Exercices de Généralités sur les suites, Première

Étudier le sens de variation des suites suivantes :

1. $u_n=3n-5$ (pour $n\ge 0$)
2. $v_n=\frac{1}{n+1}$ (pour $n\ge 0$)
3. $w_n=(-1{)}^n$ (pour $n\ge 0$)
4. $a_n=n^2-3n$ (pour $n\ge 2$) — méthode par différence

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\frac{n+1}{n+2}$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_5$, $u_{10}$. Que semble être la limite de cette suite ?
2. On cherche à partir de quel rang $u_n>0,99$. Résoudre l'inéquation $\frac{n+1}{n+2}>0,99$.
3. Quelle est la valeur minimale de $n$ à partir de laquelle $u_n>0,99$ pour tout $n$ au-delà de ce rang ?

On dilue progressivement une solution en ajoutant de l'eau distillée par étapes successives. La concentration en sel de la solution, exprimée en g/L, après $n$ étapes de dilution, est modélisée par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{100}{n+2}$$1. Calculer $u_0$, la concentration avant toute dilution.
2. Calculer $u_3$ et $u_8$.
3. Déterminer le nombre d'étapes de dilution nécessaires pour que la concentration atteigne exactement $5$ g/L, c'est-à-dire résoudre $u_n=5$.

Un patient reçoit une dose initiale de $48$ mg d'un médicament. Chaque jour, l'organisme élimine une grande partie du médicament présent, si bien qu'il n'en reste que le tiers de la quantité de la veille ; à cette quantité restante s'ajoute alors une nouvelle prise quotidienne fixe de $4$ mg.

On note $u_n$ la quantité de médicament, en mg, présente dans l'organisme le jour $n$, avec $u_0=48$.

1. Justifier que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{3}+4$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième si nécessaire).

On considère les quatre suites suivantes, présentées de façons différentes.

a) La suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $v_n=4n^2-3$.

b) La suite $(w_n)$ définie par $w_0=7$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $w_{n+1}=5-w_n$.

c) La suite $(t_n)$ construite ainsi : $t_0=3$, et chaque terme suivant s'obtient en doublant le terme précédent, puis en lui retranchant $4$.

d) La suite $(p_n)$ obtenue par l'algorithme suivant, où $p_n$ désigne la valeur de la variable p à la fin du $n$-ième passage dans la boucle :

$p\leftarrow 1$
Pour $k$ allant de $0$ à $5$ :
$p\leftarrow p\times (k+1)$

1. Pour chacune des quatre suites, préciser son mode de génération (expression explicite $u_n=f(n)$, relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, ou algorithme).
2. Pour la suite $(t_n)$, écrire la relation de récurrence sous forme symbolique.

Un musée relève chaque semaine le nombre de visiteurs venus voir une exposition temporaire. On note $u_n$ le nombre de visiteurs reçus lors de la semaine $n$ (la semaine $0$ correspondant à la semaine d'ouverture). Voici les valeurs relevées :$$\begin{array}{cccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ u_n& 240& 310& 295& 350& 410& 380& 425\end{array}$$1. Donner la valeur de $u_4$. Que représente ce nombre concrètement ?
2. Lors de quelle semaine le musée a-t-il reçu exactement $295$ visiteurs ?
3. Calculer la différence $u_6-u_0$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exposition.

Pour une exposition, un artisan empile des cageots en bois selon la règle suivante.

Au rang $1$, il installe une seule pile de $3$ cageots posée au sol.

À chaque rang suivant, il ajoute, à côté de l'ensemble déjà construit, une nouvelle pile identique de $3$ cageots, puis il pose $1$ cageot supplémentaire par-dessus, à cheval sur les deux piles voisines, afin de stabiliser l'ensemble.

On note $u_n$ le nombre total de cageots utilisés pour construire l'installation au rang $n$.

1. Justifier que $u_1=3$ puis que $u_2=7$.
2. En appliquant la même règle de construction, calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

Une chaîne de vidéos en ligne suit le nombre de nouveaux abonnés gagnés chaque semaine. On note $u_n$ ce nombre lors de la semaine $n$ (les semaines sont numérotées à partir de $1$).

