Exercices de Généralités sur les suites, Première (page 2)

Un compte d'épargne contient $500$ € au départ. Chaque année, il rapporte des intérêts égaux à $2\%$ du capital existant, et son titulaire y ajoute un versement fixe de $100$ €. On note $u_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années, avec $u_0=500$.

1. Justifier que $u_{n+1}=1,02u_n+100$.
2. Le titulaire du compte souhaite savoir à partir de quelle année le capital dépassera $5000$ €. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il réponde à cette question :

u $\leftarrow$ 500
n $\leftarrow$ 0
Tant que u < 5000 :
u $\leftarrow$ ...
n $\leftarrow$ n+1
Afficher n

3. Déterminer, en calculant les termes nécessaires, la valeur affichée par cet algorithme.

Un aquarium contient initialement une quantité de polluants dissous évaluée à $40$ unités. Chaque jour, un filtre élimine $25\%$ des polluants présents, mais un appareil de chauffage rejette, chaque jour également, une quantité fixe de $3$ unités de polluants. On note $u_n$ la quantité de polluants, en unités, présente dans l'aquarium au bout de $n$ jours, avec $u_0=40$.

1. Justifier que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,75u_n+3$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième).
3. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$, et montrer que la suite est décroissante tant que $u_n>12$.
4. Sachant que $u_0>12$, et en observant que les termes calculés restent supérieurs à cette valeur, conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand.

Une salle de sport propose deux formules d'abonnement.

La formule A facture $10$ € de frais fixes d'inscription, puis $3$ € par séance : on note $a_n$ le coût cumulé, en euros, après $n$ séances, avec $a_n=10+3n$.

La formule B débute avec des frais de $5$ €. Chaque séance supplémentaire coûte $10\%$ de plus que la précédente (majoration liée aux heures de forte affluence), et une taxe fixe de $2$ € s'ajoute à chaque fois : on note $b_n$ le coût cumulé, en euros, après $n$ séances, avec $b_0=5$ et $b_{n+1}=1,1b_n+2$.

1. Calculer $a_8$ et $a_9$.
2. Calculer $b_8$ et $b_9$ (arrondir au centième).
3. Comparer $a_8$ et $b_8$, puis $a_9$ et $b_9$. En déduire à partir de quelle séance la formule B devient plus coûteuse que la formule A.
4. Pourquoi ne peut-on pas se contenter de constater ce dépassement à un seul rang pour être certain qu'il se maintient ensuite ? On admettra ici, sans le démontrer, que l'écart entre les deux suites continue de croître au-delà de la séance $9$.

On modélise un indice de satisfaction client, après $n$ interactions avec un service après-vente, par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{3n+2}{n+5}$$1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. L'expression de $u_n$ étant un quotient, on pourrait être tenté d'étudier directement le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Expliquer pourquoi calculer plutôt la différence $u_{n+1}-u_n$ est ici une meilleure stratégie.
3. Calculer $u_{n+1}-u_n$, en réduisant complètement l'expression obtenue au même dénominateur, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Un jeu vidéo de stratégie calcule le nombre de points de ressources d'un joueur à l'aide de deux compteurs x et y qui évoluent ensemble, selon le code suivant :

x $\leftarrow$ 4
y $\leftarrow$ 7
Pour i allant de 0 à 4 :
w $\leftarrow$ 2x+y
x $\leftarrow$ y
y $\leftarrow$ w

1. Exécuter ce programme « à la main » en construisant un tableau donnant les valeurs de w, x et y à la fin de chaque passage dans la boucle (pour i allant de $0$ à $4$).
2. Que se passerait-il si, dans le code, la ligne « x $\leftarrow$ y » était placée après la ligne « y $\leftarrow$ w » au lieu d'être placée avant ? Expliquer précisément pourquoi l'ordre des deux affectations est essentiel ici.
3. On note $u_n$ la valeur de x au début du $n$-ième passage dans la boucle, avec $u_0=4$ et $u_1=7$. Montrer que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$.

Un artisan carreleur réalise une mosaïque carrée en partant d'une unique tuile centrale, puis en ajoutant autour d'elle, rang après rang, des anneaux carrés de tuiles concentriques. La construction est faite de sorte qu'au rang $n$, l'ensemble des tuiles posées forme toujours un carré parfait de côté $(2n-1)$ tuiles (au rang $1$, un carré de côté $1$ tuile ; au rang $2$, un carré de côté $3$ tuiles ; au rang $3$, un carré de côté $5$ tuiles, et ainsi de suite).

