Exercices de Géométrie repérée, Première (page 2)

On donne la droite $e$ d'équation $3x-5y+8=0$ et le point $B(2;-1)$.

Déterminer une équation cartésienne de la droite $e^{\prime }$ perpendiculaire à $e$ et passant par $B$.

On considère les droites $d_1$ d'équation $x-2y-1=0$ et $d_2$ d'équation $3x+y-17=0$.

1) Justifier que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.

2) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

On considère les points $A(0;0)$, $B(4;2)$ et $C(-2;4)$.

Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$.

On considère la droite $d$ d'équation $x+y-4=0$ et le point $M(5;5)$.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$.

On considère la droite $d$ d'équation $3x+4y-12=0$ et le point $M(2;9)$.

1) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$.

2) En déduire la distance de $M$ à la droite $d$.

On considère les deux équations suivantes :

(E1) : $x^2+y^2-6x+8y+9=0$

(E2) : $x^2+y^2-2x-4y+10=0$

1) Montrer que (E1) est l'équation d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
2) Montrer que (E2) n'est pas l'équation d'un cercle.

On considère les points $A(-1;3)$ et $B(5;-1)$.

1) Établir l'équation du cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$, à l'aide de la caractérisation $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

2) En déduire le centre et le rayon de $\mathcal{C}$, et vérifier la cohérence avec le milieu de $[AB]$.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2=25$ et la droite $d$ d'équation $x-y+1=0$.

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $d$ et $\mathcal{C}$.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega (1;2)$ et de rayon $3$, et la droite $d$ d'équation $3x-4y-10=0$.

Sans résoudre de système, déterminer la position relative de $d$ et $\mathcal{C}$.

On considère les points $A(0;0)$, $B(3;4)$, $C(-5;10)$ et $D(-8;6)$.

1) Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

2) Montrer que $ABCD$ est un rectangle.

3) $ABCD$ est-il un carré ? Justifier.

Une municipalité repère son centre-ville dans un repère orthonormé gradué en centaines de mètres. Une ligne de tramway rectiligne relie la station Nord $N(3;10)$ à la station Sud $S(11;4)$. Une école se trouve au point $E(11;9)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la ligne de tramway $(NS)$.

2) Calculer la distance entre l'école $E$ et la ligne de tramway $(NS)$.

3) Une zone de sécurité circulaire de rayon $3$ (soit $300$ m) est définie autour de l'école. Cette zone touche-t-elle la ligne de tramway ? Justifier sans résoudre de système.

On considère les points $A(1;2)$, $B(13;11)$ et $C(9;-2)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

2) Le point $C$ appartient-il à $(AB)$ ?

3) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$.

4) En déduire la distance de $C$ à la droite $(AB)$.

5) Donner une équation du cercle $\Gamma$ de centre $C$ passant par $H$.

6) Justifier que $\Gamma$ est tangent à $(AB)$.

On considère, pour tout réel $m$, les droites d'équations :$$d_m:(m-1)x+2y-3=0d_m^{\prime }:3x+(m+4)y+(m-11)=0$$1) Montrer que $d_m$ et $d_m^{\prime }$ sont parallèles si et seulement si $m=-5$ ou $m=2$.

2) Étudier, dans chacun de ces deux cas, si $d_m$ et $d_m^{\prime }$ sont confondues ou strictement parallèles.

3) Conclure sur la position relative de $d_m$ et $d_m^{\prime }$ selon les valeurs de $m$.

On considère les points $A(1;1)$, $B(7;3)$ et $C(3;7)$.

Déterminer une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

On considère les points $A(0;0)$, $B(4;2)$, $C(2;6)$ et $D(-2;4)$.

1) Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

2) Montrer que $ABCD$ est un losange.

3) Montrer que $ABCD$ est un rectangle.

4) Conclure sur la nature exacte de $ABCD$.

Dans un repère orthonormé gradué en kilomètres, une antenne de télécommunication est installée au point $T(7;1)$ et couvre un disque de rayon $6$ km. Une route rectiligne passe par les points $R(-4;-4)$ et $S(12;12)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la route $(RS)$.

2) Donner une équation du cercle de couverture de l'antenne.
3) Déterminer les coordonnées des points où la route entre dans la zone de couverture et en sort.
4) En déduire, en kilomètres, la longueur du trajet parcouru par la route à l'intérieur de la zone couverte par l'antenne.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $E(-4;1)$ et $F(5;7)$.

1) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$.

2) Déterminer les coordonnées du point $G$ tel que $\overrightarrow{EG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EF}$.

On considère la droite $d$ d'équation cartésienne $5x-3y+6=0$.

1) Donner un vecteur normal à $d$.

2) Donner un vecteur directeur de $d$.

3) Le point $K(3;7)$ appartient-il à $d$ ? Justifier.

Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $\Omega (2;-3)$ et passe par le point $B(6;0)$.

1) Calculer le rayon de $\mathcal{C}$.

2) En déduire une équation cartésienne de $\mathcal{C}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant brièvement.

a) La droite d'équation $2x+7y-4=0$ admet le vecteur $\vec{n}(2;7)$ comme vecteur normal.

b) La droite d'équation $2x+7y-4=0$ admet le vecteur $\vec{u}(2;7)$ comme vecteur directeur.

c) Le point $R(5;-1)$ appartient à la droite d'équation $3x-y-16=0$.

d) L'équation $x^2+y^2+6x-2y+12=0$ est celle d'un cercle.

e) Le point $S(1;-2)$ appartient au cercle d'équation $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=9$.

On considère les vecteurs $\vec{w}(m-3;4)$ et $\vec{t}(5;10)$, où $m$ est un nombre réel.

1) Exprimer, en fonction de $m$, le déterminant des vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{t}$.

2) Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $\vec{w}$ et $\vec{t}$ sont colinéaires.

On donne les points $L(-2;5)$ et $M(3;-1)$ dans un repère orthonormé. Le point $N(k;11)$, où $k$ est un nombre réel, appartient à la droite $(LM)$.

1) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(LM)$.

2) Déterminer la valeur de $k$.

Dans un repère orthonormé, on considère le point $A(-3;4)$ et le vecteur $\vec{n}(2;-5)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

2) Le point $P(2;6)$ appartient-il à $d$ ?

Déterminer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ passant par le point $B(5;-2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;-4)$.

On donne la droite $d$ d'équation $4x+7y-2=0$ et le point $A(3;-1)$.

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d^{\prime }$ parallèle à $d$ et passant par $A$.

On donne la droite $e$ d'équation $5x-2y+8=0$ et le point $C(4;1)$.

Déterminer une équation cartésienne de la droite $e^{\prime }$ perpendiculaire à $e$ et passant par $C$.

On considère les droites $d_1$ d'équation $2x-y-1=0$ et $d_2$ d'équation $x+3y-11=0$.

Démontrer que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

On donne les points $U(-1;-1)$, $V(3;1)$ et $W(1;5)$.

Démontrer que le triangle $UVW$ est rectangle et isocèle en $V$.

Une commune repère son territoire dans un plan muni d'un repère orthonormé gradué en kilomètres. Une piste cyclable rectiligne relie le départ $D(2;5)$ à l'arrivée $F(10;-1)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la piste $(DF)$.

2) Une fontaine est installée au point $G(6;2)$. Se trouve-t-elle exactement sur la piste cyclable ? Justifier.

On donne la droite $d$ d'équation $x+2y-8=0$ et le point $M(13;10)$.

1) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$.

2) En déduire la distance du point $M$ à la droite $d$.

On donne la droite $d$ d'équation $3x-4y-25=0$ et le point $M(18;1)$.

1) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$.

2) En déduire la distance du point $M$ à la droite $d$.

On considère l'équation $x^2+y^2-10x+6y+30=0$.

1) Montrer qu'il s'agit de l'équation d'un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon.

2) Le point $D(7;-3)$ appartient-il à $\mathcal{C}$ ?

On donne les points $A(-3;-1)$ et $B(5;7)$.

Établir une équation cartésienne du cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$, à l'aide de la caractérisation $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2=65$ et la droite $d$ d'équation $x+2y-15=0$.

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $d$ et $\mathcal{C}$.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega (1;4)$ et de rayon $3$, et la droite $d$ d'équation $4x-3y+38=0$.

Étudier, sans résoudre de système, la position relative de $d$ et $\mathcal{C}$.

On donne les points $A(0;0)$, $B(3;4)$, $D(4;3)$ et $C(7;7)$.

1) Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

2) Ce parallélogramme est-il un losange ? Est-il un rectangle ? Justifier.

On considère les points $A(2;1)$, $B(8;5)$ et $C(9;-3)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

2) Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$ ?

3) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(AB)$.

4) Calculer la distance $CH$.

On considère les droites $d_1$ d'équation $2x+5y-3=0$, $d_2$ d'équation $5x-2y+7=0$ et $d_3$ d'équation $4x+10y-1=0$.

1) Donner un vecteur normal de chacune des trois droites.
2) Montrer que $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires.

3) Montrer que $d_1$ et $d_3$ sont parallèles, sans être confondues.

4) Que peut-on en déduire pour $d_2$ et $d_3$ ? Le vérifier par un calcul.

Une antenne de télécommunication est installée au point $T(4;6)$ dans un repère orthonormé gradué en kilomètres, et couvre un disque de rayon $5$ km. Une route rectiligne a pour équation $3x-4y+2=0$ (coordonnées en kilomètres).

La route traverse-t-elle la zone couverte par l'antenne ? Justifier sans résoudre de système.