Les deux premières semaines, la chaîne gagne respectivement $u_1=40$ puis $u_2=25$ nouveaux abonnés. On observe ensuite qu'à partir de la semaine $3$, le nombre de nouveaux abonnés d'une semaine donnée est toujours égal à la somme des nombres de nouveaux abonnés des deux semaines précédentes, diminuée de $1$ (effet de saturation progressive de l'audience).

1. Écrire, pour tout entier $n\ge 3$, la relation reliant $u_n$ à $u_{n-1}$ et $u_{n-2}$.
2. Calculer $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.

Une bibliothèque municipale possède $1200$ livres. Chaque année, la bibliothécaire retire $5\%$ des livres jugés trop abîmés ou obsolètes, puis achète $80$ nouveaux livres pour compléter les rayonnages.

On note $u_n$ le nombre de livres présents dans la bibliothèque au bout de $n$ années, avec $u_0=1200$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
2. Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondir à l'unité).

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=n^2-6n+10$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.
2. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et le réduire à sa forme la plus simple.
3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ ; on précisera notamment si la suite est monotone sur tout $\mathbb{N}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{n+2}{3^n}$$1. Justifier que $u_n>0$ pour tout entier $n\ge 0$.
2. Calculer et simplifier le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
3. Comparer ce quotient à $1$, et en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Dans une administration, on estime que le temps d'attente moyen à un guichet, en minutes, dépend du nombre de guichets supplémentaires ouverts. On modélise ce temps d'attente par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :$$f(x)=\frac{20}{x+2}$$et $n$ désigne le nombre de guichets supplémentaires ouverts par rapport à la situation initiale.

1. Rappeler le sens de variation de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.
3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=3u_n-2$.

Pour calculer certains termes de cette suite, on utilise l'algorithme suivant :

u $\leftarrow$ 5
Pour i allant de 0 à 3 :
u $\leftarrow$ 3 * u - 2
Afficher u

1. Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. Combien de fois l'instruction contenue dans la boucle est-elle exécutée ? À quel terme de la suite correspond la valeur de u affichée après l'exécution complète du programme ?
3. En déduire la valeur de u à la fin de l'exécution du programme.

On considère la fonction $f$ affine définie sur $[0;12]$ par $f(x)=-0,5x+9$, et la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ de $0$ à $12$ par $u_n=f(n)$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Expliquer comment, à partir de la courbe (ici une droite) représentant $f$ dans un repère, on peut obtenir le point représentant $u_n$ pour un entier $n$ donné, sans avoir à recalculer $f(n)$.
3. Sur le graphique de $f$, la droite horizontale d'équation $y=5$ coupe la droite représentant $f$ en un point d'abscisse entière. Déterminer par le calcul le rang $n$ correspondant, c'est-à-dire résoudre $u_n=5$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$.

Un tableur a permis de calculer les valeurs suivantes, arrondies au millième :$$\begin{array}{ccccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ u_n& 1& 3,5& 4,75& 5,375& 5,688& 5,844& 5,922& 5,961\end{array}$$1. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ à partir de ce tableau ?
2. Que peut-on conjecturer sur son comportement lorsque $n$ devient grand ? Vers quelle valeur les termes semblent-ils se rapprocher ?
3. Aucun calcul supplémentaire n'est demandé : cette conjecture est-elle, à ce stade, démontrée ? Justifier brièvement.

On modélise de façon simplifiée la température $u_n$, en degrés Celsius, d'un objet qui refroidit, au bout de $n$ minutes, par la suite définie par $u_0=16$ et, pour tout entier $n\ge 0$ :$$u_{n+1}=\sqrt{u_n}+1$$On souhaite représenter graphiquement cette suite à l'aide de la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}+1$ et de la droite d'équation $y=x$, tracées dans un même repère.

