Exercices de Fonctions trigonométriques en maths Première

1. $Demi-carré$

En Mésopotamie, au VIe siècle avant JC, les arpenteurs babyloniens utilisent la méthode suivante pour obtenir un carré dont la surface est égale à la moitié de celle d'un carré donné.

On considère un carré

A B C D

.
Le cercle de centre

A

passant par

B

coupe la diagonale

[A C]

E

.
Les arpenteurs babyloniens affirment que l'on peut construire un carré de diagonale

[A E]

dont l'aire est égale à la moitié de l'aire du carré

A B C D

.

1) Construction :
Réaliser une figure et vérifier la méthode babylonienne après avoir effectué quelques mesures.
On pourra éventuellement utiliser un logiciel de géométrie.

2) Démonstration :
On considère le repère orthonormé

(A; A B, A D)

.

a) Dans ce repère, donner l'aire du carré

A B C D

.
b) On note

F

G

les projetés orthogonaux de

E

sur les droites

(A B)

(A D)

. Dans le cercle trigonométrique, déterminer les coordonnées de

E

, puis calculer la longueur des côtés du quadrilatère

A F E G

, de diagonale

[A E]

.
c) En déduire qu'il s'agit d'un carré et calculer son aire. Conclure.

2.Exercice 2

En utilisant le cercle trigonométrique, retrouver les valeurs suivantes :

1.

cos (\frac{π}{6})

sin (\frac{π}{6})

cos (\frac{π}{4})

sin (\frac{π}{4})

cos (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3})

4. En déduire

cos (\frac{2 π}{3})

sin (\frac{2 π}{3})

cos (- \frac{π}{4})

sin (- \frac{π}{6})

Voir le corrigé

Dans un repère orthonormé

(O; I, J)

, le point

M

du cercle trigonométrique associé au réel

x

a pour coordonnées

(cos x; sin x)

, et comme

O M = 1

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

.

1. Soit

M

le point du cercle associé à

\frac{π}{6}

(angle de

3 0^{\circ}

avec

(O I)

) et

K

son projeté orthogonal sur l'axe des ordonnées

(O J)

sin (\frac{π}{6}) = O K

.
L'angle

M O J

vaut

9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

O M = O J = 1

: le triangle

O M J

est isocèle en

O

, ses deux autres angles valent

(18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) \div 2 = 6 0^{\circ}

, il est donc équilatéral. Sa hauteur

(M K)

est aussi une médiane, donc

K

est le milieu de

[O J]

sin (\frac{π}{6}) = O K = \frac{1}{2}

Puis

cos^{2} (\frac{π}{6}) = 1 - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4}

, et comme

cos (\frac{π}{6}) \geq 0

(

M

est dans le premier quart de cercle) :

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4} = \frac{3}{2}

2. Soit

M

le point du cercle associé à

\frac{π}{4}

(angle de

4 5^{\circ}

) et

H

son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses :

O H = cos (\frac{π}{4})

H M = sin (\frac{π}{4})

.
Le triangle

O H M

est rectangle en

H

H O M = 4 5^{\circ}

, donc

O M H = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

: il est rectangle isocèle en

H

, d'où

O H = H M

, c'est-à-dire

cos (\frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{4})

.
Avec

cos^{2} + sin^{2} = 1

2 cos^{2} (\frac{π}{4}) = 1

, donc

cos^{2} (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

, et comme

cos (\frac{π}{4}) \geq 0

cos (\frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

3. Soit

M

le point du cercle associé à

\frac{π}{3}

(angle de

6 0^{\circ}

) et

H

son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses

(O I)

cos (\frac{π}{3}) = O H

.
On a

O M = O I = 1

I O M = 6 0^{\circ}

: comme au 1., le triangle

O M I

est isocèle en

O

avec un angle de

6 0^{\circ}

, donc équilatéral. Sa hauteur

(M H)

est aussi une médiane, donc

H

est le milieu de

[O I]

cos (\frac{π}{3}) = O H = \frac{1}{2}

Puis

sin^{2} (\frac{π}{3}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

, et comme

sin (\frac{π}{3}) \geq 0

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

On remarque que les points associés à

\frac{π}{6}

\frac{π}{3}

sont symétriques par rapport à la droite d'équation

y = x

: leurs coordonnées sont échangées.

