Exercices de Généralités sur les suites en maths Première (page 3) | The Maths Tailor
Exercices de Généralités sur les suites, Première (page 3)
110 exercices de Généralités sur les suites pour les maths Première, avec tous les énoncés en accès libre. 2 corrigés sont offerts ; les autres corrigés sont réservés aux abonnés. Au programme du chapitre : Définition et représentation graphique, Sens de variation d'une suite numérique, Notion de limite d'une suite.
Problème combinant deux suites liées (transfert entre deux bassins d'aquaculture)
Une exploitation aquacole gère deux bassins reliés par une canalisation de transfert. Le bassin A contient initialement 800 kg de poissons, le bassin B en contient 300 kg. Chaque semaine, un système automatique transfère du bassin A vers le bassin B un dixième de la masse présente dans le bassin A ; simultanément, le bassin B transfère vers le bassin A un vingtième de la masse qu'il contenait, avant tout transfert de la semaine. On note an et bn les masses de poissons, en kg, présentes respectivement dans les bassins A et B au bout de n semaines, avec a0=800 et b0=300.
1. Justifier que, pour tout entier n≥0, an+1=0,9an+0,05bn et bn+1=0,1an+0,95bn. 2. Calculer a1, b1, a2, b2, a3 et b3 (arrondir au centième si nécessaire). 3. Vérifier, à l'aide des relations de récurrence, que la masse totale an+bn reste constante au fil des semaines. Que peut-on en déduire ? 4. Conjecturer, à partir des valeurs observées, le sens de variation de chacune des deux suites (an) et (bn), et l'évolution relative des deux bassins au fil du temps.
82.Calculer les termes d'une suite explicite (concentration d'un gaz réfrigérant)
Un système de climatisation industrielle subit une fuite de gaz réfrigérant. Une purge automatique est enclenchée : on modélise la concentration résiduelle du gaz, en mg/m3, après n heures de purge, par la suite (un) définie pour tout entier n≥0 par :un=n+31801. Calculer u0, la concentration au moment du déclenchement de la purge. 2. Calculer u2 et u6. 3. Déterminer le nombre d'heures de purge nécessaires pour que la concentration atteigne exactement 15 mg/m3, c'est-à-dire résoudre un=15.
83.Calculer les termes d'une suite définie par récurrence (réservoir d'un groupe électrogène)
Un groupe électrogène de chantier dispose d'un réservoir de gasoil. Chaque jour, 40% du carburant présent est consommé par le moteur, si bien qu'il n'en reste que 60% de la quantité de la veille ; à cette quantité restante s'ajoute alors un ravitaillement fixe quotidien de 8 litres.
On note un la quantité de gasoil, en litres, présente dans le réservoir le jour n, avec u0=50.
1. Justifier que, pour tout entier n≥0, un+1=0,6un+8. 2. Calculer u1, u2 et u3.
84.Identifier le mode de génération de plusieurs suites
On considère les quatre suites suivantes, présentées de façons différentes.
a) La suite (vn) définie pour tout entier n≥0 par vn=3n2+2.
b) La suite (wn) définie par w0=4 et, pour tout entier n≥0, wn+1=10−wn.
c) La suite (tn) construite ainsi : t0=5, et chaque terme suivant s'obtient en triplant le terme précédent, puis en lui ajoutant 2.
d) La suite (pn) obtenue par le programme Python suivant, où pn désigne la valeur de la variable p à la fin du n-ième passage dans la boucle :
p ← 1 Pour k allant de 0 à 4 : p ← p × (2k+1)
1. Pour chacune des quatre suites, préciser son mode de génération (expression explicite un=f(n), relation de récurrence un+1=f(un), ou algorithme). 2. Pour la suite (tn), écrire la relation de récurrence sous forme symbolique.
