Exercices de Fonctions exponentielles, Première

a) $u_0=80000$. Une hausse de $45\%$ par heure correspond au coefficient multiplicateur $1+0,45=1,45$ à chaque heure, donc $u_{n+1}=1,45\times u_n$.
$u_1=80000\times 1,45=116000$.
$u_2=116000\times 1,45=168200$.
$u_3=168200\times 1,45=243890$.

b) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=80000$ et de raison $1,45$, donc pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=u_0\times 1,45^n=80000\times 1,45^n$.

c) L'écriture $u_n$ n'a de sens que pour $n$ entier (nombre d'heures entières écoulées). Or $2$ heures $30$ correspond à $x=2,5$, un réel non entier, hors du domaine de la suite. La fonction exponentielle $f(x)=80000\times 1,45^x$, définie sur ${\mathbb{R}}^{+}$ tout entier, prolonge la suite (on a $f(n)=u_n$ pour tout $n$ entier) et permet donc de calculer $f(2,5)$.

$f(2,5)=80000\times 1,45^{2,5}$. À la calculatrice, $1,45^{2,5}\approx 2,5317$, donc $f(2,5)\approx 80000\times 2,5317\approx 202540$, soit environ $202500$ cellules.

Piège : confondre $u_n$ (indice entier, nombre d'heures entières) et $f(x)$ (variable réelle, durée quelconque), ou croire que le taux de croissance s'additionne au lieu de se multiplier à chaque étape.

a) $\frac{138-120}{120}\times 100\approx 15,0\%$ ; $\frac{158,7-138}{138}\times 100\approx 15,0\%$ ; $\frac{182,5-158,7}{158,7}\times 100\approx 15,0\%$ ; $\frac{209,9-182,5}{182,5}\times 100\approx 15,0\%$.

Le taux d'évolution reste constant d'une décennie à l'autre, environ $15\%$. C'est la signature d'un modèle géométrique, à taux fixe (et non d'un modèle arithmétique, qui aurait plutôt un incrément fixe, en milliers d'habitants, d'une décennie à l'autre).

b) Comme le taux décennal est constant et vaut environ $15\%$, le coefficient multiplicateur par décennie est $a\approx 1,15$. On peut aussi le retrouver par le coefficient global : sur 4 décennies, $\frac{209,9}{120}\approx 1,749$, et $1,749^{\frac{1}{4}}\approx 1,15$, ce qui confirme la valeur. Le modèle est donc $f(x)=120\times 1,15^x$, avec $a\approx 1,15$, soit un coefficient multiplicateur de $1,15$ par décennie, c'est-à-dire une hausse moyenne d'environ $15\%$ par décennie.

c) Pour 2035, il s'est écoulé $5,5$ décennies depuis 1980, donc $x=5,5$.$$f(5,5)=120\times 1,15^{5,5}$$À la calculatrice, $1,15^{5,5}\approx 2,1569$, donc $f(5,5)\approx 120\times 2,1569\approx 258,8$, soit environ $259$ milliers d'habitants.

Ce chiffre est supérieur à la projection du cabinet d'urbanisme ($250$ milliers). La projection est donc légèrement inférieure à ce que prévoit le modèle exponentiel construit à partir des taux observés entre 1980 et 2020 ; elle suppose peut-être un ralentissement futur de la croissance, non pris en compte par ce modèle qui prolonge simplement le taux constant observé.

Piège : mélanger modèle arithmétique et modèle géométrique, par exemple en interpolant linéairement entre 2020 et 2035. Ici, comme c'est le taux en pourcentage qui reste constant (et non l'incrément en milliers d'habitants), c'est bien un modèle exponentiel qu'il faut utiliser pour prolonger la tendance.