Exercices de Les suites en maths Première

1.Exercice 1

Une suite arithmétique

(u_{n})

vérifie

u_{3} = 11

u_{7} = 23

.

1. Calculer la raison

r

de cette suite arithmétique.
2. Retrouver

u_{0}

(le terme initial).
3. Donner l'expression explicite de

u_{n}

en fonction de

n

.
4. Calculer

u_{20}

2.Exercice 2

Une suite géométrique

(v_{n})

vérifie

v_{1} = 6

v_{4} = 48

.

1. Calculer la raison

q

de cette suite géométrique (on prendra

q > 0

).
2. Retrouver

v_{0}

.
3. Donner l'expression explicite de

v_{n}

en fonction de

n

.
4. Calculer

v_{6}

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3.Exercice 3

On place 500 € en banque au taux annuel de 4 %.

1. Si les intérêts sont capitalisés chaque année, montrer que le capital

C_{n}

après

n

années est une suite géométrique.
2. Donner l'expression de

C_{n}

, sa raison et son premier terme.
3. Calculer le capital après 10 ans (arrondir au centime).
4. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 700 € ? On pourra calculer les termes successifs.

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4. $Reconnaître une suite arithmétique définie par récurrence (réservoir d'eau)$

Un réservoir agricole contient initialement

800

litres d'eau. Chaque jour, on prélève

25

litres pour l'arrosage d'une serre. On note

u_{n}

le volume d'eau, en litres, restant dans le réservoir au bout de

n

jours, avec

u_{0} = 800

.

1. Exprimer

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

.
2. Justifier que la suite

(u_{n})

est arithmétique et préciser sa raison.
3. Calculer

u_{1}

u_{2}

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5. $Reconnaître une suite géométrique définie par récurrence (dépréciation d'un véhicule)$

La valeur d'un véhicule utilitaire vaut

18000

€ à son achat. Chaque année, sa valeur diminue de

12 %

par rapport à l'année précédente. On note

u_{n}

la valeur du véhicule, en euros, au bout de

n

années, avec

u_{0} = 18000

.

1. Exprimer

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

.
2. Justifier que la suite

(u_{n})

est géométrique et préciser sa raison

q

.
3. Calculer

u_{1}

, arrondi à l'euro près.

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6. $Calculer les premiers termes d'une suite géométrique (vues d'une vidéo)$

Le jour de sa mise en ligne, une vidéo comptabilise

50

vues. Le nombre de vues double chaque jour suivant. On note

u_{n}

le nombre de vues au bout de

n

jours, avec

u_{0} = 50

.

1. Justifier que

(u_{n})

est une suite géométrique et donner sa raison

q

.
2. Calculer

u_{1}

u_{2}

u_{3}

u_{4}

en détaillant le calcul à chaque étape.

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7. $Calculer un terme éloigné d'une suite arithmétique (installation de sièges)$

Un théâtre fait installer des sièges par étapes. Après la première étape d'installation, le théâtre compte

u_{1} = 150

sièges. Chaque étape suivante ajoute

8

sièges :

u_{n + 1} = u_{n} + 8

pour tout

n \geq 1

.

Calculer

u_{25}

, le nombre de sièges après la

25

-ième étape, sans calculer tous les termes intermédiaires.

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8. $Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique (cours d'une action)$

Le cours d'une action en bourse est multiplié par

q = 0, 93

chaque mois. On note

u_{n}

la valeur de l'action, en euros, au bout de

n

mois, avec

u_{0} = 250

.

Sans calculer aucun terme, déterminer le sens de variation de la suite

(u_{n})

, en justifiant à l'aide d'un critère du cours.

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9. $Associer trois nuages de points à leur type de suite$

On a représenté les premiers termes de trois suites

(a_{n})

(b_{n})

(c_{n})

par des points de coordonnées

(n; a_{n})

(n; b_{n})

(n; c_{n})

:

Suite

(a_{n})

A_{0} (0; 2)

A_{1} (1; 5)

A_{2} (2; 8)

A_{3} (3; 11)

, ces quatre points sont alignés.