85.Lire les valeurs d'une suite dans un tableau (consommation électrique d'un atelier)
Un atelier de fabrication relève chaque semaine sa consommation électrique. On note un la consommation, en kWh, de la semaine n (la semaine 0 correspondant à la première semaine relevée). Voici les valeurs relevées :nun01801165220032104195523062051. Donner la valeur de u5. Que représente ce nombre concrètement ? 2. Lors de quelle semaine la consommation a-t-elle été exactement de 200 kWh ? 3. Calculer la différence u6−u0 et interpréter le résultat dans le contexte de l'atelier.
86.Construire les premiers termes d'une suite à partir d'un motif (rangées de chocolats)
Pour réaliser une pièce montée, un chocolatier dispose des chocolats en rangées selon la règle suivante.
Au rang 1, il installe une seule rangée de 4 chocolats.
À chaque rang suivant, il ajoute, à côté de l'ensemble déjà construit, une nouvelle rangée identique de 4 chocolats, puis il pose 2 chocolats de décoration supplémentaires à cheval entre les deux dernières rangées, afin de masquer la jointure.
On note un le nombre total de chocolats utilisés au rang n.
1. Justifier que u1=4 puis que u2=10. 2. En appliquant la même règle de construction, calculer u3, u4 et u5.
87.Calculer les termes d'une suite via un algorithme (indice de tension mécanique)
Un logiciel de contrôle qualité recalcule itérativement un indice de tension mécanique, en unités arbitraires, mesuré sur une pièce métallique testée en fatigue. On note un la valeur de cet indice après n recalculs, avec u0=4 et, pour tout entier n≥0, un+1=2un−3.
Pour effectuer ces recalculs, on utilise le programme Python suivant :
u ← 4 Pour i allant de 0 à 4 : u ← 2 * u - 3
1. Calculer à la main u1, u2, u3, u4 et u5. 2. Combien de fois l'instruction contenue dans la boucle est-elle exécutée ? À quel terme de la suite correspond la valeur de u affichée après l'exécution complète du programme ? 3. En déduire la valeur de u à la fin de l'exécution du programme.
88.Traduire une règle donnée en français en une suite de calculs (adhésions à un club d'échecs)
Un club d'échecs comptabilise le nombre de nouvelles adhésions reçues chaque trimestre. On note un ce nombre lors du trimestre n (les trimestres sont numérotés à partir de 1).
Les deux premiers trimestres, le club enregistre respectivement u1=6 puis u2=9 nouvelles adhésions. On observe ensuite qu'à partir du trimestre 3, le nombre de nouvelles adhésions d'un trimestre donné est toujours égal à la somme des nombres de nouvelles adhésions des deux trimestres précédents, augmentée de 2 (effet d'entraînement du bouche-à-oreille).
1. Écrire, pour tout entier n≥3, la relation reliant un à un−1 et un−2. 2. Calculer u3, u4, u5 et u6.
89.Déterminer une relation de récurrence à partir d'une situation concrète (silo à grains)
Un silo agricole contient 300 tonnes de grain. Chaque mois, l'exploitant vend 8% du grain présent dans le silo, puis y ajoute une nouvelle récolte fixe de 50 tonnes.
On note un la quantité de grain, en tonnes, présente dans le silo au bout de n mois, avec u0=300.
1. Exprimer un+1 en fonction de un. 2. Calculer u1 et u2 (arrondir à l'unité).
90.Étudier le sens de variation par différence de deux termes consécutifs (indicateur de non-conformité)
Un service qualité mesure chaque semaine un indicateur de non-conformité (nombre de défauts pour 1000 pièces produites) à la suite d'une modification de protocole. On note (un) la suite définie pour tout entier n≥0 par un=n2−5n+9, où n désigne le nombre de semaines écoulées depuis la modification.
1. Calculer u0, u1, u2, u3, u4, u5 et u6. 2. Calculer un+1−un en fonction de n, et le réduire à sa forme la plus simple. 3. En déduire le sens de variation de la suite (un) ; on précisera notamment si la suite est monotone sur tout N.