On note $u_n$ le nombre total de tuiles utilisées au rang $n$.

1. Justifier que $u_1=1$ et que $u_2=9$.
2. En comptant précisément le nombre de tuiles de l'anneau ajouté entre le rang $n$ et le rang $n+1$ (la différence entre l'aire d'un carré de côté $(2n+1)$ et celle d'un carré de côté $(2n-1)$), établir que, pour tout entier $n\ge 1$ :$$u_{n+1}=u_n+8n$$3. Calculer $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.

Une forêt récemment reboisée capte du dioxyde de carbone au fil des années. On note $u_n$ la quantité de CO2 captée et encore retenue par la forêt, en tonnes, au bout de $n$ années, avec $u_0=0$ et, pour tout $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,85u_n+50$ (chaque année, $85\%$ du CO2 déjà retenu reste stocké, le reste étant relâché, et $50$ tonnes supplémentaires sont captées par la croissance des jeunes arbres).

Voici quelques termes de cette suite, arrondis au dixième :$$\begin{array}{cccccccc}n& 0& 2& 4& 6& 8& 10& 12\\ u_n& 0& 92,5& 159,3& 207,6& 242,5& 267,7& 285,9\end{array}$$1. Vérifier par le calcul les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
2. En observant l'évolution des valeurs du tableau, semble-t-il, d'après ces données, que la quantité de CO2 captée puisse un jour dépasser $335$ tonnes ? Justifier la réponse uniquement à partir des valeurs observées, sans chercher à le démontrer.
3. La forêt pourrait-elle affirmer, à partir de ce seul tableau, qu'elle est certaine que la quantité captée ne dépassera jamais $335$ tonnes, quel que soit le nombre d'années écoulées ? Expliquer la nuance entre observation et preuve.

On modélise la hauteur maximale atteinte par un ballon lors de rebonds successifs (un joueur le relance vers le haut à chaque rebond), en mètres, par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$.

Sur un graphique déjà tracé, on a construit, par la méthode de la toile d'araignée à partir de la droite d'équation $y=0,5x+3$ et de la droite $y=x$, les points successifs correspondant à $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$. On donne les valeurs obtenues :$$u_0=2\text{ ; }{u}_1=4\text{ ; }{u}_2=5\text{ ; }{u}_3=5,5\text{ ; }{u}_4=5,75\text{ ; }{u}_5=5,875$$1. Décrire ce que l'on observe sur la construction obtenue : la suite des points se resserre-t-elle vers une zone particulière du repère, et dans quelle direction évoluent les hauteurs successives ?
2. À partir des seules valeurs numériques fournies, semble-t-il que la hauteur maximale des rebonds puisse un jour dépasser $6$ mètres ?

Une ville dispose d'un parc de $150$ vélos en libre-service. Chaque semaine, l'exploitant du service met en circulation de nouveaux vélos grâce à un partenariat, ce qui augmente le parc de $8\%$ par rapport à la semaine précédente ; dans le même temps, $5$ vélos sont systématiquement retirés chaque semaine pour une maintenance de longue durée.

La mairie souhaite organiser un grand événement sportif dès que le parc disponible atteindra $400$ vélos.

Modéliser cette situation à l'aide d'une suite, étudier son évolution, et déterminer à partir de quelle semaine l'objectif de $400$ vélos sera atteint. Aucune sous-question n'est fournie : vous organiserez votre réponse en identifiant vous-même les étapes nécessaires.

On étudie la température $u_n$, en degrés Celsius, d'une pièce chauffée par un thermostat programmable, au bout de $n$ minutes, définie par $u_0=15$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,9u_n+2,5$.

Écrire, entièrement par vous-même (sans structure de code fournie), un algorithme qui calcule et affiche le plus petit rang $n$ pour lequel $u_n\ge 24$. Vous prévoirez une sécurité qui interrompt le programme si le seuil n'est jamais atteint avant un grand nombre d'itérations. Vous donnerez ensuite la valeur de ce rang, obtenue en calculant les termes nécessaires.