1. Décrire la construction géométrique (méthode de la « toile d'araignée ») permettant d'obtenir successivement les points d'abscisse $u_1$, puis $u_2$, à partir du point d'abscisse $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. Calculer par le calcul les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième), pour vérifier la cohérence avec la construction graphique.
3. En observant l'évolution des valeurs obtenues, conjecturer si la suite semble se stabiliser vers une valeur particulière, sans chercher à le démontrer.

Une association compte $40$ adhérents. Chaque année, elle gagne $12$ nouveaux adhérents, mais perd aussi $10\%$ de ses adhérents existants (adhérents non renouvelés). On note $u_n$ le nombre d'adhérents au bout de $n$ années, avec $u_0=40$.

1. Justifier que $u_{n+1}=0,9u_n+12$.
2. Le responsable de l'association souhaite savoir à partir de quelle année le nombre d'adhérents dépassera $100$. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il réponde à cette question :

u $\leftarrow$ 40
n $\leftarrow$ 0
Tant que u < 100 :
u $\leftarrow$ ...
n $\leftarrow$ n + 1
Afficher n

3. Déterminer, en calculant les termes nécessaires, la valeur affichée par cet algorithme.

Un patient prend, chaque jour, une dose de $50$ mg d'un médicament. Entre deux prises, l'organisme élimine $30\%$ de la quantité présente dans le sang. On note $u_n$ la quantité de médicament, en mg, présente dans le sang juste après la prise du jour $n$, avec $u_0=50$ mg (première prise).

1. Justifier que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,7u_n+50$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième).
3. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$, et montrer que la suite est croissante tant que $u_n<\frac{500}{3}$.
4. Sachant que $u_0<\frac{500}{3}$, et en observant que les termes calculés restent inférieurs à cette valeur, conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand.

Deux clubs de sport recrutent de nouveaux adhérents chaque mois.

Le club A compte $150$ adhérents au mois $0$, et en gagne $8$ nouveaux chaque mois : on note $a_n$ le nombre d'adhérents du club A au mois $n$, avec $a_n=150+8n$.

Le club B compte $90$ adhérents au mois $0$. Chaque mois, il gagne $10\%$ d'adhérents supplémentaires par rapport au mois précédent (grâce au bouche-à-oreille), auxquels s'ajoutent $2$ nouveaux adhérents recrutés par une campagne d'affichage : on note $b_n$ le nombre d'adhérents du club B au mois $n$, avec $b_0=90$ et $b_{n+1}=1,1b_n+2$.

1. Calculer $a_7$ et $a_8$.
2. Calculer $b_7$ et $b_8$ (arrondir au centième).
3. Comparer $a_7$ et $b_7$, puis $a_8$ et $b_8$. En déduire à partir de quel mois le club B dépasse le club A.
4. Pourquoi ne peut-on pas se contenter de constater un dépassement à un seul rang pour être certain qu'il se maintient ensuite ? On admettra ici, sans le démontrer, que l'écart entre les deux suites continue de croître au-delà du mois $8$.

On modélise le score moyen, en points, obtenu par un athlète à un exercice d'entraînement, après $n$ séances, par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{2n+1}{n+3}$$1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. L'expression de $u_n$ étant un quotient, on pourrait être tenté d'étudier directement le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Expliquer pourquoi calculer plutôt la différence $u_{n+1}-u_n$ est ici une meilleure stratégie.
3. Calculer $u_{n+1}-u_n$, en réduisant complètement l'expression obtenue au même dénominateur, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Un programme informatique simule le nombre de connexions à un serveur à l'aide de deux compteurs u et v qui évoluent ensemble, selon le code suivant :

u $\leftarrow$ 2
v $\leftarrow$ 3
Pour i allant de 0 à 4 :
w $\leftarrow$ u + v
u $\leftarrow$ v
v $\leftarrow$ w

1. Exécuter ce programme « à la main » en construisant un tableau donnant les valeurs de u, v et w à la fin de chaque passage dans la boucle (pour i allant de $0$ à $4$).
2. Que se passerait-il si, dans le code, la ligne « u $\leftarrow$ v » était placée après la ligne « v $\leftarrow$ w » au lieu d'être placée avant ? Expliquer précisément pourquoi l'ordre des deux affectations est essentiel ici.
3. Montrer que les valeurs successives de u forment les premiers termes d'une suite $(u_n)$ vérifiant, pour tout $n$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$, avec $u_0=2$ et $u_1=3$.

