Exercices de Fonctions exponentielles, Première (page 2)

Une entreprise consacre à son budget marketing une suite de montants $(u_n)$, en euros, avec $u_0=5000$ et une progression de $10\%$ par an (raison $q=1,1$).

a) Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

b) On note $f$ la fonction exponentielle associée, définie pour tout réel $x\ge 0$ par $f(x)=u_0\times 1,1^x$. Calculer $f(4,5)$, qui donne une estimation du budget après 4 ans et demi (arrondir à l'euro).

Simplifier l'expression suivante sous la forme d'une puissance de $2$, puis donner sa valeur approchée à $10^{-4}$ près :$$B=\frac{2^5\times 2^{-1,4}}{4^6}$$

Soit $a>0$. Démontrer que, pour tous réels $x$ et $y$ :$$a^{x+y}\times a^{-y}=a^x.$$

On donne quatre fonctions :$$f(x)=3\times 0,6^x,g(x)=3\times 1,4^x,h(x)=0,6^x,k(x)=5\times 0,6^x.$$Une courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $(0;5)$ et est décroissante. Parmi $f$, $g$, $h$ et $k$, laquelle représente $\mathcal{C}$ ? Justifier en examinant à la fois l'ordonnée à l'origine et le sens de variation.

Le tableau suivant donne le nombre de vélos disponibles dans le parc de la ville A, au fil des années suivant son lancement :a) Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique et donner sa raison $a$.

b) Écrire la fonction exponentielle continue $f(x)=u_0\times a^x$ associée.

c) La ville B, qui a lancé son parc en même temps avec $200$ vélos, suit le modèle $g(x)=200\times 1,15^x$. Laquelle des deux villes voit son parc croître le plus rapidement ? Comparer $f(5)$ et $g(5)$ pour illustrer.

Une application mobile compte $850$ téléchargements le jour de son lancement ($x=0$) et progresse de $18\%$ par jour. Le nombre de téléchargements cumulés est modélisé par $f(x)=850\times 1,18^x$.

À l'aide d'un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice (pas de $1$ jour), déterminer au bout de combien de jours entiers le nombre de téléchargements dépasse pour la première fois $10000$.

Un virus informatique infecte $40$ ordinateurs à l'instant $x=0$ (en heures) et se propage selon $f(x)=40\times 2,3^x$. On cherche l'instant où le nombre d'ordinateurs infectés atteint le double de l'effectif initial, soit $80$.

Un tableau de valeurs resserré (pas de $0,01$ heure) donne :Donner un encadrement, à $0,01$ heure près, de l'instant où le seuil de $80$ ordinateurs infectés est atteint.

La valeur de revente d'un véhicule utilitaire a diminué de $35\%$ au total sur $5$ ans.

a) Donner le coefficient multiplicateur global sur ces $5$ ans.

b) Calculer le taux d'évolution moyen annuel $t$ (arrondi à $0,1\%$ près). Préciser son signe et son interprétation.

L'effectif d'une entreprise est passé de $240$ à $293$ salariés en $6$ ans (soit une hausse globale d'environ $22\%$).

a) Calculer le taux d'évolution moyen annuel $t$ (arrondi à $0,1\%$ près).

b) En utilisant ce taux moyen, estimer l'effectif de l'entreprise $3$ années plus tard (donc $9$ ans après le point de départ), arrondi à l'unité.

Soit $a>0$. Simplifier chacune des expressions suivantes :

a) ${\left(\sqrt[5]{a}\right)}^{15}$

b) ${\left(a^{1/6}\right)}^{-6}$

c) $\sqrt[3]{a^9}$

La courbe représentative d'une fonction exponentielle $f(x)=a^x$ (avec $a>0$) passe par le point $(4;1296)$.

a) Écrire l'équation vérifiée par $a$, puis en déduire la valeur exacte de $a$.

b) Calculer $f(2,5)$, arrondi au centième.

Le tableau suivant donne, en millions, le nombre estimé d'utilisateurs actifs d'un réseau social, par tranches de $5$ ans depuis son lancement :a) Calculer les coefficients multiplicateurs sur chacune des trois périodes de $5$ ans (2005-2010, 2010-2015, 2015-2020). Que remarque-t-on sur leur évolution ?

b) Calculer le coefficient multiplicateur global sur les $15$ ans (2005-2020), puis le coefficient moyen par période de $5$ ans (méthode en trois temps).

c) Un cabinet d'analystes prévoit $320$ millions d'utilisateurs en 2025. En appliquant le coefficient moyen trouvé en b) à la valeur de 2020, calculer la valeur que prédirait un modèle exponentiel à taux constant pour 2025. Ce modèle est-il cohérent avec la prévision du cabinet d'analystes ? Justifier à partir de la remarque faite en a).