Suite

(b_{n})

B_{0} (0; 1)

B_{1} (1; 2)

B_{2} (2; 4)

B_{3} (3; 8)

, ces points dessinent une courbe qui monte de plus en plus vite.

Suite

(c_{n})

C_{0} (0; 16)

C_{1} (1; 8)

C_{2} (2; 4)

C_{3} (3; 2)

, ces points dessinent une courbe qui descend en s'aplatissant.

Associer, en justifiant, chacune des trois suites à l'un des types suivants : arithmétique croissante, géométrique croissante, géométrique décroissante.

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Suite $(a_{n})$ : arithmétique croissante.
Les points sont alignés, ce qui est la signature graphique d'une suite arithmétique. On vérifie sur les valeurs :

5 - 2 = 3

8 - 5 = 3

11 - 8 = 3

: l'écart constant

r = 3 > 0

confirme une progression arithmétique croissante.

Suite $(b_{n})$ : géométrique croissante.
La courbe « monte de plus en plus vite » : c'est l'allure convexe caractéristique d'une suite géométrique de raison supérieure à

1

. On vérifie :

\frac{2}{1} = 2

\frac{4}{2} = 2

\frac{8}{4} = 2

: le quotient constant

q = 2 > 1

confirme une progression géométrique croissante.

Suite $(c_{n})$ : géométrique décroissante.
La courbe « descend en s'aplatissant » (et non en ligne droite) : c'est l'allure d'une suite géométrique de raison strictement comprise entre

0

1

. On vérifie :

\frac{8}{16} = 0, 5

\frac{4}{8} = 0, 5

\frac{2}{4} = 0, 5

: le quotient constant

q = 0, 5

confirme une progression géométrique décroissante (et non une droite décroissante, qui donnerait des écarts constants et non des quotients constants).

10. $Déterminer la nature de trois suites à partir de leur expression explicite$

On considère les trois suites suivantes, définies pour tout entier

n \geq 0

u_{n} = 4 n - 7 v_{n} = 6 \times 1, 5^{n} w_{n} = \frac{12}{n + 3}

Pour chacune, déterminer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en calculant

u_{n + 1} - u_{n}

et/ou

\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}

sur l'expression générale (et non sur des valeurs numériques particulières).

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11. $Trouver l'expression explicite d'une suite arithmétique connue à partir du rang 1 (fonds d'une bibliothèque)$

Une bibliothèque municipale comptait

u_{1} = 320

ouvrages à la fin de sa première année d'existence. Chaque année suivante, elle acquiert

45

nouveaux ouvrages, si bien que

u_{n + 1} = u_{n} + 45

pour tout entier

n \geq 1

.

1. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

, pour

n \geq 1

.
2. En déduire le nombre d'ouvrages au bout de la

10

-ième année, c'est-à-dire calculer

u_{10}

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12. $Modéliser deux clubs sportifs selon leur mode de croissance d'effectif$

Deux clubs sportifs comptaient chacun

150

adhérents en

2020

.

- Le club Alpha voit son effectif augmenter de

12

nouveaux adhérents chaque année.
- Le club Bêta voit son effectif augmenter de

12 %

chaque année.

On note

a_{n}

l'effectif du club Alpha et

b_{n}

l'effectif du club Bêta,

n

années après

2020

, avec

a_{0} = b_{0} = 150

.

1. Écrire la relation de récurrence vérifiée par

(a_{n})

, puis celle vérifiée par

(b_{n})

.
2. Préciser la nature de chacune des deux suites.
3. Calculer

a_{1}

b_{1}

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13. $Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique à partir de deux termes non consécutifs (population de bactéries)$

Une population de bactéries, observée en laboratoire, est modélisée par une suite géométrique

(u_{n})

à termes strictement positifs, où

u_{n}

désigne le nombre de bactéries (en milliers) après

n

heures. On sait que

u_{2} = 18

u_{5} = 486

.

