Exercices de Fonctions trigonométriques, Première (page 3)

On considère les réels suivants, chacun étant la mesure d'un point image sur le cercle trigonométrique :$$x_1=\frac{5\pi }{6};x_2=-\frac{\pi }{3};x_3=\frac{4\pi }{3};x_4=\frac{9\pi }{2}$$Pour chacun de ces réels, indiquer dans quel quadrant du cercle trigonométrique se situe son point image (préciser si le point se situe sur l'un des axes), en justifiant à l'aide de l'enroulement de la droite réelle sur le cercle.

1) Convertir en radians, sous forme de fraction de $\pi$ la plus simple possible :

a) $40^{\circ }$

b) $225^{\circ }$

2) Convertir en degrés :
a) $\frac{11\pi }{12}$ radians

b) $\frac{3\pi }{5}$ radians

Donner, sans justification, la valeur exacte de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$ pour chacune des valeurs remarquables suivantes :$$x=0;x=\frac{\pi }{6};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{\pi }{3};x=\frac{\pi }{2};x=\pi$$Vérifier ensuite, pour $x=\frac{\pi }{6}$, que l'égalité ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$ est bien satisfaite.

Pour tout réel $x$, compléter les égalités suivantes à l'aide des formules des angles associés :

a) $\sin (-x)=\dots$

b) $\cos (\pi -x)=\dots$

c) $\sin (\pi +x)=\dots$

d) $\cos (-x)=\dots$

e) $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\dots$

On donne la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$. On observe les propriétés suivantes :

- la courbe passe par l'origine du repère ;
- la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère ;
- le morceau de courbe observé sur l'intervalle $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ se retrouve à l'identique sur $\left[\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3}\right]$, sur $\left[\frac{4\pi }{3};2\pi \right]$, et ainsi de suite dans les deux sens.

En justifiant à partir de ces seules observations graphiques, déterminer si $g$ est paire ou impaire, puis donner une période de $g$.

Donner la mesure principale de chacun des réels suivants :

a) $x=\frac{47\pi }{6}$

b) $y=-\frac{13\pi }{4}$

Le réel $x_0=\frac{7\pi }{4}$ est associé à un point $M$ du cercle trigonométrique.

a) Donner, sous forme de fractions de $\pi$, trois autres réels associés au point $M$.

b) Le réel $\frac{7\pi }{4}+9\pi$ est-il associé au point $M$ ? Justifier.

Pour chacun des couples suivants, déterminer si les deux réels ont la même image sur le cercle trigonométrique.

a) $x=\frac{17\pi }{6}$ et $y=-\frac{7\pi }{6}$

b) $x=\frac{5\pi }{3}$ et $y=-\frac{\pi }{4}$

Un cercle a pour rayon $r=6$ cm.

a) Un arc de ce cercle correspond à un angle au centre de $\frac{2\pi }{5}$ radians. Calculer la longueur de cet arc.

b) Un autre arc de ce même cercle a une longueur de $9\pi$ cm. Calculer la mesure, en radians, de l'angle au centre correspondant.

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB=3$ cm, $AC=4$ cm et $BC=5$ cm. On note $\theta$ la mesure de l'angle géométrique $\widehat{ABC}$.

a) Calculer $\cos (\theta )$ et $\sin (\theta )$ à l'aide des longueurs des côtés du triangle, puis vérifier que ${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$.

b) Expliquer pourquoi la même méthode (cosinus égal au rapport « côté adjacent sur hypoténuse ») ne peut pas être utilisée directement pour calculer $\cos (\pi -\theta )$, bien que $\pi -\theta$ soit un angle associé à $\theta$.

Calculer, sans utiliser la calculatrice, les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{7\pi }{6}\right)$ et $\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)$, en les ramenant à des angles remarquables à l'aide des formules des angles associés.

Calculer ensuite, de la même manière, les valeurs exactes de $\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)$ et $\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)$.

a) On donne $\sin (x)=-\frac{2}{5}$, avec $x\in \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$. Calculer $\cos (x)$.

b) On donne $\cos (y)=\frac{5}{13}$, avec $y\in \left[-\frac{\pi }{2};0\right]$. Calculer $\sin (y)$.

Sans calculer aucune valeur, déterminer le signe de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$ pour $x\in \left]\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right[$, en précisant les quadrants traversés par le point image de $x$ lorsqu'il parcourt cet intervalle.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos (x)=-\frac{1}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $[0;2\pi [$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $]-\pi ;\pi ]$.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer la bonne réponse, sans justifier.

1) La valeur exacte de $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$ est :
a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $-\frac{1}{2}$

2) Le réel $\frac{17\pi }{3}$ a la même image sur le cercle trigonométrique que :
a) $\frac{2\pi }{3}$ b) $-\frac{2\pi }{3}$ c) $\frac{5\pi }{3}$ d) $\frac{\pi }{3}$

3) Sur l'intervalle $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$, le signe de $\sin (x)$ est :
a) toujours positif b) toujours négatif c) variable selon $x$ d) toujours nul
4) L'ensemble des solutions de $\sin (x)=0$ sur $[0;2\pi [$ est :
a) $\{0\}$ b) $\{0;\pi \}$ c) $\left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right\}$ d) $\{0;\pi ;2\pi \}$

5) La fonction sinus est :
a) paire b) impaire c) ni paire ni impaire d) à la fois paire et impaire
6) La plus petite période positive de la fonction $x\mapsto \cos (3x)$ est :
a) $2\pi$ b) $\frac{2\pi }{3}$ c) $3\pi$ d) $\frac{\pi }{3}$

a) Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (x)\cos (3x)$ est paire.

b) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sin (2x)+\cos (x)$. Montrer que $g$ n'est ni paire ni impaire.