91.Étudier le sens de variation à l'aide du quotient de deux termes consécutifs (signal Wi-Fi)
On modélise l'intensité relative d'un signal Wi-Fi, en pourcentage de la puissance initiale, reçu à travers n cloisons, par la suite (un) définie pour tout entier n≥0 par :un=4nn+31. Justifier que un>0 pour tout entier n≥0. 2. Calculer et simplifier le quotient unun+1. 3. Comparer ce quotient à 1, et en déduire le sens de variation de la suite (un).
92.Étudier le sens de variation à l'aide d'une fonction associée (goutte de pluie)
On modélise, de façon simplifiée, le diamètre d'une goutte de pluie qui grossit en traversant un nuage, en dixièmes de millimètre, par la suite (un) définie pour tout entier n≥0 par un=f(n), où f est la fonction définie sur [0;+∞[ par :f(x)=x+4et n désigne la distance parcourue par la goutte, en unités arbitraires.
1. Rappeler le sens de variation de la fonction racine carrée sur [0;+∞[. 2. En déduire le sens de variation de f sur [0;+∞[. 3. En déduire le sens de variation de la suite (un), puis interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.
93.Représenter graphiquement une suite explicite par placement de points (coût unitaire de production)
On considère la fonction f affine définie sur [0;40] par f(x)=−0,3x+12, et la suite (un) définie pour tout entier n de 0 à 40 par un=f(n), où un modélise le coût unitaire de production, en euros, après n semaines d'optimisation d'une chaîne de fabrication.
1. Calculer u0, u1, u2 et u3. 2. Expliquer comment, à partir de la courbe (ici une droite) représentant f dans un repère, on peut obtenir le point représentant un pour un entier n donné, sans avoir à recalculer f(n). 3. Sur le graphique de f, la droite horizontale d'équation y=6 coupe la droite représentant f en un point d'abscisse entière. Déterminer par le calcul le rang n correspondant, c'est-à-dire résoudre un=6.
94.Construire une suite récurrente par la méthode de la toile d'araignée (indice de fatigue résiduelle)
On modélise, de façon simplifiée, un indice de fatigue résiduelle chez un sportif après un effort intense, mesuré à intervalles réguliers de récupération, par la suite définie par u0=25 et, pour tout entier n≥0 :un+1=un+2On souhaite représenter graphiquement cette suite à l'aide de la courbe de la fonction f définie par f(x)=x+2 et de la droite d'équation y=x, tracées dans un même repère.
1. Décrire la construction géométrique (méthode de la « toile d'araignée ») permettant d'obtenir successivement les points d'abscisse u1, puis u2, à partir du point d'abscisse u0 sur l'axe des abscisses. 2. Calculer par le calcul les valeurs de u1, u2 et u3 (arrondir au centième), pour vérifier la cohérence avec la construction graphique. 3. En observant l'évolution des valeurs obtenues, conjecturer si la suite semble se stabiliser vers une valeur particulière, sans chercher à le démontrer.
95.Conjecturer le comportement d'une suite à partir d'un tableau de valeurs (endurance d'un randonneur)
On considère la suite (un) définie par u0=2 et, pour tout entier n≥0, un+1=0,4un+9, où un modélise la distance quotidienne supplémentaire, en kilomètres, qu'un randonneur en préparation parvient à parcourir après n semaines d'entraînement.
Un tableur a permis de calculer les valeurs suivantes, arrondies au millième :nun0219,8212,92314,168414,667514,867614,947714,9791. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (un) à partir de ce tableau ? 2. Que peut-on conjecturer sur son comportement lorsque n devient grand ? Vers quelle valeur les termes semblent-ils se rapprocher ? 3. Aucun calcul supplémentaire n'est demandé : cette conjecture est-elle, à ce stade, démontrée ? Justifier brièvement.
96.Écrire un algorithme de calcul de seuil (population d'un refuge animalier)
Un refuge animalier héberge 50 animaux. Chaque mois, il accueille 15 nouveaux animaux, mais fait aussi adopter 20% des animaux déjà présents. On note un le nombre d'animaux hébergés au bout de n mois, avec u0=50.
