4$, $t=4$ et $t>4$, le signe de $h_t(x)$ selon les valeurs de $x$.

Une salle de sport propose un tarif composé de frais d'inscription fixes et d'un prix par séance. Le coût total en euros pour $x$ séances est donné par une fonction affine $C(x)=ax+b$. Une adhérente a payé $58$ euros pour $4$ séances et un autre adhérent a payé $98$ euros pour $9$ séances.

1. Traduire chacune de ces informations par une équation portant sur $a$ et $b$.
2. Résoudre le système obtenu par soustraction membre à membre.
3. En déduire l'expression de $C(x)$, puis interpréter $a$ et $b$ dans la situation.
4. Combien coûtent $15$ séances ?

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$. On sait que :

(i) $f(2)=5$ ;

(ii) l'image de $4$ par $f$ est le double de l'image de $1$ par $f$.

1. Traduire chacune de ces deux informations par une équation portant sur $a$ et $b$.
2. Résoudre le système obtenu par soustraction membre à membre, après avoir mis chaque équation sous la forme $\alpha a+\beta b=\gamma$.
3. En déduire l'expression de $f(x)$ et vérifier les deux conditions de l'énoncé.
4. Déterminer le point d'intersection de la représentation graphique de $f$ avec l'axe des ordonnées, puis avec l'axe des abscisses.