Exercices de Géométrie repérée, Première (page 3)

On considère le triangle $XYZ$ avec $X(8;1)$, $Y(3;6)$ et $Z(-1;4)$.

Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle $XYZ$, puis son rayon.

On considère les points $A(1;4)$, $B(9;10)$ et $C(11;-1)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

2) Le point $C$ appartient-il à $(AB)$ ?

3) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $C$ sur la droite $(AB)$.

4) On note $\Gamma$ le cercle de centre $C$ et de rayon $CH$. Donner une équation cartésienne de $\Gamma$, puis justifier que la droite $(AB)$ est tangente à $\Gamma$.

On donne les points $A(1;1)$, $B(5;4)$, $C(2;8)$ et $D(-2;5)$.

1) Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

2) Démontrer que $ABCD$ est un losange.

3) Démontrer que $ABCD$ est un rectangle.

4) Conclure sur la nature exacte du quadrilatère $ABCD$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(-5;3)$ et $B(7;-9)$.

1) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

2) Déterminer les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[AB]$.

3) Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant brièvement.

a) La droite d'équation $-2x+7y-4=0$ admet le vecteur $\vec{n}(-2;7)$ comme vecteur normal.

b) La droite d'équation $-2x+7y-4=0$ admet le vecteur $\vec{u}(7;-2)$ comme vecteur directeur.

c) Le point $P(3;-1)$ appartient à la droite d'équation $5x+2y-13=0$.

d) L'équation $x^2+y^2-6x+4y+15=0$ est celle d'un cercle.

e) Le point $Q(1;5)$ appartient au cercle d'équation $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=13$.

On considère les vecteurs $\vec{u}(m+2;6)$ et $\vec{v}(3;m-1)$, où $m$ est un nombre réel.

1) Exprimer, en fonction de $m$, le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

2) Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

On donne les points $A(2;-1)$ et $B(5;5)$ dans un repère orthonormé. Le point $C(k;15)$, où $k$ est un nombre réel, appartient à la droite $(AB)$.

1) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur simplifié de la droite $(AB)$.

2) Déterminer la valeur de $k$.

3) Le point $D(20;y_D)$ appartient également à la droite $(AB)$. Déterminer $y_D$.

Dans un repère orthonormé, on considère le point $A(-3;5)$ et le vecteur $\vec{n}(4;-7)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.

2) Les points $P(6;11)$ et $R(4;9)$ appartiennent-ils à $d$ ?

On donne la droite $d$ d'équation $3x-5y+2=0$ et le point $A(4;-1)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $d^{\prime }$ parallèle à $d$ et passant par $A$.

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite $d^{\prime \prime }$ perpendiculaire à $d$ et passant par $A$.

On donne les points $A(1;2)$, $B(5;5)$ et $C(4;-2)$ dans un repère orthonormé.

Démontrer, à l'aide d'un produit scalaire, que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$.

On considère les droites $d_1$ d'équation $5x-3y-1=0$, $d_2$ d'équation $2x+3y-13=0$ et $d_3$ d'équation $x+y-5=0$.

1) Démontrer que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$.

2) Le point $I$ appartient-il à $d_3$ ? Que peut-on en conclure sur les trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ?

On donne la droite $d$ d'équation $2x-y+1=0$ et le point $M(7;0)$.

1) Donner un vecteur directeur de $d$, puis justifier qu'il s'agit d'un vecteur normal de la droite $(MH)$, où $H$ désigne le projeté orthogonal de $M$ sur $d$.

2) En déduire les coordonnées du point $H$.

3) Calculer la distance $MH$.

On donne la droite $d$ d'équation $3x-4y+6=0$, ainsi que les points $A(2;-5)$ et $B(-6;1)$.

1) Calculer la distance du point $A$ à la droite $d$.

2) Calculer la distance du point $B$ à la droite $d$.

3) Lequel des points $A$ ou $B$ est le plus proche de la droite $d$ ?

On considère, pour $k$ réel, l'équation $x^2+y^2+4x-2y+k=0$.

1) Mettre cette équation sous forme canonique en fonction de $k$.

2) Pour quelles valeurs de $k$ cette équation est-elle celle d'un cercle ?

3) Pour $k=1$, donner le centre et le rayon du cercle obtenu, puis indiquer si le point $(0;3)$ lui appartient.

On donne les points $A(-3;-1)$ et $B(5;7)$.

1) Déterminer une équation cartésienne du cercle $\mathcal{C}$ de diamètre $[AB]$.

2) Montrer que le point $C(-3;7)$ appartient à $\mathcal{C}$.

3) En déduire, en utilisant un produit scalaire, que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ et la droite $d$ d'équation $y=x+2$.