Déterminer la raison

q

de la suite, puis son premier terme

u_{0}

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14. $Identifier raison et sens de variation dans une écriture non standard$

On considère les deux suites suivantes, définies pour tout entier

n \geq 0

u_{n} = 45 - 3 n v_{n} = 8 \times 0, 7 5^{n}

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique et donner sa raison

r

.
2. Justifier que

(v_{n})

est géométrique et donner sa raison

q

.
3. Déterminer le sens de variation de chacune des deux suites.

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15. $Compléter un tableau de valeurs puis représenter graphiquement une suite arithmétique$

On considère la suite

(u_{n})

définie pour tout entier

n \geq 0

par

u_{n} = 2 n + 5

.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :

n u_{n} 0 \dots 1 \dots 2 \dots 3 \dots 4 \dots 5 \dots

2. On place, dans un repère, les points de coordonnées

(n; u_{n})

pour les valeurs du tableau. Que peut-on observer sur ces points ? Justifier à l'aide de la nature de la suite.

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16. $Résoudre un problème de seuil pour une suite géométrique par tabulation (charge d'une batterie)$

La batterie d'un téléphone est chargée à

100 %

. À partir de cet instant, elle perd

15 %

de sa charge restante chaque heure d'utilisation intensive. On note

u_{n}

le pourcentage de charge restant au bout de

n

heures, avec

u_{0} = 100

.

1. Justifier que

(u_{n})

est géométrique et donner sa raison

q

.
2. À l'aide d'un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice (sans logarithme), déterminer à partir de combien d'heures pleines la charge de la batterie passe strictement sous la barre des

10 %

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17. $Comparer deux cotisations mensuelles, l'une arithmétique, l'autre géométrique (salles de sport)$

Deux salles de sport proposent chacune une cotisation mensuelle évolutive.

- Salle Endurance : la cotisation du premier mois est de

30

€, puis elle augmente de

2

€ chaque mois (frais d'entretien croissants). On note

u_{n}

cette cotisation au mois

n

, avec

u_{0} = 30

.
- Salle Vertige : la cotisation du premier mois est de

20

€, puis elle augmente de

8 %

chaque mois. On note

v_{n}

cette cotisation au mois

n

, avec

v_{0} = 20

.

1. Justifier la nature de chacune des deux suites et exprimer

u_{n}

v_{n}

en fonction de

n

.
2. À l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer à partir de quel mois

n

la cotisation de la salle Vertige dépasse celle de la salle Endurance. Vérifier que l'écart reste ensuite favorable à cette conclusion.

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18. $Comparer l'allure de deux plans d'épargne, l'un à montant fixe, l'autre à taux fixe$

Deux plans d'épargne démarrent tous les deux avec

500

€ en

2024

.

- Plan Étoile : il rapporte un montant fixe de

50

€ chaque année.
- Plan Nova : il rapporte un taux fixe de

5 %

chaque année.

On note

e_{n}

v_{n}

les montants disponibles sur chaque plan,

n

années après

2024

. Voici les valeurs obtenues pour les sept premières années :

n e_{n} v_{n} 05005001550525 2600 551, 25 3650 578, 81 4700 607, 75 5750 638, 14 6800 670, 05

1. Justifier que

(e_{n})

est arithmétique et que

(v_{n})

est géométrique, et préciser lequel des deux plans correspond au « montant fixe » et lequel au « taux fixe ».
2. Sur ces sept années, le plan Étoile reste toujours devant le plan Nova. Peut-on pour autant affirmer que le plan Étoile rapportera toujours plus, quelle que soit l'année considérée ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la nature des deux suites.

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19. $Choisir le bon modèle pour une flotte de vélos en libre-service et résoudre un problème de seuil$

Une entreprise de location de vélos en libre-service avait

40

vélos en

2021

(

n = 0

46

vélos en

2022

(

n = 1

) et

52

vélos en

2023

(

n = 2

). On suppose que la flotte évolue chaque année selon un même mécanisme, soit par ajout d'un nombre fixe de vélos, soit par multiplication par un facteur fixe.

