Exercices de Fonctions trigonométriques, Première (page 2)

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $[0;2\pi [$.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer la bonne réponse, sans justifier.

1) La valeur exacte de $\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)$ est :
a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ c) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ d) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Le réel $\frac{13\pi }{4}$ a la même image sur le cercle trigonométrique que :
a) $\frac{\pi }{4}$ b) $\frac{5\pi }{4}$ c) $-\frac{\pi }{4}$ d) $\frac{3\pi }{4}$

3) Sur l'intervalle $\left]\frac{\pi }{2};\pi \right[$, le signe de $\cos (x)$ est :
a) toujours positif b) toujours négatif c) variable selon $x$ d) toujours nul
4) L'ensemble des solutions de $\cos (x)=0$ sur $[0;2\pi [$ est :
a) $\left\{\frac{\pi }{2}\right\}$ b) $\left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right\}$ c) $\{0;\pi \}$ d) $\{\pi \}$

5) La fonction cosinus est :
a) paire b) impaire c) ni paire ni impaire d) à la fois paire et impaire
6) La plus petite période positive de la fonction $x\mapsto \sin (2x)$ est :
a) $2\pi$ b) $\pi$ c) $\frac{\pi }{2}$ d) $4\pi$

a) Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (x)-\sin (3x)$ est impaire.

b) On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sin (x)+\cos (2x)$. Montrer que $h$ n'est ni paire ni impaire.

On dispose de la représentation graphique d'une fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$, connue uniquement sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. On sait par ailleurs que $g$ est impaire et périodique de période $\pi$.

a) Expliquer comment construire, à partir du morceau de courbe connu sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, la portion de courbe de $g$ sur $\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$.

b) En déduire comment construire la portion de courbe de $g$ sur $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$.

Calculer les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{31\pi }{4}\right)$ et $\sin \left(\frac{31\pi }{4}\right)$.

a) Comparer, sans calculatrice, $\cos \left(\frac{5\pi }{7}\right)$ et $\cos \left(\frac{3\pi }{5}\right)$.

b) Comparer, sans calculatrice, $\sin \left(-\frac{4\pi }{9}\right)$ et $\sin \left(-\frac{\pi }{5}\right)$.

Résoudre dans $\left[-4\pi ;2\pi \right[$ l'équation $\cos (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $[0;2\pi [$.

a) Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\sin (x)\ge -\frac{1}{2}$.

b) Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\cos (x)\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

On considère la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=\cos (4x)$.

a) Démontrer que $k$ est périodique de période $\frac{\pi }{2}$, c'est-à-dire que $k\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=k(x)$ pour tout réel $x$.

b) Un élève affirme que $\frac{\pi }{4}$ est également une période de $k$. A-t-il raison ? Justifier en s'appuyant sur un exemple précis.

c) On considère la fonction $m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=\sin \left(\frac{x}{3}\right)$. Déterminer la période de $m$.

Résoudre dans $[0;2\pi [$ chacune des inéquations suivantes, en étant vigilant sur les valeurs que peuvent réellement prendre $\cos (x)$ et $\sin (x)$ :

a) $\sin (x)\ge 5$

b) $\cos (x)\le -10$

c) $\sin (x)\ge -3$

On considère l'expression, définie pour tout réel $x$ :$$F(x)=2\cos (-x)-\cos (\pi +x)+\cos (\pi -x)$$a) Montrer que, pour tout réel $x$, $F(x)=2\cos (x)$.

b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $F(x)=\sqrt{3}$ sur l'intervalle $[0;2\pi [$.

Dans un petit port, la marée est semi-diurne : elle effectue un cycle complet toutes les $12$ heures. On modélise la profondeur d'eau $h(t)$, en mètres, à l'entrée du port, en fonction du temps $t$ (en heures) écoulé depuis minuit, par :$$h(t)=6-3\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)$$On admet que $t=0$ correspond à un instant de marée basse.

a) Vérifier que $h(0)$ correspond bien à une profondeur de $3$ m. Déterminer la profondeur maximale atteinte par l'eau, ainsi que le premier instant $t>0$ auquel cette profondeur maximale est atteinte.

b) Un bateau ne peut entrer dans le port que lorsque la profondeur d'eau est supérieure ou égale à $7,5$ m. Déterminer, au cours d'un cycle de marée de $12$ heures, la durée totale pendant laquelle le bateau peut entrer dans le port.