Bilan (valeurs remarquables à retenir) : les points

I

J

donnent aussi

cos 0 = 1

sin 0 = 0

cos (\frac{π}{2}) = 0

sin (\frac{π}{2}) = 1

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$

4. Utilisation des propriétés :

cos (\frac{2 π}{3}) = cos (π - \frac{π}{3}) = - cos (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

sin (\frac{2 π}{3}) = sin (π - \frac{π}{3}) = sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}

cos (- \frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

(cosinus est une fonction paire)

sin (- \frac{π}{6}) = - sin (\frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

(sinus est une fonction impaire)

3.Exercice 3

Les fonctions cosinus et sinus sont

2 π

-périodiques.

1. Calculer

cos (\frac{13 π}{6})

en utilisant la périodicité.
2. Calculer

sin (- \frac{5 π}{4})

en utilisant la périodicité et/ou la parité.
3. Résoudre dans

R

cos (x) = cos (\frac{π}{3})

.
4. Résoudre dans

R

sin (x) = \frac{1}{2}

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4. $Repérer des points sur le cercle trigonométrique$

On considère les réels suivants, chacun étant la mesure d'un point image sur le cercle trigonométrique :

x_{1} = \frac{2 π}{3}; x_{2} = - \frac{π}{4}; x_{3} = \frac{7 π}{6}; x_{4} = \frac{5 π}{2}

Pour chacun de ces réels, indiquer dans quel quadrant du cercle trigonométrique se situe son point image (préciser si le point se situe sur l'un des axes), en justifiant à l'aide de l'enroulement de la droite réelle sur le cercle.

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5. $Convertir des angles entre degrés et radians$

1) Convertir en radians, sous forme de fraction de

π

la plus simple possible :

a)

75°

200°

2) Convertir en degrés :
a)

\frac{7 π}{10}

radians

b)

\frac{4 π}{5}

radians

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6. $Compléter un tableau de valeurs remarquables$

Donner, sans justification, la valeur exacte de

cos (x)

et de

sin (x)

pour chacune des valeurs remarquables suivantes :

x = \frac{π}{6}; x = \frac{π}{4}; x = \frac{π}{3}; x = \frac{π}{2}; x = π

Vérifier ensuite, pour

x = \frac{π}{3}

, que l'égalité

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

est bien satisfaite.

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7. $Compléter des égalités d'angles associés$

Pour tout réel

x

, compléter les égalités suivantes à l'aide des formules des angles associés :

a)

cos (- x) = \dots

sin (π - x) = \dots

cos (π + x) = \dots

sin (- x) = \dots

cos (π - x) = \dots

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8. $Lire la parité et la périodicité d'une courbe$

On donne la représentation graphique d'une fonction

f

définie sur

R

. On observe les propriétés suivantes :

- la courbe passe par le point de coordonnées

(0; 2)

;
- la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
- le morceau de courbe observé sur l'intervalle

[0; π]

se retrouve à l'identique sur

[π; 2 π]

, sur

[2 π; 3 π]

, et ainsi de suite dans les deux sens.

En justifiant à partir de ces seules observations graphiques, déterminer si

f

est paire ou impaire, puis donner une période de

f

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9. $Déterminer une mesure principale$

Donner la mesure principale de chacun des réels suivants :

a)

x = \frac{35 π}{6}

y = - \frac{29 π}{4}

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10. $Trouver des réels associés au même point du cercle$

Le réel

x_{0} = \frac{5 π}{3}

est associé à un point

M

du cercle trigonométrique.

a) Donner, sous forme de fractions de

π

, trois autres réels associés au point

M

.

b) Le réel

\frac{5 π}{3} - 8 π

est-il associé au point

M

? Justifier.