Pour une exposition, un décorateur empile des rouleaux de tissu en pyramide. Au rang $1$, la base de la pyramide comporte $7$ rouleaux. À chaque rang suivant, il ajoute une nouvelle couche de rouleaux, en respectant la règle suivante : la couche ajoutée entre le rang $n$ et le rang $n+1$ contient toujours $k$ rouleaux de plus que la couche ajoutée entre le rang $n-1$ et le rang $n$, où $k$ est un nombre entier fixe ; pour amorcer cette règle, la première couche ajoutée (entre le rang $1$ et le rang $2$) contient exactement $k$ rouleaux.

On note $u_n$ le nombre total de rouleaux utilisés au rang $n$, avec $u_1=7$. On sait par ailleurs que $u_4=37$.

1. Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $u_1$ et de $k$, puis déterminer la valeur de $k$.
2. Calculer $u_5$ et $u_6$.
3. Justifier que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On modélise le nombre de vues quotidiennes d'une vidéo devenue virale, $n$ jours après sa mise en ligne, par la suite $(u_n)$ (exprimée en milliers de vues) définie pour $0\le n\le 14$ par :$$u_n=-n^2+14n+3$$Un camarade calcule les quatre premiers termes de cette suite, trouve $u_0=3$, $u_1=16$, $u_2=27$ et $u_3=36$, et en conclut : « la suite $(u_n)$ est croissante pour toutes les valeurs de $n$ considérées, puisqu'elle augmente à chaque fois que je calcule un nouveau terme ».

1. Vérifier les valeurs de $u_0$ à $u_3$ trouvées par le camarade.
2. Calculer $u_7$ et $u_8$.
3. La conjecture du camarade est-elle correcte ? Si ce n'est pas le cas, exposer précisément, à l'aide d'un contre-exemple chiffré, l'endroit où son raisonnement est mis en défaut.

Une famille possède deux comptes bancaires reliés par un dispositif de virements automatiques mensuels : un compte « Jeune » et un compte « Épargne ». Chaque mois, $8\%$ du solde du compte Jeune (mesuré au début du mois) est viré vers le compte Épargne, et simultanément $3\%$ du solde du compte Épargne (mesuré lui aussi au début du mois) est viré vers le compte Jeune. On note $j_n$ et $e_n$ les soldes, en euros, des comptes Jeune et Épargne au bout de $n$ mois, avec $j_0=600$ et $e_0=900$.

1. En précisant bien que les deux virements se basent tous deux sur les soldes présents au début du mois (et non sur des soldes déjà mis à jour), établir les relations exprimant $j_{n+1}$ et $e_{n+1}$ en fonction de $j_n$ et $e_n$.
2. Calculer $j_1$, $e_1$, $j_2$ et $e_2$ (arrondir au centime).
3. Calculer $j_n+e_n$ pour $n=0,1,2$. Que peut-on conjecturer sur cette somme, et pourquoi cela semble-t-il cohérent avec la situation décrite ?
4. En observant l'évolution de $j_n$ et $e_n$ sur les premiers termes, conjecturer, sans démonstration, le comportement des deux suites lorsque $n$ devient grand.

Une trottinette électrique en libre-service affiche à l'écran une estimation du temps de charge restant, en minutes, avant que la batterie soit totalement chargée. Ce temps estimé, noté $u_n$, est modélisé pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{90}{n+3}$$où $n$ désigne le nombre de minutes déjà écoulées depuis le branchement.

1. Calculer $u_0$, la valeur affichée au moment du branchement.
2. Calculer $u_5$ et $u_{12}$.
3. Déterminer au bout de combien de minutes écoulées l'écran affichera exactement $2$ minutes restantes, c'est-à-dire résoudre $u_n=2$.

Une citerne de récupération d'eau de pluie contient initialement $300$ litres. Chaque semaine, un système d'arrosage automatique et l'évaporation naturelle font qu'il ne reste que $80\%$ du volume présent la semaine précédente ; à ce volume restant s'ajoute alors l'eau de pluie collectée durant la semaine, estimée à $50$ litres.

On note $u_n$ le volume d'eau, en litres, présent dans la citerne au bout de $n$ semaines, avec $u_0=300$.

1. Justifier que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,8u_n+50$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième si nécessaire).