1. À partir des trois valeurs connues, déterminer lequel des deux mécanismes est cohérent avec les données, en testant les deux hypothèses.
2. En déduire l'expression de

u_{n}

, le nombre de vélos

n

années après

2021

.
3. À partir de quelle année la flotte comptera-t-elle strictement plus de

100

vélos ?

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20. $Déterminer raison et premier terme d'une suite géométrique à partir d'une contrainte à deux termes$

La suite

(v_{n})

est géométrique à termes strictement positifs. On sait que

v_{2} = 18

v_{6} = 1458

.

Déterminer la raison

q

de la suite, puis son premier terme

v_{0}

. En déduire l'expression de

v_{n}

en fonction de

n

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21. $Étudier la nature d'une suite transformée à partir d'une suite arithmétique connue$

On considère la suite arithmétique

(u_{n})

de raison

r = 4

et de premier terme

u_{0} = 7

, si bien que

u_{n} = 7 + 4 n

pour tout

n \geq 0

.

1. On définit la suite

(v_{n})

par

v_{n} = 3 u_{n} - 5

pour tout

n \geq 0

. Montrer que

(v_{n})

est arithmétique et donner sa raison.
2. On définit la suite

(w_{n})

par

w_{n} = (u_{n})^{2}

pour tout

n \geq 0

. Un élève affirme que

(w_{n})

est également arithmétique, « puisqu'elle est construite à partir d'une suite arithmétique ». Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier à l'aide d'un contre-exemple chiffré.

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22. $Comparer deux protocoles d'entraînement sportif pour atteindre un objectif de distance$

Un athlète prépare une course de fond selon deux protocoles possibles, tous deux débutant à

4000

m le premier jour d'entraînement (

n = 0

).

- Protocole A : la distance augmente de

200

m chaque jour. On note

a_{n}

la distance parcourue au jour

n

.
- Protocole B : la distance augmente de

5 %

chaque jour. On note

b_{n}

la distance parcourue au jour

n

.

L'objectif est d'atteindre, un jour d'entraînement donné, une distance d'au moins

8000

m.

1. Exprimer

a_{n}

b_{n}

en fonction de

n

, en précisant la nature de chaque suite.
2. Déterminer avec quel protocole l'objectif est atteint le plus tôt, en précisant le jour correspondant pour chacun.

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23. $Trier cinq suites présentées sous des formes variées$

Pour chacune des cinq suites suivantes, déterminer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en justifiant à chaque fois par un calcul.

a)

(p_{n})

définie par

p_{0} = 6

p_{n + 1} = p_{n} - 2, 5

pour tout

n \geq 0

.

b)

(u_{n})

définie pour tout

n \geq 0

par

u_{n} = 7 \times 1, 2^{n}

.

c)

(c_{n})

donnée par le tableau de valeurs :

n c_{n} 0317213321

(d_{n})

telle que chaque terme s'obtient en ajoutant

3 %

du terme précédent à lui-même, avec

d_{0} = 40

.

e)

(t_{n})

définie pour tout

n \geq 0

par

t_{n} = 2^{n} + 3

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24. $Comparer la croissance de deux lichens selon deux hypothèses, avec conversion d'unité de temps$

Un biologiste étudie la propagation de deux lichens sur des troncs d'arbres différents, tous deux de diamètre initial

8

mm.

Partie A. Toutes les

20

minutes, le biologiste mesure le diamètre du premier lichen et constate qu'il augmente de

1, 2

mm à chaque mesure. On note

u_{n}

ce diamètre, en mm, après

n

mesures (donc après

20 n

minutes), avec

u_{0} = 8

.

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique et donner sa raison.
2. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.

Partie B. Le second lichen voit son diamètre multiplié par

1, 15

toutes les

30

minutes. On note

v_{n}

ce diamètre, en mm, après

n

mesures (donc après

30 n

minutes), avec

v_{0} = 8

.

3. Justifier que

(v_{n})

est géométrique et donner sa raison.
4. Exprimer

v_{n}

en fonction de

n

.