Le chiffre d'affaires d'une start-up était de $80000€$ en 2018 ; il atteint $250000€$ en 2023, soit $5$ ans plus tard.

a) Calculer le coefficient multiplicateur global sur ces $5$ années, puis le taux d'évolution moyen annuel $t$ (arrondi à $0,01\%$ près).

b) En supposant ce taux moyen constant, estimer le chiffre d'affaires en 2020 (soit $2$ ans après 2018), arrondi à l'euro.

Dans une réserve naturelle, une population de kangourous roux compte initialement $850$ individus. Cette population augmente de $18\%$ chaque année.

a) On note $u_n$ le nombre de kangourous après $n$ années entières ($n\in \mathbb{N}$). Donner $u_0$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondis à l'unité).

b) Justifier que $u_n=850\times 1,18^n$ pour tout entier naturel $n$.

c) Un garde forestier souhaite estimer la population après $2$ ans et $6$ mois, soit pour une durée $x=2,5$ années. L'écriture $u_n$ permet-elle ce calcul ? Introduire la fonction $f$ qui prolonge ce modèle à toute durée réelle $x\ge 0$, et calculer $f(2,5)$, arrondi à l'individu près.

La concentration en désinfectant d'une piscine, initialement de $12$ mg/L, diminue de $8\%$ chaque jour si l'on n'ajoute pas de produit.

a) Quel est le coefficient multiplicateur $a$ associé à cette baisse quotidienne de $8\%$ ? Justifier que $0<a<1$.

b) On note $c_n$ la concentration, en mg/L, après $n$ jours entiers. Exprimer $c_n$ en fonction de $n$, puis calculer $c_1$, $c_2$ et $c_3$ (arrondis au centième de mg/L).

c) Le gérant souhaite connaître la concentration après $3$ jours et demi, soit $x=3,5$ jours. Écrire la fonction $g$ qui modélise cette concentration pour toute durée réelle $x\ge 0$, puis calculer $g(3,5)$, arrondi au centième de mg/L.

On considère une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=50$ et de raison $1,6$.

a) Calculer $u_1$ et $u_2$.

b) Écrire la fonction exponentielle $f$ qui prolonge cette suite à tout réel $x\ge 0$, en précisant la relation entre $f$ et $(u_n)$.

c) Calculer $f(2,3)$, arrondi au centième.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier à l'aide d'une propriété du cours.

a) Pour $a=0,4$, il existe un réel $x$ tel que $0,4^x=0$.

b) Pour tout réel $a>0$, on a $a^0=1$.

c) Il existe une base $a>0$ telle que la courbe représentative de $x\mapsto a^x$ passe sous l'axe des abscisses pour certaines valeurs de $x$.

d) Pour $a=5$, l'expression $5^x$ est définie même pour $x=-3$.

On donne $a=7,5$ et on sait que $7,5^{1,8}\approx 37,59$.

a) Sans recalculer $7,5^{1,8}$, exprimer $7,5^{-1,8}$ en fonction de $7,5^{1,8}$.

b) En déduire une valeur approchée de $7,5^{-1,8}$, à $10^{-4}$ près.

Simplifier les expressions suivantes en une seule puissance de la base indiquée (le résultat n'est pas à calculer numériquement) :$$D=3,6^{-2,2}\times 3,6^{7,2}E=\frac{9^{12}}{9^{-3,5}}$$

Simplifier les expressions suivantes sous la forme d'une seule puissance de la base indiquée (avec $a>0$ et $x$ réel quelconque) :$$F={\left(2,8^x\right)}^{-4}G={\left(0,6^{3x+2}\right)}^{5}H={\left(a^{\frac{x}{3}}\right)}^{-9}$$

Simplifier l'expression suivante en la ramenant à une seule puissance de $5$ :$$M=\frac{5^4\times 5^{-1,5}}{25^6}$$(on remarquera que $25=5^2$).

Soit $a>0$. Démontrer que, pour tout réel $x$,$$\frac{a^{5x}\times a^{-x}}{a^{2x}}=a^{2x}.$$On détaillera chaque étape en citant la propriété de puissance utilisée, sans remplacer $a$ ou $x$ par une valeur numérique.

On donne l'expression $N=\sqrt[3]{2}\times 2^4$, avec $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}$.

a) Réécrire $N$ sous la forme d'une seule puissance de $2$, d'exposant une fraction irréductible.

b) Calculer une valeur approchée de $N$, à $10^{-2}$ près, à la calculatrice.