On considère les quatre suites suivantes, présentées de façons différentes.

a) La suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $v_n=2n^2-3$.

b) La suite $(w_n)$ définie par $w_0=10$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $w_{n+1}=12-w_n$.

c) La suite $(t_n)$ construite ainsi : $t_0=2$, et chaque terme suivant s'obtient en triplant le terme précédent, puis en lui ajoutant $1$.

d) La suite $(s_n)$ obtenue par l'algorithme suivant, où $s_n$ désigne la valeur de la variable s à la fin du $n$-ième passage dans la boucle :

s $\leftarrow$ 0
Pour k allant de 0 à 5 :
s $\leftarrow$ s + (k+1)

1. Pour chacune des quatre suites, préciser son mode de génération (expression explicite $u_n=f(n)$, relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, ou algorithme).
2. Pour la suite $(t_n)$, écrire la relation de récurrence sous forme symbolique.

Dans un entrepôt agroalimentaire, une chambre froide est équipée d'un capteur qui relève la température, en degrés Celsius, à l'intérieur, chaque heure. On note $u_n$ cette température relevée à la $n$-ième heure ($n=0$ correspondant au premier relevé). Voici les valeurs enregistrées, perturbées par des ouvertures répétées de la porte :$$\begin{array}{cccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ u_n& 4& 3& 2& 2& 1& 0& 1\end{array}$$1. Donner la valeur de $u_4$. Que représente ce nombre concrètement ?
2. À quelle heure la température a-t-elle atteint exactement $0$ degré Celsius ?
3. Calculer la différence $u_6-u_0$ et interpréter le résultat dans le contexte de la chambre froide.

Pour une vitrine de supermarché, un employé empile des boîtes de conserve selon la règle suivante.

Au rang $1$, il installe une pyramide simple de $6$ boîtes.

À chaque rang suivant, il ajoute, à côté de l'ensemble déjà construit, une nouvelle pyramide identique de $6$ boîtes, puis il pose $2$ boîtes supplémentaires par-dessus, à cheval sur les deux pyramides voisines, afin de stabiliser l'ensemble.

On note $u_n$ le nombre total de boîtes utilisées pour construire la vitrine au rang $n$.

1. Justifier que $u_1=6$ puis que $u_2=14$.
2. En appliquant la même règle de construction, calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,85u_n+2$, où $u_n$ modélise le taux de chlore, en mg/L, mesuré dans une piscine au bout de $n$ jours : chaque jour, le chlore se dégrade naturellement et il n'en reste que $85\%$, avant qu'une pastille n'en rajoute $2$ mg/L.

Pour calculer certains termes de cette suite, on utilise l'algorithme suivant :

u $\leftarrow$ 5
Pour i allant de 0 à 3 :
u $\leftarrow$ 0.85 * u + 2
Afficher u

1. Calculer à la main $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ (arrondir au centième).
2. Combien de fois l'instruction contenue dans la boucle est-elle exécutée ? À quel terme de la suite correspond la valeur de u affichée après l'exécution complète du programme ?
3. En déduire la valeur de u à la fin de l'exécution du programme.

Lors d'un festival de rue, un stand associatif vend des crêpes chaque jour. On note $u_n$ le nombre de crêpes vendues le jour $n$ (les jours sont numérotés à partir de $1$).

Les deux premiers jours, le stand vend respectivement $u_1=30$ puis $u_2=45$ crêpes. On observe ensuite qu'à partir du jour $3$, le nombre de crêpes vendues un jour donné est toujours égal à la somme des nombres vendus les deux jours précédents, diminuée de $5$ (effet de concurrence des stands voisins qui s'installent progressivement).

1. Écrire, pour tout entier $n\ge 3$, la relation reliant $u_n$ à $u_{n-1}$ et $u_{n-2}$.
2. Calculer $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.

Un glacier de montagne contient initialement un volume de glace estimé à $500000$ m${}^3$. Chaque année, on estime que le glacier perd $8\%$ de son volume par fonte estivale, mais reçoit en hiver un apport de $15000$ m${}^3$ de neige compactée qui se transforme progressivement en glace.

On note $u_n$ le volume de glace, en m${}^3$, du glacier au bout de $n$ années, avec $u_0=500000$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
2. Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondir à l'unité).

Une serre agricole connectée mesure un indice de confort thermique, noté $u_n$, au jour $n$ après la mise en route d'un système de ventilation automatique. Cet indice est modélisé pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=n^2-10n+30$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.
2. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et le réduire à sa forme la plus simple.
3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ ; on précisera notamment si la suite est monotone sur tout $\mathbb{N}$.

On modélise la transparence résiduelle d'un empilement de films de protection plastique superposés sur un écran par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=\frac{n+4}{2^n}$$où $n$ désigne le nombre de films superposés.