On considère les réels suivants, chacun étant la mesure d'un point image sur le cercle trigonométrique :$$x_1=-\frac{5\pi }{6};x_2=\frac{3\pi }{4};x_3=-\frac{11\pi }{6};x_4=\frac{9\pi }{2}$$Pour chacun de ces réels, indiquer dans quel quadrant du cercle trigonométrique se situe son point image (préciser si le point se situe sur l'un des axes), en justifiant à l'aide de l'enroulement de la droite réelle sur le cercle.

1) Convertir en radians, sous forme de fraction de $\pi$ la plus simple possible :

a) $50^{\circ }$

b) $240^{\circ }$

2) Convertir en degrés :
a) $\frac{7\pi }{6}$ radians

b) $\frac{3\pi }{10}$ radians

Donner, sans justification, la valeur exacte de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$ pour chacune des valeurs remarquables suivantes :$$x=0;x=\frac{\pi }{6};x=\frac{\pi }{4};x=\frac{\pi }{3};x=\frac{\pi }{2};x=\pi$$Vérifier ensuite, pour $x=\frac{\pi }{4}$, que l'égalité ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$ est bien satisfaite.

Un élève a proposé les égalités suivantes, censées être valables pour tout réel $x$. Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse ; si elle est fausse, donner la formule correcte.

a) $\cos (-x)=-\cos (x)$

b) $\sin (\pi -x)=\sin (x)$

c) $\cos (\pi +x)=\cos (x)$

d) $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\sin (x)$

e) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin (x)$

On donne la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. On observe les propriétés suivantes :

- la courbe passe par le point de coordonnées $(0;-3)$ ;
- la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;
- le morceau de courbe observé sur l'intervalle $[0;2\pi ]$ se retrouve à l'identique sur $[2\pi ;4\pi ]$, sur $[-2\pi ;0]$, et ainsi de suite dans les deux sens.

En justifiant à partir de ces seules observations graphiques, déterminer si $f$ est paire ou impaire, puis donner une période de $f$.

Donner la mesure principale de chacun des réels suivants :

a) $x=\frac{55\pi }{8}$

b) $y=-\frac{37\pi }{10}$

Le réel $x_0=\frac{4\pi }{3}$ est associé à un point $M$ du cercle trigonométrique.

a) Donner, sous forme de fractions de $\pi$, trois autres réels associés au point $M$.

b) Le réel $\frac{4\pi }{3}-9\pi$ est-il associé au point $M$ ? Justifier.

Les réels $x=\frac{9\pi }{4}$ et $y=\frac{\pi }{3}$ sont-ils associés au même point du cercle trigonométrique ? Justifier.

Un cercle a pour rayon $r=5$ cm.

a) Un arc de ce cercle correspond à un angle au centre de $\frac{7\pi }{10}$ radians. Calculer la longueur de cet arc.

b) Un autre arc de ce même cercle a une longueur de $4\pi$ cm. Calculer la mesure, en radians, de l'angle au centre correspondant.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le point $M$ du cercle trigonométrique tel que l'angle orienté associé à $M$ mesure $\frac{\pi }{6}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses.

a) Dans le triangle rectangle $OHM$, exprimer $\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$ et $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$ comme rapports de longueurs, en utilisant la définition vue au collège (sachant que $OM=1$).

b) Calculer les longueurs $OH$ et $HM$.

c) Vérifier que ces valeurs coïncident avec les coordonnées du point $M$, lues directement sur le cercle trigonométrique.

Calculer, sans utiliser la calculatrice, les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{7\pi }{6}\right)$ et $\sin \left(\frac{7\pi }{6}\right)$, en les ramenant à des angles remarquables à l'aide des formules des angles associés.