Partie C. Comparer les diamètres des deux lichens au bout de

3

heures d'observation, en veillant à utiliser pour chaque suite le rang

n

correspondant réellement à

3

heures.

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25. $Déterminer un paramètre inconnu dans un motif en escalier puis résoudre un seuil$

On construit un motif décoratif par étages successifs de carreaux carrés. Pour tout entier

n \geq 0

, on note

u_{n}

le nombre de nouveaux carreaux ajoutés lors de la construction de l'étage numéro

n

(et non le nombre total cumulé de carreaux). Le premier étage (

n = 0

) comporte

u_{0} = 5

carreaux, et le motif est construit de sorte que

(u_{n})

soit une suite arithmétique de raison

r

inconnue.

On sait que l'étage numéro

3

comporte

u_{3} = 20

nouveaux carreaux.

1. Déterminer la raison

r

de la suite

(u_{n})

.
2. En déduire l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

.
3. À partir de quel étage le nombre de nouveaux carreaux ajoutés dépassera-t-il strictement

100

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26. $Réfuter une conjecture fausse sur les suites « presque » géométriques$

Un camarade affirme : « Si, à chaque étape, un terme d'une suite est environ le double du terme précédent, alors cette suite est forcément géométrique de raison

2

. »

1. Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse en construisant un contre-exemple chiffré précis : donner quatre termes

u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}

d'une suite où chaque terme est visuellement « à peu près le double » du précédent, mais où l'on peut prouver par le calcul que la suite n'est pas géométrique de raison

2

.
2. Expliquer, en une phrase, l'erreur de raisonnement commise par le camarade.

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27. $Choisir le bon modèle parmi trois candidats pour une population d'abeilles$

Un apiculteur mesure, chaque mois, la population d'une colonie d'abeilles (en milliers d'individus) :

n population mesur \overset{e}{ˊ} e 012115218321424

Trois modèles sont proposés pour décrire cette évolution, tous avec

u_{0} = 12

:

- Modèle 1 : suite arithmétique de raison

r_{1} = 3

.
- Modèle 2 : suite arithmétique de raison

r_{2} = 2, 5

.
- Modèle 3 : suite géométrique de raison

q = 1, 2

.

1. En testant chaque modèle sur l'ensemble des valeurs mesurées, déterminer lequel est correct, et éliminer les deux autres à l'aide d'un écart numérique explicite.
2. À l'aide du modèle retenu, déterminer à partir de quel mois la population dépassera strictement

60

milliers d'individus.

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28. $Reconnaître une suite arithmétique définie par récurrence (recul d'un glacier)$

Le front d'un glacier de montagne recule chaque année. On modélise sa position, en mètres par rapport à un repère fixe, par une suite

(u_{n})

où

u_{n}

désigne la position du front au bout de

n

années, avec

u_{0} = 1200

. Chaque année, la position diminue de

8

mètres par rapport à l'année précédente.

1. Exprimer

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

.
2. Justifier que la suite

(u_{n})

est arithmétique et préciser sa raison.
3. Calculer

u_{1}

u_{2}

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29. $Reconnaître une suite géométrique définie par récurrence (population de poissons)$

Un étang compte initialement

5000

poissons. Chaque année, en raison de la pêche, la population diminue de

12%

par rapport à l'année précédente. On note

u_{n}

le nombre de poissons au bout de

n

années, avec

u_{0} = 5000

.

1. Exprimer

u_{n + 1}

en fonction de

u_{n}

.
2. Justifier que

(u_{n})

est géométrique et préciser sa raison

q

.
3. Calculer

u_{1}

u_{2}

(arrondir à l'unité si nécessaire).

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30. $Calculer les premiers termes d'une suite arithmétique (affluence d'un festival)$

Lors de la première séance d'un festival de musique,

300

spectateurs sont présents. Le nombre de spectateurs augmente ensuite de

45

personnes à chaque nouvelle séance. On note

u_{n}

le nombre de spectateurs à la séance

n

, avec

u_{1} = 300

et, pour tout entier

n \geq 1

u_{n + 1} = u_{n} + 45

.