1. Justifier que $u_n>0$ pour tout entier $n\ge 0$.
2. Calculer et simplifier le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
3. Comparer ce quotient à $1$, et en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

On modélise le niveau sonore perçu, en décibels, à une distance de $n$ mètres d'une enceinte connectée par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :$$f(x)=\frac{80}{x+4}$$1. Rappeler le sens de variation de la fonction inverse sur $]0;+\infty [$.
2. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty [$.
3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

Un capteur connecté mesure le taux d'humidité du sol, en pourcentage, dans un potager. On modélise ce taux par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ de $0$ à $25$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est la fonction affine définie sur $[0;25]$ par $f(x)=-3x+95$, et $n$ désigne le nombre de jours écoulés depuis le dernier arrosage automatique.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Expliquer comment, à partir de la courbe (ici une droite) représentant $f$ dans un repère, on peut obtenir le point représentant $u_n$ pour un entier $n$ donné, sans avoir à recalculer $f(n)$.
3. Sur le graphique de $f$, la droite horizontale d'équation $y=32$ coupe la droite représentant $f$ en un point d'abscisse entière. Déterminer par le calcul le rang $n$ correspondant, c'est-à-dire résoudre $u_n=32$.

Un artisan dilue progressivement un sirop trop concentré, par ajouts d'eau contrôlés automatiquement. La concentration en sucre, en pourcentage, est modélisée par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=25$ et, pour tout entier $n\ge 0$ :$$u_{n+1}=\sqrt{u_n}+1,5$$On souhaite représenter graphiquement cette suite à l'aide de la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}+1,5$ et de la droite d'équation $y=x$, tracées dans un même repère.

1. Décrire la construction géométrique (méthode de la « toile d'araignée ») permettant d'obtenir successivement les points d'abscisse $u_1$, puis $u_2$, à partir du point d'abscisse $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. Calculer les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$ (arrondir au centième), pour vérifier la cohérence avec la construction graphique.
3. En observant l'évolution des valeurs obtenues, conjecturer si la suite semble se stabiliser vers une valeur particulière, sans chercher à le démontrer.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=500$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,6u_n+80$, où $u_n$ modélise le nombre d'utilisateurs actifs quotidiens d'une application mobile de suivi sportif, au bout de $n$ semaines après une campagne de publicité ponctuelle.

Un tableur a permis de calculer les valeurs suivantes, arrondies à l'unité :$$\begin{array}{ccccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ u_n& 500& 380& 308& 265& 239& 223& 214& 208\end{array}$$1. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ à partir de ce tableau ?
2. Que peut-on conjecturer sur son comportement lorsque $n$ devient grand ? Vers quelle valeur les termes semblent-ils se rapprocher ?
3. Cette conjecture est-elle, à ce stade, démontrée ? Justifier brièvement.

Une colonie d'abeilles compte initialement $8000$ individus. Chaque semaine, la reine assure une croissance de $15\%$ de la population grâce aux naissances, mais un essaim de $500$ abeilles quitte la ruche pour fonder une nouvelle colonie. On note $u_n$ la population de la ruche au bout de $n$ semaines, avec $u_0=8000$.

1. Justifier que $u_{n+1}=1,15u_n-500$.
2. L'apiculteur souhaite savoir à partir de quelle semaine la population dépassera $12000$ abeilles. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il réponde à cette question :

u $\leftarrow$ 8000
n $\leftarrow$ 0
Tant que u < 12000 :
u $\leftarrow$ ...
n $\leftarrow$ n + 1
Afficher n

3. Déterminer, en calculant les termes nécessaires, la valeur affichée par cet algorithme.

Un vélo électrique est rechargé chaque nuit. On note $u_n$ la charge de sa batterie, en Wh, mesurée le matin du jour $n$, avec $u_0=100$. Chaque nuit, la charge de la veille perd $20\%$ par autodécharge naturelle, puis le chargeur apporte un complément fixe de $80$ Wh.

1. Justifier que, pour tout entier $n\ge 0$, $u_{n+1}=0,8u_n+80$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
3. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$, et montrer que la suite est croissante tant que $u_n<400$.
4. Sachant que $u_0<400$, et en observant que les termes calculés restent inférieurs à cette valeur, conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ devient grand.

Deux food trucks s'installent le même jour sur une place de marché.

Le food truck A gagne régulièrement de nouveaux clients par le bouche-à-oreille : le nombre de clients servis le jour $n$ est modélisé par $v_n=40+15n$, pour tout entier $n\ge 0$.