1. Justifier que un+1=0,8un+15. 2. La responsable du refuge souhaite savoir à partir de quel mois le nombre d'animaux hébergés dépassera 70. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il réponde à cette question :
u ← 50 n ← 0 Tant que u < 70 : u ← ... n ← n + 1 Afficher n
3. Déterminer, en calculant les termes nécessaires, la valeur affichée par cet algorithme.
97.Étudier variation et conjecture de stabilisation (stock d'une usine de recyclage de papier)
Une usine de recyclage traite du papier collecté auprès d'entreprises partenaires. Chaque semaine, l'usine reçoit 200 kg de papier neuf, mais expédie aussi 15% du stock total archivé vers une unité de traitement. On note un la masse de papier stockée, en kg, au bout de n semaines, avec u0=200 kg.
1. Justifier que, pour tout entier n≥0, un+1=0,85un+200. 2. Calculer u1, u2 et u3 (arrondir au centième). 3. Calculer un+1−un en fonction de un, et montrer que la suite est croissante tant que un<34000. 4. Sachant que u0<34000, et en observant que les termes calculés restent inférieurs à cette valeur, conjecturer le comportement de la suite (un) lorsque n devient grand.
98.Comparer deux suites modélisant deux ateliers d'impression 3D
Deux ateliers de fabrication additive proposent des offres différentes pour la location d'une imprimante 3D professionnelle.
L'atelier A facture un forfait fixe de 150 euros, plus 30 euros par mois de location. Le coût cumulé après n mois est donc donné par la suite explicite (an) définie par an=30n+150.
L'atelier B facture un forfait initial de 250 euros, mais applique un tarif de 20 euros par mois de location, versé mensuellement : on note (bn) le coût cumulé après n mois, avec b0=250 et, pour tout entier n≥0, bn+1=bn+20.
1. Calculer a0, a9, a10 et a11. 2. Calculer, en itérant la relation de récurrence pas à pas, b1,b2,… jusqu'à b11. 3. Comparer an et bn pour n=9, n=10 et n=11. En déduire à partir de quel rang l'atelier B devient strictement moins cher que l'atelier A.
99.Choisir la méthode adaptée pour étudier une variation (probabilité de gain à un jeu concours)
Un jeu concours en ligne attribue un gros lot au tour n avec une probabilité modélisée par la suite (un) définie pour tout entier n≥1 par :un=2nn1. Calculer u1, u2, u3 et u4. 2. On souhaite étudier le sens de variation de (un). Expliquer pourquoi la méthode de la différence un+1−un risque d'être malaisée à exploiter ici, et pourquoi la présence d'une puissance de 2 au dénominateur suggère plutôt d'utiliser la méthode du quotient. 3. Calculer et simplifier unun+1 pour n≥1, comparer ce quotient à 1, et en déduire le sens de variation de la suite à partir du rang 2.
100.Analyser un algorithme à deux variables (file d'attente d'un centre d'appels)
Un centre d'appels suit, minute par minute, le nombre d'appels traités dans la minute et le nombre cumulé d'appels traités, à l'aide de l'algorithme suivant :
u ← 8 v ← 0 Pour i allant de 0 à 3 : v ← v + u u ← u - 2
La variable u représente le nombre d'appels traités pendant la minute en cours, et la variable v le nombre cumulé d'appels traités depuis le début de l'observation.
1. Compléter, pas à pas, le tableau des valeurs de u et v après chaque passage dans la boucle (pour i=0,1,2,3). 2. Exprimer, pour la suite (ui) des valeurs prises par u, la relation reliant ui+1 à ui. 3. Donner la valeur finale de v, et expliquer ce qu'elle représente.
101.Déterminer une relation de récurrence pour un motif géométrique (mosaïque circulaire de galets)
Un artiste réalise une fresque circulaire en galets. Au centre (rang 0), il pose 1 seul galet. À chaque rang suivant n≥1, il ajoute un anneau complet de galets tout autour de la figure précédente : le nombre de galets ajoutés au rang n est égal à 6n.