Une chaîne en ligne compte $20$ abonnés au mois $0$. Chaque mois, elle perd $20\%$ de ses abonnés (désabonnements) mais en gagne $30$ nouveaux grâce à la publication régulière de contenus. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au mois $n$, avec $u_0=20$ et, pour tout $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,8u_n+30$.

Voici quelques termes de cette suite, arrondis au centième :$$\begin{array}{cccccccc}n& 0& 1& 2& 4& 6& 8& 10\\ u_n& 20& 46& 66,8& 96,75& 115,92& 128,19& 136,04\end{array}$$1. Vérifier par le calcul les valeurs de $u_1$ et $u_2$ données dans le tableau.
2. En observant l'évolution des valeurs du tableau, semble-t-il, d'après ces données, que le nombre d'abonnés puisse un jour dépasser $150$ ? Justifier la réponse uniquement à partir des valeurs observées, sans chercher à le démontrer.
3. La chaîne pourrait-elle affirmer, à partir de ce seul tableau, qu'elle est certaine que le nombre d'abonnés ne dépassera jamais $150$, quel que soit le nombre de mois écoulés ? Expliquer la nuance entre observation et preuve.

Une plateforme de covoiturage a enregistré $300$ trajets réservés lors de la semaine $0$. Chaque semaine, le nombre de trajets réservés augmente de $8\%$ par rapport à la semaine précédente, grâce à une popularité croissante de la plateforme ; cependant, chaque semaine, $15$ trajets sont systématiquement annulés pour cause de maintenance du site, ce qui réduit d'autant le nombre de trajets finalement comptabilisés.

La direction de la plateforme souhaite ouvrir un service dans une nouvelle ville dès que le nombre de trajets hebdomadaires atteindra $1000$.

Modéliser cette situation à l'aide d'une suite, étudier son évolution, et déterminer à partir de quelle semaine l'objectif de $1000$ trajets sera atteint. Aucune sous-question n'est fournie : vous organiserez votre réponse en identifiant vous-même les étapes nécessaires.

On étudie la quantité $u_n$, en mg, d'un traceur présent dans un organisme au bout de $n$ heures, définie par $u_0=200$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1$.

Écrire, entièrement par vous-même (sans structure de code fournie), un algorithme qui calcule et affiche le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n<5$. Vous prévoirez une sécurité qui interrompt le programme si le seuil n'est jamais atteint avant un grand nombre d'itérations. Vous donnerez ensuite la valeur de ce rang, obtenue en calculant les termes nécessaires.

On modélise le nombre de personnes présentes dans une salle de concert, $n$ heures après l'ouverture des portes, par la suite $(u_n)$ (exprimée en centaines de personnes) définie pour $0\le n\le 10$ par :$$u_n=-n^2+10n$$Un camarade calcule les quatre premiers termes de cette suite, trouve $u_0=0$, $u_1=9$, $u_2=16$ et $u_3=21$, et en conclut : « la suite $(u_n)$ est croissante pour toutes les valeurs de $n$ considérées, puisqu'elle augmente à chaque fois que je calcule un nouveau terme ».

1. Vérifier les valeurs de $u_0$ à $u_3$ trouvées par le camarade.
2. Calculer $u_4$, $u_5$ et $u_6$.
3. La conjecture du camarade est-elle correcte ? Si ce n'est pas le cas, exposer précisément, à l'aide d'un contre-exemple chiffré, l'endroit où son raisonnement est mis en défaut.