1. Calculer

u_{2}

u_{3}

u_{4}

.
2. Quelle est la nature de la suite

(u_{n})

? Préciser sa raison.

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31. $Calculer un terme éloigné d'une suite géométrique (livret d'épargne)$

Un livret d'épargne est ouvert avec un capital initial de

3000

euros. Chaque année, ce capital est multiplié par

1, 025

(intérêts composés au taux annuel de

2, 5%

). On note

u_{n}

le capital, en euros, au bout de

n

années, avec

u_{0} = 3000

.

1. Justifier que

(u_{n})

est géométrique et donner sa raison

q

.
2. Donner l'expression de

u_{n}

en fonction de

n

.
3. Calculer le capital disponible au bout de

15

ans, arrondi au centime.

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32. $Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique (audience d'une émission de radio)$

L'audience hebdomadaire d'une émission de radio est modélisée par une suite

(u_{n})

où

u_{n}

désigne le nombre d'auditeurs, en milliers, la semaine

n

, avec

u_{0} = 80

et, pour tout entier

n

u_{n + 1} = 0, 95 u_{n}

.

1. Justifier que

(u_{n})

est géométrique et donner sa raison

q

.
2. Sans calculer les termes, déterminer le sens de variation de la suite

(u_{n})

. Justifier.

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33. $Associer trois nuages de points à leur type de croissance$

Trois horticulteurs suivent la hauteur, en centimètres, de trois plants différents, semaine après semaine, et représentent leurs mesures par un nuage de points (numéro de semaine en abscisse, hauteur en ordonnée) :

- Nuage 1 : les points sont alignés sur une droite croissante.
- Nuage 2 : les points sont de plus en plus hauts, avec des écarts entre points consécutifs qui augmentent (courbe convexe croissante).
- Nuage 3 : les points sont décroissants, avec des écarts entre points consécutifs qui diminuent rapidement.

Associer chaque nuage à l'un des types suivants, en justifiant : suite arithmétique croissante, suite géométrique croissante (raison

q > 1

), suite géométrique décroissante (raison

0 < q < 1

Voir le corrigé

Nuage 1

Des points alignés correspondent à une évolution par ajout d'une quantité constante d'une semaine à l'autre : c'est la signature d'une suite arithmétique croissante.

Nuage 2

Des écarts qui augmentent, avec une courbe qui monte de plus en plus vite (convexe), correspondent à une évolution par multiplication par un facteur constant supérieur à

1

: c'est la signature d'une suite géométrique croissante (

q > 1

).

Nuage 3

Une décroissance dont les écarts diminuent rapidement (la baisse ralentit en valeur absolue) correspond à une multiplication répétée par un facteur constant compris entre

0

1

: c'est la signature d'une suite géométrique décroissante (

0 < q < 1

).

*Piège évité* : sur un graphique peu précis, une suite géométrique décroissante peut ressembler à une droite décroissante (suite arithmétique) ; c'est l'évolution de l'écart entre points consécutifs qui permet de trancher, pas la seule décroissance globale.

34. $Étudier la nature de trois suites données par leur expression explicite$

On considère les trois suites définies pour tout entier naturel

n

par :

u_{n} = 7 n + 2, v_{n} = 4 \times 0, 6^{n}, w_{n} = (n + 1)^{2}

Pour chacune, déterminer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en justifiant par un calcul sur l'expression générale (et non sur des valeurs particulières).

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35. $Déterminer l'expression explicite d'une suite arithmétique connue à partir du rang 1 (reboisement)$

Une association plante des arbres chaque année dans une forêt. La première année (rang

1

120

arbres ont été plantés. Chaque année suivante,

18

arbres de plus sont plantés que l'année précédente. On note

u_{n}

le nombre d'arbres plantés l'année

n

, avec

u_{1} = 120

et, pour tout

n \geq 1

u_{n + 1} = u_{n} + 18

.