Le food truck B mise sur les réseaux sociaux : son nombre de clients servis, modélisé par $(w_n)$, augmente de $25\%$ chaque jour par rapport à la veille, avec $w_0=25$ et, pour tout entier $n\ge 0$, $w_{n+1}=1,25w_n$.

1. Calculer $v_5$ et $w_5$ (arrondir $w_5$ au centième).
2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous pour $n$ allant de $0$ à $9$ (arrondir les valeurs de $(w_n)$ au centième), et déterminer à partir de quel jour le food truck B sert plus de clients que le food truck A.
3. Calculer $v_{10}$ et $w_{10}$, et vérifier que l'écart en faveur de B se confirme bien au jour suivant.

Pour modéliser la réception d'appels sur un standard téléphonique, on associe à chaque entier $n\ge 0$ un coefficient de pondération $u_n$ défini par :$$u_n=\frac{4^n}{n!}$$où $n!$ (factorielle de $n$) désigne le produit des entiers de $1$ à $n$, avec la convention $0!=1$.

1. Justifier que $u_n>0$ pour tout entier $n\ge 0$.
2. On cherche à étudier le sens de variation de $(u_n)$. Expliquer pourquoi le calcul direct de $u_{n+1}-u_n$ conduit ici à une expression difficile à exploiter (mise au même dénominateur avec des factorielles d'indices différents), et pourquoi la méthode du quotient est mieux adaptée à cette suite.
3. Calculer et simplifier le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
4. Comparer ce quotient à $1$ selon les valeurs de $n$, et en déduire précisément le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Un entrepôt logistique reçoit chaque jour une livraison fixe de $150$ colis. Avant cette livraison, un contrôle qualité retire du stock existant $4\%$ des colis jugés défectueux ; ces colis retirés viennent s'accumuler dans un compteur de rebut cumulé.

On modélise cette gestion à l'aide de l'algorithme suivant, où u représente le stock de colis en rayon et r le cumul de colis rebutés depuis le début du suivi :

u $\leftarrow$ 1000
r $\leftarrow$ 0
Pour i allant de 0 à 2 :
d $\leftarrow$ 0.04 * u
r $\leftarrow$ r + d
u $\leftarrow$ u - d + 150

On note $u_n$ et $r_n$ les valeurs de u et r à la fin du $n$-ième passage dans la boucle, avec $u_0=1000$ et $r_0=0$.

1. Que représentent concrètement les variables u et r à la fin de chaque passage dans la boucle ?
2. En respectant scrupuleusement l'ordre des trois instructions de la boucle, calculer les valeurs de d, r et u obtenues après chacun des $3$ passages (on présentera les résultats dans un tableau, arrondis au centième).
3. Écrire, pour tout entier $n\ge 0$, les relations de récurrence exprimant $u_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $r_n$.
4. Interpréter la valeur de $r_3$ obtenue dans le contexte de l'entrepôt.

Un artisan pose des dallettes hexagonales en anneaux concentriques autour d'une dallette centrale, pour construire une terrasse. On note $u_n$ le nombre total de dallettes posées pour la terrasse de rang $n$ ($n\ge 1$), qui compte $n-1$ anneaux autour de la dallette centrale, avec $u_1=1$ (la dallette centrale seule).

On admet que l'anneau qui entoure une terrasse de rang $n$ (pour l'amener au rang $n+1$) est constitué de $6n$ dallettes.

1. Justifier, à l'aide de la règle donnée, que $u_2=7$ puis que $u_3=19$.
2. Établir que, pour tout entier $n\ge 1$, $u_{n+1}=u_n+6n$.
3. Calculer $u_4$ et $u_5$.

Un ballon-sonde à hélium s'élève dans l'atmosphère. Son altitude, en mètres, au bout de $n$ minutes est modélisée par la suite $(u_n)$ dont voici les valeurs mesurées par un capteur GPS embarqué :$$\begin{array}{ccccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ u_n& 0& 180& 320& 430& 515& 580& 630& 668\end{array}$$1. Décrire comment évolue l'altitude du ballon au fil des minutes (sens de variation observé, et évolution de l'écart entre deux valeurs consécutives).
2. Ces mesures suggèrent-elles que le ballon puisse un jour dépasser $850$ mètres d'altitude ? Justifier votre réponse à partir des valeurs du tableau, sans chercher à le démontrer.
3. Cette observation constitue-t-elle une preuve du comportement du ballon au-delà de la $7^{\text{e}}$ minute ? Justifier brièvement.