Deux réservoirs d'eau, notés A et B, sont reliés par un tuyau. Chaque heure, $10\%$ du contenu du réservoir A (mesuré au début de l'heure) est transvasé vers B, et simultanément $5\%$ du contenu du réservoir B (mesuré lui aussi au début de l'heure) est transvasé vers A. On note $a_n$ et $b_n$ les quantités d'eau, en litres, contenues respectivement dans les réservoirs A et B au bout de $n$ heures, avec $a_0=800$ et $b_0=200$.

1. En précisant bien que les transferts se basent tous deux sur les quantités présentes au début de l'heure (et non sur des quantités déjà mises à jour), établir les relations exprimant $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
2. Calculer $a_1$, $b_1$, $a_2$ et $b_2$.
3. Calculer $a_n+b_n$ pour $n=0,1,2$. Que peut-on conjecturer sur cette somme, et pourquoi cela semble-t-il cohérent avec la situation physique décrite ?
4. En observant l'évolution de $a_n$ et $b_n$ sur les premiers termes, conjecturer, sans démonstration, le comportement des deux suites lorsque $n$ devient grand.

Dans un jeu vidéo, un joueur reçoit un score bonus à chaque niveau franchi. Ce score bonus cumulé, après $n$ niveaux terminés, est modélisé par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=2n^2+3$$1. Calculer $u_0$, le score bonus avant d'avoir terminé aucun niveau.
2. Calculer $u_2$ et $u_5$.
3. Un joueur affiche un score bonus de $53$ points. Déterminer le nombre de niveaux $n$ qu'il a terminés, c'est-à-dire résoudre $u_n=53$.

Un camping-car dispose d'une réserve de gaz de $20$ litres au départ d'un voyage. Chaque jour, les occupants consomment un quart de la quantité de gaz restante, puis ils complètent la réserve en installant un appoint fixe de $2$ litres provenant d'un bidon de secours.

On note $u_n$ la quantité de gaz, en litres, disponible le jour $n$, avec $u_0=20$.

1. Justifier que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,75u_n+2$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième si nécessaire).

On considère les quatre suites suivantes, présentées de façons différentes.

a) La suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $v_n=5n-9$.

b) La suite $(w_n)$ définie par $w_0=6$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $w_{n+1}=7-2w_n$.

c) La suite $(t_n)$ construite ainsi : $t_0=40$, et chaque terme suivant s'obtient en divisant le terme précédent par $2$, puis en ajoutant $6$.

d) La suite $(p_n)$ obtenue par le programme Python suivant, où $p_n$ désigne la valeur de la variable p à la fin du $n$-ième passage dans la boucle :

p $\leftarrow$ 1
Pour k allant de 1 à n :
p $\leftarrow$ p $\times$ (2k)

1. Pour chacune des quatre suites, préciser son mode de génération (expression explicite $u_n=f(n)$, relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, ou algorithme).
2. Pour la suite $(t_n)$, écrire la relation de récurrence sous forme symbolique.

Lors d'une course cycliste à étapes, on relève la vitesse moyenne du peloton à chaque étape. On note $u_n$ cette vitesse moyenne, en km/h, lors de l'étape $n$ (l'étape $0$ correspondant au prologue). Voici les valeurs relevées :$$\begin{array}{cccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ u_n& 28& 31& 29& 33& 35& 32& 36\end{array}$$1. Donner la valeur de $u_4$. Que représente ce nombre concrètement ?
2. Lors de quelle étape la vitesse moyenne a-t-elle été exactement de $29$ km/h ?
3. Calculer la différence $u_6-u_0$ et interpréter le résultat dans le contexte de la course.

Pour un concert en plein air, une entreprise d'événementiel installe des gradins de chaises en arc de cercle selon la règle suivante.

Au rang $1$, elle installe un seul arc de $8$ chaises.

À chaque rang suivant, elle ajoute, derrière l'ensemble déjà installé, un nouvel arc identique de $8$ chaises, puis elle ajoute $2$ chaises supplémentaires aux extrémités pour relier les arcs voisins entre eux.

On note $u_n$ le nombre total de chaises installées au rang $n$.

1. Justifier que $u_1=8$ puis que $u_2=18$.
2. En appliquant la même règle de construction, calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

On modélise l'altitude d'une fusée-modèle, en mètres, par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=300$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=1,2u_n-50$.