Simplifier l'expression suivante sous la forme d'une seule puissance de $6,4$ :$$P=\frac{6,4^{2,1}\times 6,4^{-5,6}}{6,4^{-1,5}}$$

On considère les cinq fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :$$g_1(x)=2\times 1,25^x{g}_2(x)=7\times 0,8^x{g}_3(x)=5\times 1^x{g}_4(x)=3\times 0,99^x{g}_5(x)=0,2\times 3^x$$Pour chacune, préciser la base $a$ utilisée puis indiquer, sans dériver, si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur $\mathbb{R}$, en justifiant uniquement par la valeur de $a$.

On donne quatre fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :$$h_1(x)=1,7^x{h}_2(x)=0,4^x{h}_3(x)=2,3^x{h}_4(x)=0,65^x$$a) Montrer que les quatre courbes représentatives de $h_1$, $h_2$, $h_3$ et $h_4$ passent toutes par un même point, et donner ses coordonnées.

b) La courbe $\Gamma$ représente l'une de ces quatre fonctions, notée $h$ ; la fonction $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ et vérifie $h(2)=0,16$. Déterminer, en justifiant, à laquelle des quatre fonctions correspond $\Gamma$.

On donne quatre fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :$$p_1(x)=4\times 1,3^x{p}_2(x)=9\times 0,4^x{p}_3(x)=4\times 0,4^x{p}_4(x)=9\times 1,3^x$$On sait que la courbe $\mathcal{C}$ d'une de ces quatre fonctions coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;9)$, et qu'elle est croissante sur $\mathbb{R}$. Déterminer, en justifiant, laquelle des quatre fonctions correspond à $\mathcal{C}$.

Deux fermes solaires voient leur puissance installée croître d'année en année. Le tableau ci-dessous donne la puissance $u_n$ (ferme A) et $v_n$ (ferme B), en mégawatts, après $n$ années entières :$$\begin{array}{ccccc}n& 0& 1& 2& 3\\ u_n& 100& 106& 112,36& 119,1016\\ v_n& 100& 109& 118,81& 129,5029\end{array}$$a) Vérifier que, dans le tableau, le quotient de deux termes consécutifs est constant pour chacune des deux fermes. On admet alors que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites géométriques : donner leur raison respective $a$ et $b$.

b) Écrire les fonctions exponentielles $f$ et $g$ qui prolongent respectivement $(u_n)$ et $(v_n)$ à tout réel $x\ge 0$.

c) Sans calculer de valeur intermédiaire, laquelle des deux fermes aura toujours la puissance installée la plus élevée à long terme ? Justifier à l'aide des raisons $a$ et $b$.

La courbe représentative d'une fonction exponentielle $f(x)=a^x$ (avec $a>0$) passe par le point $A\left(\frac{3}{4};8\right)$.

a) Écrire l'équation vérifiée par $a$ à partir des coordonnées de $A$.

b) En élevant chaque membre de l'égalité à la puissance $\frac{4}{3}$, déterminer la valeur exacte de $a$, puis vérifier le résultat en recalculant $f\left(\frac{3}{4}\right)$.

c) Un élève propose de résoudre l'équation en multipliant $8$ par $\frac{4}{3}$. Expliquer pourquoi cette méthode est incorrecte.

La quantité de médicament présente dans le sang d'un patient, $x$ heures après la prise d'un comprimé, est modélisée pour $x\in [0;10]$ par$$m(x)=250\times 0,85^x,\text{en milligrammes}.$$a) Le modèle $m$ peut-il être évalué pour une durée non entière, par exemple $x=2,75$ heure (soit 2 heures et 45 minutes) ? Justifier.

b) À l'aide de la calculatrice, calculer $m(2,75)$ et arrondir au milligramme près.

c) Un élève arrondit d'abord $0,85^{2,75}$ à $0,64$ (deux chiffres après la virgule), puis calcule $250\times 0,64$. Comparer son résultat à celui de la question b) et expliquer pourquoi il vaut mieux ne pas arrondir les calculs intermédiaires.

Après la fin d'une campagne publicitaire, le nombre de visites quotidiennes d'un site web est modélisé, pour $x$ jours écoulés depuis la fin de la campagne, par$$w(x)=15000\times 0,9^x,x\in [0;30].$$a) Sans calculer de dérivée, déterminer le sens de variation de $x\mapsto 0,9^x$ sur $\mathbb{R}$, en justifiant uniquement par la valeur de la base.

b) En déduire, toujours sans dérivation, le sens de variation de $w$ sur $[0;30]$.

c) Que peut-on en conclure sur l'évolution du trafic du site à mesure que le temps passe après la campagne ?

