Exercices de Fonctions exponentielles, Première (page 3)

Une ruche urbaine compte initialement $1500$ abeilles ouvrières. Les apiculteurs observent que cette population croît de $38\%$ chaque semaine, tant que les ressources en nectar restent abondantes.

a) On note $u_n$ le nombre d'abeilles après $n$ semaines entières ($n\in \mathbb{N}$). Donner $u_0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis calculer $u_1$ et $u_2$.

b) Justifier que $u_n=1500\times 1,38^n$ pour tout entier naturel $n$.

c) Les apiculteurs veulent estimer la population après $x=2,4$ semaines, soit environ 2 semaines et 3 jours. Pourquoi l'écriture $u_n$ ne convient-elle pas directement ici ? Introduire la fonction $f$ qui prolonge ce modèle à toute durée réelle $x\ge 0$, et calculer $f(2,4)$, arrondi à l'abeille près.

On mesure l'intensité lumineuse relative (en %, par rapport à la surface) à différentes profondeurs dans une eau trouble. Chaque mètre supplémentaire, seulement $88\%$ de la lumière reçue au mètre précédent traverse encore l'eau.

a) On note $u_n$ l'intensité lumineuse relative (en %) mesurée à $n$ mètres de profondeur, pour $n$ entier. Donner $u_0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis calculer $u_1$ et $u_2$.

b) Justifier que $u_n=100\times 0,88^n$ pour tout entier naturel $n$.

c) Un plongeur souhaite connaître l'intensité lumineuse à $5,5$ m de profondeur, une valeur non entière. Introduire la fonction $g$ qui prolonge ce modèle à toute profondeur réelle $x\ge 0$, et calculer $g(5,5)$, arrondi au dixième de pourcentage près.

Un filtre optique atténue la lumière selon un coefficient $a=0,62$ par unité d'épaisseur. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier à l'aide d'une propriété du cours.

a) Il existe une épaisseur $x$ pour laquelle $0,62^x=0$.

b) Pour tout réel $x$, $0,62^x>0$.

c) En augmentant l'épaisseur du filtre (base $a=0,62$), on pourrait obtenir une valeur négative de $a^x$.

d) La courbe représentative de $x\mapsto 0,62^x$ coupe l'axe des abscisses pour une certaine valeur de $x$.

On considère la fonction exponentielle de base $a=1,8$.

a) Rappeler pourquoi $a^x$ est défini pour tout réel $x$, y compris pour $x$ négatif.

b) Calculer $a^{-4}$, c'est-à-dire la valeur de $1,8^x$ pour $x=-4$.

c) Un élève affirme que, puisque $x=-4$ est négatif, $1,8^{-4}$ devrait être un nombre négatif. Expliquer son erreur.

Simplifier les expressions suivantes en une seule puissance de la base indiquée (le résultat n'est pas à calculer numériquement) :$$D=6,1^{-2,3}\times 6,1^{9,3}E=\frac{8^{10}}{8^{-1,5}}$$

On considère les cinq fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$f_1(x)=6\times 2,1^x{f}_2(x)=9\times 0,35^x{f}_3(x)=4\times 1^x{f}_4(x)=12\times 0,99^x{f}_5(x)=2\times 3,4^x$$Pour chacune, préciser la base $a$ utilisée puis indiquer, sans dériver, si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur $\mathbb{R}$, en justifiant uniquement par la valeur de $a$.

La hauteur d'un jeune plant de bambou, $x$ jours après sa plantation, est modélisée pour $x\in [0;10]$ par$$h(x)=15\times 1,22^x,h(x)\text{ en cm}.$$a) Calculer $h(0)$ et $h(2,5)$, arrondis au dixième de centimètre près.

b) Calculer $h(6,5)$, arrondi au dixième de centimètre près.

c) Pourquoi est-il préférable d'arrondir uniquement le résultat final, et non la puissance $1,22^x$, en cours de calcul ?

On rappelle que pour $a>0$ et $n$ un entier naturel non nul, si $x^n=a$ avec $x>0$, alors $x=a^{\frac{1}{n}}$ ; ce nombre s'appelle la racine n-ième de $a$, notée aussi $\sqrt[n]{a}$.

a) Justifier, à l'aide des règles de puissances, que $x=a^{\frac{1}{n}}$ vérifie bien $x^n=a$.

b) Une première caisse cubique a un volume de $216$ dm${}^3$. Calculer, sous forme d'un entier, la longueur $c_1$ de son arête, sachant que $c_1=216^{\frac{1}{3}}$.

c) Une seconde caisse cubique a un volume de $512$ dm${}^3$. Calculer de même la longueur $c_2$ de son arête.

Une suite géométrique $(u_n)$ a pour premier terme $u_0=180$ et pour raison $a=1,25$.

a) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

b) Écrire la fonction exponentielle $f$ qui prolonge cette suite à tout réel $x\ge 0$, telle que $f(n)=u_n$ pour tout entier naturel $n$.

c) Calculer $f(4,6)$, arrondi à l'unité près.