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11. $Calculer une longueur d'arc et un angle au centre$

Un cercle a pour rayon

r = 4

cm.

a) Un arc de ce cercle correspond à un angle au centre de

\frac{5 π}{6}

radians. Calculer la longueur de cet arc.

b) Un autre arc de ce même cercle a une longueur de

6 π

cm. Calculer la mesure, en radians, de l'angle au centre correspondant.

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12. $Calculer cosinus et sinus par les angles associés$

Calculer, sans utiliser la calculatrice, les valeurs exactes de

cos (\frac{5 π}{6})

sin (\frac{5 π}{6})

, en les ramenant à des angles remarquables à l'aide des formules des angles associés.

Calculer ensuite, de la même manière, les valeurs exactes de

cos (- \frac{2 π}{3})

sin (- \frac{2 π}{3})

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13. $Déterminer un sinus connaissant un cosinus$

a) On donne

cos (x) = - \frac{2}{3}

, avec

x \in [\frac{π}{2}; π]

. Calculer

sin (x)

.

b) On donne

sin (y) = - \frac{3}{7}

, avec

y \in [- \frac{π}{2}; 0]

. Calculer

cos (y)

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14. $Étudier le signe de cosinus et sinus sur un intervalle$

Sans calculer aucune valeur, déterminer le signe de

cos (x)

et de

sin (x)

pour

x \in] \frac{2 π}{3}; \frac{4 π}{3} [

, en précisant les quadrants traversés par le point image de

x

lorsqu'il parcourt cet intervalle.

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15. $Résoudre une équation en cosinus$

Résoudre dans

R

l'équation

cos (x) = - \frac{2}{2}

, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à

[0; 2 π [

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16. $Résoudre une équation en sinus$

Résoudre dans

R

l'équation

sin (x) = \frac{3}{2}

, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à

] - π; π]

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17. $Étudier la parité de fonctions trigonométriques$

a) Démontrer que la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = cos (x) + cos (3 x)

est paire.

b) On considère la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = cos (x) + sin (x)

. Montrer que

h

n'est ni paire ni impaire.

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18. $Utiliser parité et périodicité pour calculer des valeurs$

Soit

f

une fonction paire, définie sur

R

, périodique de période

\frac{2 π}{3}

, telle que pour tout

x \in [0; \frac{π}{3}]

f (x) = \frac{3 x}{π}

a) Calculer

f (- \frac{π}{6})

.

b) Calculer

f (\frac{11 π}{12})

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19. $Calculer cosinus et sinus d'un réel après réduction$

Calculer les valeurs exactes de

cos (\frac{29 π}{4})

sin (\frac{29 π}{4})

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20. $Résoudre une équation trigonométrique sur plusieurs tours$

Résoudre dans

[0; 6 π [

l'équation

sin (x) = \frac{1}{2}

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21. $Résoudre une équation trigonométrique avec argument affine$

Résoudre dans

R

l'équation

cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à

[0; 2 π [

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22. $Résoudre des inéquations trigonométriques$

a) Résoudre dans

[- π; π]

l'inéquation

cos (x) \geq \frac{1}{2}

.

b) Résoudre dans

[- π; π]

l'inéquation

sin (x) \leq - \frac{2}{2}

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23. $Étudier la périodicité de fonctions trigonométriques$

On considère la fonction

g

définie sur

R

par

g (x) = sin (3 x)

.

a) Démontrer que

g

est périodique de période

\frac{2 π}{3}

, c'est-à-dire que

g (x + \frac{2 π}{3}) = g (x)

pour tout réel

x

.

b) Un élève affirme que

\frac{π}{3}

est également une période de

g

. A-t-il raison ? Justifier en s'appuyant sur un exemple précis.

c) On considère la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = cos (\frac{x}{2})