On donne la portion de courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, tracée uniquement sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$. On sait de plus que $f$ est paire et périodique de période $\frac{2\pi }{3}$.

Expliquer, par une méthode en deux étapes, comment compléter le tracé de la courbe de $f$ sur l'intervalle $\left[-\frac{4\pi }{3};\frac{4\pi }{3}\right]$ à partir du seul morceau connu sur $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$.

a) Comparer, sans calculatrice, $\cos \left(\frac{4\pi }{5}\right)$ et $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$.

b) Comparer, sans calculatrice, $\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$ et $\sin \left(\frac{2\pi }{5}\right)$.

Résoudre dans $[0;4\pi [$ l'équation $\cos (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $[0;2\pi [$.

a) Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\sin (x)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\cos (x)\le -\frac{1}{2}$.

On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\cos (4x)+\sin (2x)$.

a) Justifier que la fonction $x\mapsto \cos (4x)$ admet $\frac{\pi }{2}$ pour période.

b) Justifier que $\pi$ est une période de $g$, puis vérifier que $\frac{\pi }{2}$ n'en est pas une.

a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\cos (x)\le -4$.

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\sin (x)\ge -3$.

On définit, pour tout réel $x$ :$$E(x)=\cos (\pi -x)+\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)-\cos (-x)$$a) Montrer que, pour tout réel $x$, $E(x)=-\cos (x)$.

b) En déduire les solutions de l'équation $E(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ appartenant à $[0;2\pi [$.

Une bouée flotte à la surface de l'eau et oscille verticalement sous l'effet de la marée. On modélise la hauteur $h(t)$, en mètres, du sommet de la bouée au-dessus du fond marin, en fonction du temps $t$ (en heures) écoulé depuis le début de l'observation, par :$$h(t)=3+2\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right),t\ge 0$$a) Déterminer la période, en heures, du phénomène modélisé par $h$.

b) Calculer $h(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

c) Déterminer, sur l'intervalle $[0;24[$, tous les instants $t$ où la hauteur de la bouée vaut exactement $4$ mètres.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{ı},\vec{ȷ})$, le cercle trigonométrique est gradué régulièrement de $\frac{\pi }{4}$ en $\frac{\pi }{4}$ à partir du point $I(1;0)$.Sur la figure, le point $A$ est dans le deuxième quadrant, $B$ dans le troisième, $C$ est sur l'axe des ordonnées en dessous de $O$ et $D$ est dans le quatrième quadrant, entre $C$ et $I$.

1. Donner, pour chacun des points $A$, $B$, $C$ et $D$, le nombre réel de l'intervalle $[0;2\pi ]$ qui lui est associé.
2. Donner, pour chacun de ces points, le nombre réel de l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ qui lui est associé.
3. Que remarque-t-on pour les nombres associés à $A$ et à $D$ dans $[0;2\pi ]$ ? Que peut-on en déduire pour les points $A$ et $D$ ?

Le cercle trigonométrique ci-dessous est gradué régulièrement de $\frac{\pi }{6}$ en $\frac{\pi }{6}$ à partir du point $I(1;0)$ ; le point $J$ a pour coordonnées $(0;1)$.Sur la figure, $A$ est dans le deuxième quadrant et à une graduation de la demi-droite négative de l'axe des abscisses ; $B$ est dans le troisième quadrant ; $C$ et $D$ sont dans le quatrième quadrant, $D$ étant le point le plus proche de $I$.

1. Lire le nombre réel de l'intervalle $[0;2\pi ]$ associé à chacun des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. Lire le nombre réel de l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ associé à chacun de ces points.
3. Samir affirme que le point $B$ est associé à $\frac{4\pi }{3}$ et Inès affirme qu'il est associé à $-\frac{2\pi }{3}$. Ont-ils raison ? Expliquer.

Un cadran d'horloge est assimilé au cercle trigonométrique : le point $I(1;0)$ correspond à $3$ h, le point $J(0;1)$ à $12$ h, et les $12$ graduations des heures sont régulièrement espacées de $\frac{\pi }{6}$. Les aiguilles tournent dans le sens des aiguilles d'une montre, qui est le sens indirect du cercle trigonométrique.Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont les graduations de $2$ h, $7$ h, $10$ h et $11$ h.

1. En comptant les graduations à partir de $I$, donner le nombre réel de l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ associé à chacun des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
2. Donner le nombre réel de l'intervalle $[0;2\pi ]$ associé à chacun de ces points.
3. Donner, pour $B$ et $C$ seulement, le nombre réel de l'intervalle $[-2\pi ;0]$ qui leur est associé.