Un four professionnel est équipé d'une régulation automatique de sa température. La température relevée, en degrés Celsius, au bout de $n$ cycles de régulation est modélisée par la suite $(u_n)$ définie par $u_0=100$ et, pour tout entier $n\ge 0$ :$$u_{n+1}=-0,5u_n+180$$On a tracé, dans un repère, la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=-0,5x+180$ (une droite), la droite d'équation $y=x$, et on a construit par la méthode de la toile d'araignée les points successifs représentant $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$.
2. Comparer entre eux les termes de rang pair ($u_0$, $u_2$, $u_4$), puis les termes de rang impair ($u_1$, $u_3$, $u_5$). Que remarque-t-on ?
3. La construction en toile d'araignée forme ici une spirale qui se resserre progressivement autour d'un point. En vous appuyant sur les questions précédentes, décrire comment les valeurs successives de la suite semblent s'encadrer de plus en plus étroitement autour d'une même valeur, sans chercher à démontrer ce comportement.

Un agriculteur dispose d'un forage alimentant une réserve d'eau souterraine utilisée pour l'irrigation automatique de ses cultures. Le forage contient initialement $50000$ litres. Chaque jour, l'irrigation prélève $3000$ litres pour l'arrosage. Par ailleurs, la nappe phréatique réalimente naturellement le forage d'un volume égal à $4\%$ de la réserve présente avant le prélèvement du jour. Un seuil de sécurité fixé à $15000$ litres impose la mise au repos du forage dès que la réserve passe sous cette valeur, afin de permettre à la nappe de se régénérer.

Modéliser cette situation par une suite adaptée, puis déterminer, en argumentant votre démarche, au bout de combien de jours d'irrigation le forage devra être mis au repos pour la première fois. Vous préciserez notamment comment évolue la réserve d'eau au fil des jours, et vous pourrez vous appuyer sur un calcul itératif ou un algorithme pour trouver la réponse.

Une bobine de filament, déjà entamée, contient $800$ grammes de matière pour une imprimante 3D industrielle. Chaque impression consomme $60$ grammes de filament, mais un système de recyclage interne récupère et réintègre, avant chaque impression, un supplément égal à $5\%$ de la quantité de filament restante. On note $u_n$ la masse de filament, en grammes, disponible après $n$ impressions, avec $u_0=800$.

Écrire, sans structure de code fournie, un programme Python qui détermine le plus petit nombre d'impressions $n$ à partir duquel la quantité de filament restante descend strictement sous $50$ grammes. Vous inclurez un garde-fou empêchant la boucle de tourner indéfiniment si la quantité ne descendait jamais sous ce seuil.

Un menuisier assemble un meuble de rangement modulable à casiers cubiques pour un dressing, par paliers superposés. Le premier palier comporte $5$ casiers. Le nombre de casiers ajoutés en passant du palier $n$ au palier $n+1$ est égal à $a\times n$, où $a$ est un nombre entier constant (le même à chaque étape) et $n$ désigne le numéro du palier de départ, pour tout entier $n\ge 1$. On note $u_n$ le nombre total de casiers assemblés au palier $n$, avec $u_1=5$.

On sait par ailleurs que le meuble comporte $41$ casiers au palier $4$, c'est-à-dire $u_4=41$.

1. Exprimer $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en fonction de $a$ (en partant de $u_1=5$ et de la règle d'accroissement donnée).
2. Utiliser la valeur $u_4=41$ pour déterminer $a$.
3. En déduire les valeurs de $u_2$ et $u_3$, puis calculer $u_5$.
4. Calculer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$ (avec la valeur de $a$ trouvée), et déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Un marché de producteurs locaux relève sa recette hebdomadaire, en euros, au fil des semaines qui suivent son lancement. Cette recette est modélisée par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par :$$u_n=-2n^2+20n+50$$où $n$ désigne le numéro de la semaine.

Un camarade calcule les quatre premiers termes de cette suite, les trouve tous croissants, et affirme : « Cette suite est croissante : la recette du marché ne fait qu'augmenter de semaine en semaine. »

Qu'en pensez-vous ? Vous justifierez votre réponse à l'aide d'un contre-exemple chiffré précis, sans vous contenter d'une explication qualitative.