1. Justifier que

(u_{n})

est arithmétique de raison

18

.
2. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

(attention : le premier terme donné est

u_{1}

, pas

u_{0}

).
3. Calculer le nombre d'arbres plantés lors de la

20

e année.

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36. $Déterminer l'expression explicite d'une suite géométrique connue à un rang différent de 0 (abonnés d'un compte)$

Le nombre d'abonnés d'un compte de réseau social augmente de

20%

chaque mois. On note

u_{n}

le nombre d'abonnés au mois

n

; la suite

(u_{n})

est donc géométrique de raison

q = 1, 2

. On sait qu'au mois

2

, le compte comptait

u_{2} = 720

abonnés.

1. Exprimer

u_{2}

en fonction de

u_{0}

q

, puis en déduire

u_{0}

.
2. Exprimer

u_{n}

en fonction de

n

.
3. Calculer

u_{8}

, arrondi à l'unité.

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37. $Modéliser deux forfaits téléphoniques selon leur mode d'évolution tarifaire$

Deux opérateurs proposent un forfait dont le prix évolue chaque année. Le forfait A coûte

20

euros la première année (

n = 0

) et son prix augmente de

3%

chaque année. Le forfait B coûte

22

euros la première année et son prix augmente de

2

euros chaque année. On note

a_{n}

b_{n}

les prix, en euros, l'année

n

.

1. Écrire la relation de récurrence vérifiée par

(a_{n})

, puis celle vérifiée par

(b_{n})

.
2. Préciser la nature de chacune des deux suites (arithmétique ou géométrique) et donner sa raison.
3. Calculer

a_{1}

a_{2}

b_{1}

b_{2}

(arrondir

a_{1}

a_{2}

au centime).

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38. $Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs (audience d'une chaîne)$

Une chaîne vidéo en ligne gagne un nombre constant de nouveaux abonnés chaque mois. On note

u_{n}

le nombre total d'abonnés au mois

n

. On sait que la suite

(u_{n})

est arithmétique, que

u_{2} = 1200

u_{6} = 2000

.

1. Justifier que

u_{6} - u_{2} = 4 r

, où

r

est la raison de la suite.
2. En déduire la raison

r

.
3. En déduire

u_{0}

, le nombre d'abonnés au mois

0

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39. $Identifier raison et sens de variation d'une suite arithmétique écrite sous forme non standard (carburant d'un avion)$

La quantité de carburant restant dans le réservoir d'un avion, en litres, est modélisée par

u_{n} = 8000 - 150 n

, où

n

est le nombre de tranches de dix minutes écoulées depuis le décollage.

1. Vérifier que

(u_{n})

est arithmétique en calculant

u_{n + 1} - u_{n}

, et donner sa raison

r

(attention à l'écriture non standard de

u_{n}

).
2. En déduire le sens de variation de la suite.
3. Calculer

u_{0}

u_{1}

u_{2}

u_{3}

u_{4}

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40. $Calculer les termes d'une suite arithmétique et justifier l'alignement de son nuage de points (croissance d'un bambou)$

La hauteur d'un jeune bambou, en centimètres, est modélisée par une suite arithmétique

(u_{n})

où

u_{n}

est la hauteur au bout de

n

jours, avec

u_{0} = 20

et raison

r = 15

.

1. Compléter un tableau de valeurs de

u_{0}

u_{5}

.
2. Que peut-on dire de l'allure du nuage de points représentant

(n, u_{n})

? Justifier sans tracer.