On note un le nombre total de galets utilisés pour construire la fresque jusqu'au rang n inclus, avec u0=1.
1. Justifier, en expliquant pas à pas la construction, que pour tout entier n≥0, un+1=un+6(n+1). 2. Calculer u1, u2, u3 et u4.
102.Observer, sans démonstration, qu'une suite semble ne jamais dépasser une valeur donnée (volume d'un espace de stockage cloud)
Une PME souscrit à un service de stockage en ligne facturé par palier, avec un plafond de 500 Go inclus dans son offre. Le volume de données stockées, en Go, après n mois d'activité, est modélisé par la suite (un) définie pour tout entier n≥0 par :un=500−n+1500On a calculé quelques valeurs : u0=0, u5≈416,67, u10≈454,55, u20≈476,19.
1. Que peut-on dire, à partir de ces valeurs, du sens de variation apparent de la suite ? 2. Au vu de ces observations, semble-t-il que le volume stocké dépasse un jour les 500 Go inclus dans l'offre ? Répondre par une observation argumentée sur les données, sans chercher à le démontrer.
103.Décrire, à partir d'une toile d'araignée, l'encadrement des valeurs d'une suite (pression d'un système d'irrigation)
Un système d'irrigation goutte-à-goutte régule la pression dans un tuyau à l'aide d'un mécanisme de correction qui surcompense légèrement à chaque cycle de la pompe. On note un la pression, en bars, mesurée au cycle n, avec u0=2 et, pour tout entier n≥0 :un+1=−0,5un+9La construction en toile d'araignée de cette suite, à l'aide de la droite représentant f(x)=−0,5x+9 et de la droite y=x, montre une figure qui s'enroule en se resserrant progressivement autour d'une zone du repère, sans jamais s'en écarter davantage.
1. Calculer u1, u2, u3, u4 et u5 (valeurs exactes). 2. Décrire ce que l'on observe sur les valeurs successives de la suite : sont-elles toutes du même côté d'une certaine valeur, ou bien alternent-elles ? Semblent-elles s'encadrer de plus en plus étroitement autour d'une valeur particulière ? 3. Ce type de comportement en spirale, propre à une relation de récurrence de pente négative, permet-il de conclure formellement à une valeur limite ? Justifier brièvement.
104.Problème ouvert : comparer deux solutions de financement pour un mini-bus associatif
Une association sportive envisage l'achat d'un mini-bus et doit choisir entre deux solutions de financement pour rembourser une dette initiale de 6000 euros.
Solution 1 : un remboursement par mensualités constantes de 250 euros, le capital restant dû diminuant alors chaque mois exactement de ce montant fixe.
Solution 2 : un crédit-bail où le capital restant dû est d'abord réduit de 10% chaque mois, puis diminué en plus de 50 euros de frais fixes mensuels de gestion, ces deux effets s'appliquant successivement au capital du mois précédent.
On souhaite savoir laquelle des deux solutions permet de solder entièrement la dette le plus rapidement (c'est-à-dire de faire passer le capital restant dû à une valeur nulle ou négative), et au bout de combien de mois.
Vous modéliserez chaque solution par une suite adaptée, vous en étudierez le comportement, et vous répondrez à la question posée en justifiant votre réponse.
105.Écrire un algorithme original de calcul de seuil (abonnés d'un service de vidéo à la demande)
Un service de vidéo à la demande compte 5000 abonnés. Chaque mois, le nombre d'abonnés augmente de 3% (parrainages, renouvellements), et une campagne publicitaire mensuelle apporte en plus 200 nouveaux abonnés fixes.
Écrire, sans structure de code fournie, une fonction Python qui renvoie le plus petit rang n pour lequel le nombre d'abonnés dépasse 20000, en partant de 5000 abonnés. La fonction devra également intégrer un garde-fou de sécurité limitant le nombre d'itérations, au cas où le seuil ne serait jamais atteint.