. Déterminer une période de

h

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24. $Comparer des valeurs de cosinus et de sinus$

a) Comparer, sans calculatrice,

cos (\frac{4 π}{5})

cos (\frac{7 π}{8})

.

b) Comparer, sans calculatrice,

sin (- \frac{2 π}{5})

sin (- \frac{π}{3})

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25. $Reconnaître des inéquations trigonométriques triviales$

Résoudre dans

[0; 2 π [

chacune des inéquations suivantes, en étant vigilant sur les valeurs que peuvent réellement prendre

cos (x)

sin (x)

:

a)

cos (x) \geq 3

sin (x) \leq - 5

cos (x) \leq 4

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26. $Simplifier une expression trigonométrique et résoudre$

On considère l'expression, définie pour tout réel

x

E (x) = cos (π - x) - cos (- x) + cos (π + x)

a) Montrer que, pour tout réel

x

E (x) = - 3 cos (x)

.

b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation

E (x) = - \frac{3}{2}

sur l'intervalle

[0; 2 π [

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27. $Modéliser la hauteur d'une nacelle de grande roue$

Une grande roue a un rayon de

15

m et son centre est situé à

17

m au-dessus du sol. Elle effectue un tour complet en

8

minutes. À l'instant

t = 0

(exprimé en minutes), une nacelle se trouve à sa position la plus basse.

On admet que la hauteur

h (t)

, en mètres, de cette nacelle au-dessus du sol à l'instant

t

(en minutes) est donnée par :

h (t) = 17 - 15 cos (\frac{π}{4} t)

a) Vérifier que

h (0)

correspond bien à la position la plus basse annoncée. Déterminer la hauteur maximale atteinte par la nacelle, ainsi que le premier instant

t > 0

auquel cette hauteur maximale est atteinte.

b) Déterminer, au cours d'un tour, la durée totale pendant laquelle la nacelle se trouve à une hauteur supérieure ou égale à

24, 5

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28. $Situer des points sur le cercle trigonométrique par quadrant$

On considère les réels suivants, chacun étant la mesure d'un point image sur le cercle trigonométrique :

x_{1} = \frac{5 π}{6}; x_{2} = - \frac{π}{3}; x_{3} = \frac{4 π}{3}; x_{4} = \frac{7 π}{2}

Pour chacun de ces réels, préciser dans quel quadrant du cercle trigonométrique se situe son point image (ou indiquer qu'il se situe sur l'un des axes), en justifiant à l'aide de l'enroulement de la droite réelle sur le cercle.

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29. $Effectuer des conversions d'angles en radians et en degrés$

1) Convertir en radians, sous forme de fraction de

π

la plus simple possible :

a)

40°

150°

2) Convertir en degrés :
a)

\frac{5 π}{12}

radians

b)

\frac{7 π}{9}

radians

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30. $Compléter un tableau de valeurs remarquables et contrôler une égalité$

Donner, sans justification, la valeur exacte de

cos (x)

et de

sin (x)

pour chacune des valeurs remarquables suivantes :

x = 0; x = \frac{π}{6}; x = \frac{π}{4}; x = \frac{π}{3}; x = \frac{π}{2}

Vérifier ensuite, pour

x = \frac{π}{6}

, que l'égalité

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

est bien satisfaite.

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31. $Compléter des formules d'angles associés$

Pour tout réel

x

, compléter les égalités suivantes à l'aide des formules des angles associés :

a)

sin (π + x) = \dots

cos (\frac{π}{2} - x) = \dots

sin (\frac{π}{2} - x) = \dots

cos (\frac{π}{2} + x) = \dots

sin (\frac{π}{2} + x) = \dots

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32. $Analyser la parité et la périodicité à partir d'un graphique$

On donne la représentation graphique d'une fonction

g

définie sur

R

. On observe les propriétés suivantes :

- la courbe passe par l'origine du repère ;
- la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère ;
- le morceau de courbe observé sur l'intervalle

[0; π]

se retrouve à l'identique, par translation horizontale, sur

[π; 2 π]

, sur

[2 π; 3 π]

, et ainsi de suite dans les deux sens.