Un programme de reforestation a planté $800$ arbres la première année. Le nombre total d'arbres plantés, $x$ années après le début du programme, est modélisé par $t(x)=800\times 1,12^x$ pour $x\in [0;15]$.

a) Calculer $t(0)$ et justifier, sans dérivée, que $t$ est croissante sur $[0;15]$.

b) Les responsables du programme veulent savoir au bout de combien d'années entières le nombre total d'arbres dépasse $1600$ (le double du nombre planté la première année). En testant plusieurs valeurs entières de $x$ à la calculatrice, déterminer le plus petit entier $x$ pour lequel $t(x)>1600$.

Une offre de streaming musical compte $45000$ abonnés à son lancement. Le nombre d'abonnés, $x$ mois après le lancement, est modélisé par $s(x)=45000\times 1,06^x$ pour $x\in [0;24]$. On dispose d'un extrait de tableau de valeurs, obtenu au tableur avec un pas de $0,01$ mois :$$\begin{array}{cccccc}x& 1,78& 1,79& 1,80& 1,81& 1,82\\ s(x)& 49918,0& 49947,1& 49976,2& 50005,3& 50034,5\end{array}$$On cherche l'instant à partir duquel le nombre d'abonnés dépasse $50000$.

a) À l'aide du tableau, donner un encadrement, à $0,01$ mois près, de l'instant où le seuil de $50000$ abonnés est franchi.

b) Pourquoi ne peut-on pas donner ici de valeur exacte, mais seulement un encadrement ?

Le tableau suivant donne la capacité totale installée en éoliennes offshore d'un pays, en gigawatts (GW), recensée tous les 4 ans :$$\begin{array}{cccccc}\text{Anneˊe}& 2000& 2004& 2008& 2012& 2016\\ \text{Capaciteˊ (GW)}& 0,750& 0,818& 0,891& 0,971& 1,059\end{array}$$a) Calculer le taux d'évolution, en %, de la capacité entre chaque période de 4 ans consécutive, arrondi à $0,1\%$ près. Que peut-on en conclure sur le type d'évolution : modèle arithmétique à incrément fixe, ou modèle géométrique à taux fixe ?

b) En déduire une fonction exponentielle $f(x)=0,75\times a^x$ modélisant la capacité installée (en GW), où $x$ est le nombre de périodes de 4 ans écoulées depuis 2000. Donner $a$, arrondi au centième.

c) Un observatoire de l'énergie éolienne projette une capacité installée de $1,55$ GW en 2032. Cette projection est-elle cohérente avec le modèle exponentiel de la question b) ? Justifier en calculant $f$ à l'instant correspondant à 2032, soit $x=8$ périodes de 4 ans.

On rappelle que pour $a>0$ et $n$ un entier naturel non nul, si $x^n=a$ avec $x>0$, alors $x=a^{\frac{1}{n}}$ ; ce nombre s'appelle la racine n-ième de $a$ et se note aussi $\sqrt[n]{a}$.

a) Justifier, à l'aide des règles de puissances, que $x=a^{\frac{1}{n}}$ vérifie bien $x^n=a$.

b) Calculer, sous forme d'un entier, $81^{\frac{1}{4}}$ (racine quatrième de $81$).

c) Calculer, sous forme d'un entier, $243^{\frac{1}{5}}$ (racine cinquième de $243$).

Simplifier les expressions suivantes, avec $a>0$ :$$Q={\left(a^{\frac{1}{5}}\right)}^{5}R={\left(\sqrt[3]{a}\right)}^{4}S={\left(a^{12}\right)}^{\frac{1}{12}}$$

On considère l'équation $x^7=500$, d'inconnue réelle $x>0$.

a) Exprimer la solution positive de cette équation à l'aide d'une puissance de $500$.

b) Calculer une valeur approchée de cette solution, à $10^{-2}$ près, à la calculatrice.

Le chiffre d'affaires annuel d'une start-up de livraison à vélo est passé de $850000$ € à $2450000$ € en $9$ ans.

a) Calculer le coefficient multiplicateur global sur ces 9 années.
b) En déduire le coefficient multiplicateur moyen annuel, puis le taux d'évolution moyen annuel $t$, arrondi à $0,01\%$ près.

Les ventes en ligne d'une boutique ont augmenté de $5\%$ sur les 6 derniers mois. On cherche le taux d'évolution moyen mensuel équivalent, noté $t$ (en %). Parmi les quatre équations suivantes, une seule permet de déterminer correctement $t$. Laquelle ? Justifier ce choix et expliquer pourquoi chacune des trois autres est fausse.

(1) ${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^6=1,05$

(2) $t^6=0,05$

(3) $6\times t=5$

(4) ${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^{180}=1,05$