Calculer ensuite, de la même manière, les valeurs exactes de $\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)$ et $\sin \left(-\frac{3\pi }{4}\right)$.

a) On donne $\sin (x)=\frac{8}{17}$, avec $x\in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$. Calculer $\cos (x)$.

b) On donne $\cos (y)=-\frac{7}{25}$, avec $y\in \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$. Calculer $\sin (y)$.

Sans calculer aucune valeur, déterminer le signe de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$ pour $x\in \left]\frac{\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right[$, en précisant les quadrants traversés par le point image de $x$ lorsqu'il parcourt cet intervalle.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $[0;2\pi [$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin (x)=-\frac{1}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $]-\pi ;\pi ]$.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer la bonne réponse, sans justifier.

1) La valeur exacte de $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$ est :
a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $-\frac{1}{2}$

2) Le réel $-\frac{7\pi }{4}$ a la même image sur le cercle trigonométrique que :
a) $\frac{\pi }{4}$ b) $-\frac{\pi }{4}$ c) $\frac{3\pi }{4}$ d) $\frac{7\pi }{4}$

3) Sur l'intervalle $\left]\pi ;\frac{3\pi }{2}\right[$, le signe de $\sin (x)$ est :
a) toujours positif b) toujours négatif c) variable selon $x$ d) toujours nul
4) L'ensemble des solutions de $\sin (x)=1$ sur $[0;2\pi [$ est :
a) $\left\{\frac{\pi }{2}\right\}$ b) $\left\{\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right\}$ c) $\{0\}$ d) $\varnothing$

5) La fonction sinus est :
a) paire b) impaire c) ni paire ni impaire d) à la fois paire et impaire
6) La plus petite période positive de la fonction $x\mapsto \cos (3x)$ est :
a) $2\pi$ b) $\frac{2\pi }{3}$ c) $\frac{\pi }{3}$ d) $6\pi$

a) Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (2x)-\cos (x)$ est paire.

b) On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sin (2x)-\cos (x)$. Montrer que $h$ n'est ni paire ni impaire.

On dispose de la représentation graphique d'une fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$, connue uniquement sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. On sait par ailleurs que $g$ est paire et périodique de période $\pi$.

a) Expliquer comment construire, à partir du morceau de courbe connu sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, la portion de courbe de $g$ sur $\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$.

b) En déduire comment construire la portion de courbe de $g$ sur $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$.

Calculer les valeurs exactes de $\cos \left(\frac{53\pi }{6}\right)$ et $\sin \left(\frac{53\pi }{6}\right)$.

a) Comparer, sans calculatrice, $\cos \left(\frac{5\pi }{9}\right)$ et $\cos \left(\frac{7\pi }{12}\right)$.

b) Comparer, sans calculatrice, $\sin \left(-\frac{3\pi }{8}\right)$ et $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$.

Résoudre dans $\left[-2\pi ;4\pi \right[$ l'équation $\sin (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$, puis donner l'ensemble des solutions appartenant à $[0;2\pi [$.

a) Résoudre dans $[0;2\pi [$ l'inéquation $\sin (x)\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Résoudre dans $[0;2\pi [$ l'inéquation $\cos (x)\le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

On considère la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=\cos (5x)$.

a) Démontrer que $p$ est périodique de période $\frac{2\pi }{5}$, c'est-à-dire que $p\left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=p(x)$ pour tout réel $x$.

b) Un élève affirme que $\frac{\pi }{5}$ est également une période de $p$. A-t-il raison ? Justifier en s'appuyant sur un exemple précis.

c) On considère la fonction $q$ définie sur $\mathbb{R}$ par $q(x)=\sin \left(\frac{x}{4}\right)$. Déterminer la période de $q$.

Résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$ chacune des inéquations suivantes, en étant vigilant sur les valeurs que peuvent réellement prendre $\cos (x)$ et $\sin (x)$ :

a) $\sin (x)\le -2$

b) $\cos (x)\ge 7$

c) $\cos (x)\ge -8$

On considère l'expression, définie pour tout réel $x$ :$$G(x)=\sin (\pi -x)+\sin (-x)+2\sin (\pi +x)$$a) Montrer que, pour tout réel $x$, $G(x)=-2\sin (x)$.

b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $G(x)=-\sqrt{3}$ sur l'intervalle $[0;2\pi [$.