En justifiant à partir de ces seules observations graphiques, déterminer si

g

est paire ou impaire, puis donner une période de

g

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33. $Réduire un réel à sa mesure principale$

Donner la mesure principale de chacun des réels suivants :

a)

x = \frac{41 π}{6}

y = - \frac{23 π}{5}

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34. $Construire des réels associés à un même point du cercle$

Le réel

x_{0} = \frac{7 π}{4}

est associé à un point

M

du cercle trigonométrique.

a) Donner, sous forme de fractions de

π

, trois autres réels associés au point

M

.

b) Le réel

\frac{7 π}{4} - 10 π

est-il associé au point

M

? Justifier.

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35. $Comparer les images de deux réels sur le cercle trigonométrique$

a) Les réels

x = \frac{13 π}{6}

y = \frac{π}{6}

sont-ils associés au même point du cercle trigonométrique ? Justifier.

b) Les réels

x = \frac{5 π}{3}

y = - \frac{π}{4}

sont-ils associés au même point du cercle trigonométrique ? Justifier.

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36. $Calculer une longueur d'arc sur un cercle de rayon donné$

Un cercle a pour rayon

r = 6

cm.

a) Un arc de ce cercle correspond à un angle au centre de

\frac{2 π}{5}

radians. Calculer la longueur de cet arc.

b) Un autre arc de ce même cercle a une longueur de

8 π

cm. Calculer la mesure, en radians, de l'angle au centre correspondant.

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37. $Relier triangle rectangle et cercle trigonométrique$

Dans un repère orthonormé

(O; i, j)

, on considère le point

M

du cercle trigonométrique tel que l'angle orienté associé à

M

mesure

\frac{π}{3}

. On note

H

le projeté orthogonal de

M

sur l'axe des abscisses.

a) Dans le triangle rectangle

O H M

, exprimer

cos (\frac{π}{3})

sin (\frac{π}{3})

comme rapports de longueurs, en utilisant la définition vue au collège (sachant que

O M = 1

).

b) Calculer les longueurs

O H

H M

.

c) Vérifier que ces valeurs coïncident avec les coordonnées du point

M

, lues directement sur le cercle trigonométrique.

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38. $Calculer des cosinus et sinus non remarquables par angles associés$

Calculer, sans utiliser la calculatrice, les valeurs exactes de

cos (\frac{11 π}{6})

sin (\frac{11 π}{6})

, en les ramenant à des angles remarquables à l'aide des formules des angles associés.

Calculer ensuite, de la même manière, les valeurs exactes de

cos (- \frac{5 π}{4})

sin (- \frac{5 π}{4})

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39. $Déterminer un sinus ou un cosinus à l'aide de l'identité fondamentale$

a) On donne

cos (x) = \frac{3}{5}

, avec

x \in [- \frac{π}{2}; 0]

. Calculer

sin (x)

.

b) On donne

sin (y) = \frac{5}{13}

, avec

y \in [\frac{π}{2}; π]

. Calculer

cos (y)

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40. $Déterminer le signe de cosinus et de sinus sur un intervalle$

Sans calculer aucune valeur, déterminer le signe de

cos (x)

et de

sin (x)

pour

x \in] - \frac{π}{6}; \frac{5 π}{6} [

, en précisant les quadrants traversés par le point image de

x

lorsqu'il parcourt cet intervalle.