Vous justifierez au préalable, en une ou deux lignes, pourquoi un tel garde-fou est utile ici, avant d'écrire le code, puis vous donnerez la valeur du rang n trouvé.
106.Déterminer un paramètre puis étudier une suite issue d'un motif géométrique (pyramide de tablettes de chocolat)
Un chocolatier empile des tablettes de chocolat en pyramide pour une vitrine de fête. Au premier étage, il pose 4 tablettes. À chaque étage suivant n (n≥2), il ajoute un nombre de tablettes égal à k×n, où k est un facteur constant, mais dont la valeur n'est pas connue a priori.
On note un le nombre total de tablettes utilisées jusqu'à l'étage n inclus, avec u1=4. On sait par ailleurs qu'au troisième étage, la pyramide compte au total u3=34 tablettes.
1. Exprimer u2 puis u3 en fonction de u1 et de k, et en déduire la valeur de k. 2. Calculer, avec la valeur de k trouvée, le nombre de tablettes u2, u4 et u5.
107.Argumenter à l'aide d'un contre-exemple face à une conjecture erronée (réclamations après un nouveau protocole)
Un service après-vente met en place un nouveau protocole de traitement des demandes. Le nombre hebdomadaire de réclamations reçues, n semaines après la mise en place du protocole, est modélisé par la suite (un) définie pour tout entier n≥0 par :un=n2−10n+30Un camarade calcule les trois premiers termes, u0=30, u1=21 et u2=14, et affirme : « La suite est strictement décroissante pour tout entier n, le nouveau protocole fait donc baisser durablement le nombre de réclamations. »
1. Calculer u3, u4, u5 et u6. 2. L'affirmation du camarade est-elle correcte pour tout n ? Répondre en donnant un contre-exemple chiffré précis, et expliquer où le raisonnement initial déraille.
108.Problème combinant deux suites liées (transfert entre deux silos à grains)
Deux silos à grains, notés A et B, sont reliés par un tapis de transfert automatique. Chaque jour, 10% du contenu du silo A (mesuré la veille) est transféré vers le silo B, et simultanément 5% du contenu du silo B (mesuré la veille) est transféré vers le silo A.
On note an et bn les quantités de grain, en tonnes, présentes respectivement dans les silos A et B au bout de n jours, avec a0=800 et b0=200.
1. En précisant bien que les deux transferts se basent sur les quantités de la veille (et non sur une quantité déjà mise à jour), établir les relations exprimant an+1 en fonction de an et bn, puis bn+1 en fonction de an et bn. 2. Calculer a1, b1, a2 et b2 (arrondir au dixième si nécessaire). 3. Calculer a1+b1 puis a2+b2, et comparer ces sommes à a0+b0. Que peut-on en conjecturer sur la quantité totale de grain dans les deux silos réunis ? 4. Au vu des valeurs calculées, quelle semble être l'évolution de chaque silo (croissante ou décroissante) sur les premiers rangs ?
109.Passer d'une expression explicite à une relation de récurrence
1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un=3n2+1. a. Calculer un+1−un et en déduire une relation de la forme un+1=un+g(n). b. Vérifier cette relation pour n=0 et n=1. 2. Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn=2n+n. a. Calculer v0, v1 et v2. b. Exprimer vn+1 en fonction de vn et de n. On remarquera que 2n=vn−n. c. Vérifier la relation obtenue pour n=1.
110.Conjecturer une expression explicite à partir d'une relation de récurrence
Soit (un) la suite définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n, un+1=un+2n+3.
1. Calculer u1, u2, u3 et u4. 2. Que remarque-t-on ? Conjecturer une expression de un en fonction de n. 3. Vérifier que l'expression conjecturée donne bien u0=1. 4. Vérifier que, si l'on remplace un par l'expression conjecturée dans la relation un+1=un+2n+3, on retrouve l'expression conjecturée au rang n+1. 5. En déduire la valeur de u20.