On donne une base $a>0$ telle que $a^{1,9}\approx 6,3$.

a) Rappeler la relation entre $a^{-x}$ et $a^x$.

b) En déduire une valeur approchée de $a^{-1,9}$, arrondie à $10^{-3}$ près.

Simplifier les expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance de la base indiquée (avec $a>0$ et $x$ réel quelconque) :$$F={\left(4,3^x\right)}^{-4}G={\left(0,65^{3x+2}\right)}^{5}H={\left(a^{\frac{x}{3}}\right)}^{-9}$$

On considère quatre fonctions exponentielles de base $a$ (sans coefficient multiplicatif) :$$p_1(x)=2^x{p}_2(x)=0,4^x{p}_3(x)=5^x{p}_4(x)=0,75^x$$a) Justifier que les courbes représentatives de $p_1$, $p_2$, $p_3$ et $p_4$ passent toutes par un même point. Donner les coordonnées de ce point.

b) Sans calculer explicitement chaque valeur, ranger $p_1(2)$, $p_2(2)$, $p_3(2)$ et $p_4(2)$ dans l'ordre croissant, en justifiant uniquement par la comparaison des bases.

c) Vérifier ce classement en calculant effectivement ces quatre valeurs.

Le nombre d'auditeurs quotidiens d'un podcast, $x$ jours après son pic de popularité, est modélisé sur $[0;40]$ par$$a(x)=900\times 0,97^x.$$a) Sans calculer de dérivée, déterminer le sens de variation de $x\mapsto 0,97^x$ sur $\mathbb{R}$, en justifiant uniquement par la valeur de la base.

b) En déduire, toujours sans dérivation, le sens de variation de $a$ sur $[0;40]$.

c) Que peut-on en conclure sur l'évolution de l'audience du podcast après son pic de popularité ?

Une newsletter compte $3000$ abonnés au lancement d'une campagne de recommandation. Le nombre d'abonnés, $x$ jours après le lancement, est modélisé par $s(x)=3000\times 1,06^x$ pour $x\in [0;30]$.

a) Calculer $s(0)$ et justifier, sans dérivée, que $s$ est croissante sur $[0;30]$.

b) On cherche au bout de combien de jours entiers le nombre d'abonnés dépasse $6000$ (le double du nombre initial). En testant plusieurs valeurs entières de $x$ à la calculatrice, déterminer le plus petit entier $x$ pour lequel $s(x)>6000$.

Simplifier les expressions suivantes, avec $a>0$ :$$I={\left(a^{\frac{1}{6}}\right)}^{6}J={\left(\sqrt[3]{a}\right)}^{7}K={\left(a^{15}\right)}^{\frac{1}{15}}$$

On considère l'équation $x^7=300$, d'inconnue réelle $x>0$.

a) Exprimer la solution positive de cette équation à l'aide d'une puissance de $300$.

b) Calculer une valeur approchée de cette solution, à $10^{-2}$ près, à la calculatrice.

Le nombre d'adhérents d'une bibliothèque municipale est passé de $1200$ à $1450$ en $7$ ans.

a) Calculer le coefficient multiplicateur global sur ces 7 années.
b) En déduire le coefficient multiplicateur moyen annuel, puis le taux d'évolution moyen annuel $t$, arrondi à $0,01\%$ près.

La fréquentation d'une plateforme de covoiturage a augmenté de $8\%$ sur une période de $4$ mois. On cherche le taux d'évolution moyen mensuel équivalent, noté $t$ (en %). Parmi les quatre équations suivantes, une seule permet de déterminer correctement $t$. Laquelle ? Justifier ce choix et expliquer pourquoi chacune des trois autres est fausse.

(1) ${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^4=1,08$

(2) $t^4=0,08$

(3) $4\times t=8$

(4) ${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^{122}=1,08$

Simplifier l'expression suivante en la ramenant à une seule puissance de $7$ :$$B=\frac{7^5\times 7^{-2,5}}{49^4}$$(on remarquera que $49=7^2$).

Soit $a>0$. Démontrer que, pour tout réel $x$,$$\frac{a^{6x}\times a^{-x}}{a^{3x}}=a^{2x}.$$On détaillera chaque étape en citant la propriété de puissance utilisée, sans remplacer $a$ ou $x$ par une valeur numérique.

On considère l'expression $M=\sqrt[3]{7}\times 7^4$.

a) Écrire $\sqrt[3]{7}$ sous la forme d'une puissance de $7$ à exposant fractionnaire.

b) En déduire l'écriture de $M$ sous la forme $7^x$, avec $x$ un nombre rationnel que l'on précisera.

On donne quatre fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :$$f_1(x)=4\times 1,6^x{f}_2(x)=7\times 0,6^x{f}_3(x)=4\times 0,6^x{f}_4(x)=7\times 1,6^x$$On sait que la courbe $\mathcal{C}$ d'une de ces fonctions coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;7)$, et qu'elle est décroissante sur $\mathbb{R}$. Déterminer, en justifiant, laquelle des quatre fonctions correspond à $\mathcal{C}$.