1) Montrer que $\mathcal{C}$ est bien un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

2) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $d$ et $\mathcal{C}$.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega (3;-2)$ et de rayon $5$, ainsi que les droites $d_1$ d'équation $4x-3y-30=0$ et $d_2$ d'équation $4x-3y+7=0$.

Étudier, sans résoudre de système, la position relative de chacune des deux droites par rapport au cercle $\mathcal{C}$.

On donne les points $A(1;1)$, $B(6;3)$, $C(8;8)$ et $D(3;6)$.

1) Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

2) Ce parallélogramme est-il un losange ? Est-il un rectangle ? Justifier.

On considère, pour $m$ réel, les droites $d_m$ d'équation $mx+2y-3=0$ et $d^{\prime }$ d'équation $x+(m-1)y+4=0$.

Discuter, selon les valeurs de $m$, la position relative de $d_m$ et $d^{\prime }$ (sécantes, strictement parallèles ou confondues).

On considère le triangle $ABC$ avec $A(7;7)$, $B(-1;5)$ et $C(1;-3)$.

Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis son rayon.

On considère les points $A(0;2)$, $B(6;5)$, $C(4;1)$ et $D(6;-5)$.

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

2) Le point $C$ appartient-il à la droite $(AB)$ ?

3) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur la droite $(AB)$.

4) Calculer la distance $DH$.

5) On note $\Gamma$ le cercle de centre $D$ et de rayon $DH$. Donner une équation cartésienne de $\Gamma$, puis justifier que la droite $(AB)$ est tangente à $\Gamma$.

Une capitainerie repère une zone côtière dans un plan muni d'un repère orthonormé, gradué en kilomètres. Un phare est situé au point $F(0;8)$. Un chenal rectiligne, emprunté par les navires, passe par les points $P(-3;4)$ et $Q(5;-2)$.

Une zone d'exclusion circulaire de rayon $5$ km est définie autour du phare $F$.

1) Déterminer une équation cartésienne du chenal $(PQ)$.

2) Montrer, sans résoudre de système, que le chenal est tangent à la zone d'exclusion.
3) Déterminer les coordonnées du point de contact entre le chenal et la zone d'exclusion.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$ et, pour $k$ réel, la droite $d_k$ d'équation $3x+4y+k=0$.

Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $d_k$ est tangente au cercle $\mathcal{C}$.

On considère le triangle $ABC$ avec $A(3;2)$, $B(7;5)$ et $C(9;-6)$.

1) Démontrer, à l'aide d'un produit scalaire, que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

2) En justifiant par une propriété du triangle rectangle, expliquer pourquoi le centre du cercle circonscrit à $ABC$ est le milieu du segment $[BC]$, puis donner ses coordonnées.

3) Déterminer le rayon, puis une équation cartésienne du cercle circonscrit à $ABC$.

4) Vérifier que le point $A$ appartient bien à ce cercle.

Sur la façade d'une banque ou sur un mur, on peut trouver un drôle de tag composé de formules mathématiques. Dans un repère orthonormé, il est formé des courbes représentatives des cinq fonctions suivantes :

• $f$ définie sur $[1;3]$ par $f(x)=2+\sqrt{-x^2+4x-3}$ ;
• $g$ définie sur $[3;5]$ par $g(x)=2+\sqrt{-x^2+8x-15}$ ;
• $h$ définie sur $[1;3]$ par $h(x)=-x+3$ ;
• $i$ définie sur $[3;5]$ par $i(x)=x-3$ ;
• $j$ définie sur $[0;6]$ par $j(x)=\frac{1}{2}x$.

L'objectif de l'activité est de décoder le message qui se cache derrière les expressions de ces cinq fonctions.

1. En posant $y=f(x)$, démontrer que la première expression peut s'écrire : $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=1$ avec $y\ge 2$.

2. Représenter l'ensemble des points de coordonnées $(x;y)$ vérifiant les conditions précédentes.

Faire de même avec l'expression de la fonction $g$, définie sur $[3;5]$ par $g(x)=2+\sqrt{-x^2+8x-15}$ : en posant $y=g(x)$, écrire cette expression sous la forme d'une équation de cercle accompagnée d'une condition sur $y$. Représenter ensuite, dans le même repère que la courbe de $f$, l'ensemble des points correspondants.

Finir de décoder le tag en représentant, dans le même repère, les fonctions affines $h$, $i$ et $j$ définies par :

• $h(x)=-x+3$ sur $[1;3]$ ;
• $i(x)=x-3$ sur $[3;5]$ ;
• $j(x)=\frac{1}{2}x$ sur $[0;6]$.

Avec les demi-cercles obtenus pour $f$ et $g$, quel dessin le tag représente-t-il ?