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1.Demi-carré

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Repérer des points sur le cercle trigonométrique

5.Convertir des angles entre degrés et radians

6.Compléter un tableau de valeurs remarquables

7.Compléter des égalités d'angles associés

8.Lire la parité et la périodicité d'une courbe

9.Déterminer une mesure principale

10.Trouver des réels associés au même point du cercle

11.Calculer une longueur d'arc et un angle au centre

12.Calculer cosinus et sinus par les angles associés

13.Déterminer un sinus connaissant un cosinus

14.Étudier le signe de cosinus et sinus sur un intervalle

15.Résoudre une équation en cosinus

16.Résoudre une équation en sinus

17.Étudier la parité de fonctions trigonométriques

18.Utiliser parité et périodicité pour calculer des valeurs

19.Calculer cosinus et sinus d'un réel après réduction

20.Résoudre une équation trigonométrique sur plusieurs tours

21.Résoudre une équation trigonométrique avec argument affine

22.Résoudre des inéquations trigonométriques

23.Étudier la périodicité de fonctions trigonométriques

24.Comparer des valeurs de cosinus et de sinus

25.Reconnaître des inéquations trigonométriques triviales

26.Simplifier une expression trigonométrique et résoudre

27.Modéliser la hauteur d'une nacelle de grande roue

28.Situer des points sur le cercle trigonométrique par quadrant

29.Effectuer des conversions d'angles en radians et en degrés

30.Compléter un tableau de valeurs remarquables et contrôler une égalité

31.Compléter des formules d'angles associés

32.Analyser la parité et la périodicité à partir d'un graphique

33.Réduire un réel à sa mesure principale

34.Construire des réels associés à un même point du cercle

35.Comparer les images de deux réels sur le cercle trigonométrique

36.Calculer une longueur d'arc sur un cercle de rayon donné

37.Relier triangle rectangle et cercle trigonométrique

38.Calculer des cosinus et sinus non remarquables par angles associés

39.Déterminer un sinus ou un cosinus à l'aide de l'identité fondamentale

40.Déterminer le signe de cosinus et de sinus sur un intervalle

1. $Demi-carré$

4. $Repérer des points sur le cercle trigonométrique$

5. $Convertir des angles entre degrés et radians$

6. $Compléter un tableau de valeurs remarquables$

7. $Compléter des égalités d'angles associés$

8. $Lire la parité et la périodicité d'une courbe$

9. $Déterminer une mesure principale$

10. $Trouver des réels associés au même point du cercle$

11. $Calculer une longueur d'arc et un angle au centre$

12. $Calculer cosinus et sinus par les angles associés$

13. $Déterminer un sinus connaissant un cosinus$

14. $Étudier le signe de cosinus et sinus sur un intervalle$

15. $Résoudre une équation en cosinus$

16. $Résoudre une équation en sinus$

17. $Étudier la parité de fonctions trigonométriques$

18. $Utiliser parité et périodicité pour calculer des valeurs$

19. $Calculer cosinus et sinus d'un réel après réduction$

20. $Résoudre une équation trigonométrique sur plusieurs tours$

21. $Résoudre une équation trigonométrique avec argument affine$

22. $Résoudre des inéquations trigonométriques$

23. $Étudier la périodicité de fonctions trigonométriques$

24. $Comparer des valeurs de cosinus et de sinus$

25. $Reconnaître des inéquations trigonométriques triviales$

26. $Simplifier une expression trigonométrique et résoudre$

27. $Modéliser la hauteur d'une nacelle de grande roue$

28. $Situer des points sur le cercle trigonométrique par quadrant$

29. $Effectuer des conversions d'angles en radians et en degrés$

30. $Compléter un tableau de valeurs remarquables et contrôler une égalité$

31. $Compléter des formules d'angles associés$

32. $Analyser la parité et la périodicité à partir d'un graphique$

33. $Réduire un réel à sa mesure principale$

34. $Construire des réels associés à un même point du cercle$

35. $Comparer les images de deux réels sur le cercle trigonométrique$

36. $Calculer une longueur d'arc sur un cercle de rayon donné$

37. $Relier triangle rectangle et cercle trigonométrique$

38. $Calculer des cosinus et sinus non remarquables par angles associés$

39. $Déterminer un sinus ou un cosinus à l'aide de l'identité fondamentale$

40. $Déterminer le signe de cosinus et de sinus sur un intervalle$