Deux installations produisent chacune de l'énergie, dont la production annuelle augmente chaque année d'un pourcentage constant, propre à chaque installation. Le tableau ci-dessous donne la production $u_n$ (installation solaire) et $v_n$ (installation éolienne), en MWh, après $n$ années entières :$$\begin{array}{ccccc}n& 0& 1& 2& 3\\ u_n& 200& 224& 250,88& 280,99\\ v_n& 200& 236& 278,48& 328,61\end{array}$$a) Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques, et donner leur raison respective $a$ et $b$.

b) Écrire les fonctions exponentielles $f$ et $g$ qui prolongent respectivement $(u_n)$ et $(v_n)$ à tout réel $x\ge 0$.

c) Sans calculer de valeur intermédiaire, laquelle des deux installations produira toujours le plus à long terme ? Justifier à l'aide des raisons $a$ et $b$.

Dans une serre fermée, la concentration en CO2 est modélisée par $c(x)=400\times 1,15^x$ ($x$ en heures, $c(x)$ en ppm). On dispose d'un extrait de tableau de valeurs, obtenu au tableur avec un pas de $0,01$ heure :$$\begin{array}{cccc}x& 5,79& 5,80& 5,81\\ c(x)& 898,5& 899,7& 901,0\end{array}$$On cherche l'instant à partir duquel la concentration dépasse $900$ ppm.

a) À l'aide du tableau, donner un encadrement, à $0,01$ heure près, de l'instant où le seuil de $900$ ppm est franchi.

b) Pourquoi ne peut-on pas donner ici de valeur exacte, mais seulement un encadrement ?

L'effectif d'une population de tortues marines protégées a baissé de $15\%$ au total sur les 7 dernières années. On note $t$ le taux d'évolution moyen annuel (en %).

a) Écrire l'équation vérifiée par $t$, en utilisant le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $15\%$.

b) Résoudre cette équation à l'aide d'une racine septième, et donner $t$ arrondi à $0,01\%$ près.

c) Le taux $t$ trouvé est-il positif ou négatif ? Que signifie-t-il concrètement ?

La courbe représentative d'une fonction exponentielle $f(x)=a^x$ (avec $a>0$) passe par le point $A\left(\frac{5}{2};32\right)$.

a) Écrire l'équation vérifiée par $a$ à partir des coordonnées de $A$.

b) En élevant chaque membre de l'égalité à la puissance $\frac{2}{5}$, déterminer la valeur exacte de $a$, puis vérifier le résultat en recalculant $f\left(\frac{5}{2}\right)$.

c) Un élève propose de résoudre l'équation en divisant $32$ par $\frac{5}{2}$. Expliquer pourquoi cette méthode est incorrecte.

Le tableau suivant donne le nombre d'utilisateurs actifs (en milliers) d'une plateforme de covoiturage, recensé tous les 5 ans :$$\begin{array}{cccccc}\text{Anneˊe}& 2000& 2005& 2010& 2015& 2020\\ \text{Utilisateurs}& 40& 48& 57,6& 69,12& 82,94\end{array}$$a) Calculer le taux d'évolution, en %, du nombre d'utilisateurs entre chaque période consécutive (2000-2005, 2005-2010, 2010-2015, 2015-2020), arrondi à $0,1\%$ près. Que peut-on en conclure sur le type d'évolution : modèle arithmétique à incrément fixe, ou modèle géométrique à taux fixe ?

b) En déduire une fonction exponentielle $f(x)=40\times a^x$ modélisant le nombre d'utilisateurs (en milliers), où $x$ est le nombre de périodes de 5 ans écoulées depuis 2000. Donner $a$.

c) Un cabinet d'études projette que la plateforme comptera $130$ milliers d'utilisateurs actifs en 2035. Cette projection est-elle cohérente avec le modèle exponentiel de la question b) ? Justifier en calculant $f$ à l'instant correspondant à 2035, soit $x=7$ périodes de 5 ans.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

1. $5^{2x-3}=5^{x+4}$
2. $7^{3x}=7^{x+6}$
3. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-5}$
4. Pourquoi le résultat « $a^x=a^y⟺x=y$ » ne s'applique-t-il pas à la base $a=1$ ? Donner un exemple.

Comparer, sans calculer leurs valeurs, les nombres suivants en justifiant par le sens de variation de la fonction $x\mapsto a^x$ correspondante.

1. $0,6^4$ et $0,6^7$
2. $1,05^{-2}$ et $1,05^{-3}$
3. $3^{\sqrt{5}}$ et $3^{2,2}$
4. $0,5^{-1,5}$ et $0,5^{-1,2}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes, en commençant par réécrire les deux membres avec une même base.

1. $4^x=2^{x+3}$
2. $9^{x+1}=27^{x-1}$
3. $8^x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-4}$
4. Vérifier la solution de l'équation 2 en calculant chaque membre.

Comparer les nombres suivants, sans calculatrice, en les écrivant d'abord comme des puissances d'une même base.

1. $9^{1,2}$ et $3^{2,5}$
2. ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{0,7}$ et ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1,5}$
3. $8^{-1/3}$ et $4^{-0,4}$
4. Ranger dans l'ordre croissant les trois nombres $2^{0,9}$, $4^{0,5}$ et $8^{0,4}$.