Pour calculer certains termes de cette suite, on utilise l'algorithme suivant :

u $\leftarrow$ 300
Pour i allant de 0 à 3 :
u $\leftarrow$ ...
Afficher u

1. Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. Recopier et compléter la ligne manquante du programme, qui doit mettre à jour la variable u selon la relation de récurrence.
3. Combien de fois l'instruction contenue dans la boucle est-elle exécutée ? À quel terme de la suite correspond la valeur de u affichée après l'exécution complète du programme ?

Un artisan chocolatier note chaque jour le nombre de pralines produites. On note $u_n$ ce nombre lors du jour $n$ (les jours sont numérotés à partir de $1$).

Les deux premiers jours, la chocolaterie produit respectivement $u_1=15$ puis $u_2=20$ pralines. On observe ensuite qu'à partir du jour $3$, le nombre de pralines produites un jour donné est toujours égal à la somme des nombres de pralines des deux jours précédents, diminuée de $3$ (quelques pralines étant systématiquement cassées lors du démoulage).

1. Écrire, pour tout entier $n\ge 3$, la relation reliant $u_n$ à $u_{n-1}$ et $u_{n-2}$.
2. Calculer $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.

Un compte d'épargne destiné à financer un projet contient initialement $500$ €. Chaque mois, la banque prélève des frais de gestion égaux à $0,5\%$ du solde existant (calculés avant tout versement), puis le titulaire du compte y ajoute un versement fixe de $60$ €.

On note $u_n$ le solde du compte, en euros, au bout de $n$ mois, avec $u_0=500$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
2. Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondir au centime).

On modélise un indice de pollen, sans unité, par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=n^2-8n+20$, où $n$ désigne le nombre de jours écoulés après le pic pollinique.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$, $u_6$, $u_7$ et $u_8$.
2. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et le réduire à sa forme la plus simple.
3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ ; on précisera notamment si la suite est monotone sur tout $\mathbb{N}$.

On modélise l'intensité résiduelle d'un signal radio après $n$ relais successifs, en unités arbitraires, par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{n+3}{5^n}$$1. Justifier que $u_n>0$ pour tout entier $n\ge 0$.
2. Calculer et simplifier le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
3. Comparer ce quotient à $1$, et en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

On modélise la hauteur, en centimètres, d'une jeune plante exposée à une lumière artificielle supplémentaire, par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :$$f(x)=\sqrt{x+4}$$et $n$ désigne le nombre de semaines d'exposition supplémentaire.

1. Rappeler le sens de variation de la fonction racine carrée sur $[0;+\infty [$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.
3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

On considère la fonction $f$ affine définie sur $[0;12]$ par $f(x)=-0,8x+11$, et la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ de $0$ à $12$ par $u_n=f(n)$, où $u_n$ représente le niveau de luminosité mesuré par un capteur, $n$ heures après le lever du jour.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Expliquer comment, à partir de la droite représentant $f$ dans un repère, on peut obtenir le point représentant $u_n$ pour un entier $n$ donné, sans avoir à recalculer $f(n)$.
3. Déterminer par le calcul le rang $n$ pour lequel $u_n=3$, c'est-à-dire résoudre $u_n=3$.

On modélise de façon simplifiée la profondeur $u_n$, en mètres, atteinte par un plongeur qui remonte par paliers successifs, au bout de $n$ paliers, par la suite définie par $u_0=30$ et, pour tout entier $n\ge 0$ :$$u_{n+1}=0,6u_n+4$$On souhaite représenter graphiquement cette suite à l'aide de la droite d'équation $y=0,6x+4$ et de la droite d'équation $y=x$, tracées dans un même repère.

1. Décrire la construction géométrique (méthode de la « toile d'araignée ») permettant d'obtenir successivement les points d'abscisse $u_1$, puis $u_2$, à partir du point d'abscisse $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. Calculer par le calcul les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième), pour vérifier la cohérence avec la construction graphique.