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Reconnaître une suite arithmétique définie par récurrence (réservoir d'eau)

5.Reconnaître une suite géométrique définie par récurrence (dépréciation d'un véhicule)

6.Calculer les premiers termes d'une suite géométrique (vues d'une vidéo)

7.Calculer un terme éloigné d'une suite arithmétique (installation de sièges)

8.Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique (cours d'une action)

9.Associer trois nuages de points à leur type de suite

10.Déterminer la nature de trois suites à partir de leur expression explicite

11.Trouver l'expression explicite d'une suite arithmétique connue à partir du rang 1 (fonds d'une bibliothèque)

12.Modéliser deux clubs sportifs selon leur mode de croissance d'effectif

13.Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique à partir de deux termes non consécutifs (population de bactéries)

14.Identifier raison et sens de variation dans une écriture non standard

15.Compléter un tableau de valeurs puis représenter graphiquement une suite arithmétique

16.Résoudre un problème de seuil pour une suite géométrique par tabulation (charge d'une batterie)

17.Comparer deux cotisations mensuelles, l'une arithmétique, l'autre géométrique (salles de sport)

18.Comparer l'allure de deux plans d'épargne, l'un à montant fixe, l'autre à taux fixe

19.Choisir le bon modèle pour une flotte de vélos en libre-service et résoudre un problème de seuil

20.Déterminer raison et premier terme d'une suite géométrique à partir d'une contrainte à deux termes

21.Étudier la nature d'une suite transformée à partir d'une suite arithmétique connue

22.Comparer deux protocoles d'entraînement sportif pour atteindre un objectif de distance

23.Trier cinq suites présentées sous des formes variées

24.Comparer la croissance de deux lichens selon deux hypothèses, avec conversion d'unité de temps

25.Déterminer un paramètre inconnu dans un motif en escalier puis résoudre un seuil

26.Réfuter une conjecture fausse sur les suites « presque » géométriques

27.Choisir le bon modèle parmi trois candidats pour une population d'abeilles

28.Reconnaître une suite arithmétique définie par récurrence (recul d'un glacier)

29.Reconnaître une suite géométrique définie par récurrence (population de poissons)

30.Calculer les premiers termes d'une suite arithmétique (affluence d'un festival)

31.Calculer un terme éloigné d'une suite géométrique (livret d'épargne)

32.Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique (audience d'une émission de radio)

33.Associer trois nuages de points à leur type de croissance

34.Étudier la nature de trois suites données par leur expression explicite

35.Déterminer l'expression explicite d'une suite arithmétique connue à partir du rang 1 (reboisement)

36.Déterminer l'expression explicite d'une suite géométrique connue à un rang différent de 0 (abonnés d'un compte)

37.Modéliser deux forfaits téléphoniques selon leur mode d'évolution tarifaire

38.Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs (audience d'une chaîne)

39.Identifier raison et sens de variation d'une suite arithmétique écrite sous forme non standard (carburant d'un avion)

40.Calculer les termes d'une suite arithmétique et justifier l'alignement de son nuage de points (croissance d'un bambou)

4. $Reconnaître une suite arithmétique définie par récurrence (réservoir d'eau)$

5. $Reconnaître une suite géométrique définie par récurrence (dépréciation d'un véhicule)$

6. $Calculer les premiers termes d'une suite géométrique (vues d'une vidéo)$

7. $Calculer un terme éloigné d'une suite arithmétique (installation de sièges)$

8. $Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique (cours d'une action)$

9. $Associer trois nuages de points à leur type de suite$

10. $Déterminer la nature de trois suites à partir de leur expression explicite$

11. $Trouver l'expression explicite d'une suite arithmétique connue à partir du rang 1 (fonds d'une bibliothèque)$

12. $Modéliser deux clubs sportifs selon leur mode de croissance d'effectif$

13. $Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique à partir de deux termes non consécutifs (population de bactéries)$

14. $Identifier raison et sens de variation dans une écriture non standard$

15. $Compléter un tableau de valeurs puis représenter graphiquement une suite arithmétique$

16. $Résoudre un problème de seuil pour une suite géométrique par tabulation (charge d'une batterie)$

17. $Comparer deux cotisations mensuelles, l'une arithmétique, l'autre géométrique (salles de sport)$

18. $Comparer l'allure de deux plans d'épargne, l'un à montant fixe, l'autre à taux fixe$

19. $Choisir le bon modèle pour une flotte de vélos en libre-service et résoudre un problème de seuil$

20. $Déterminer raison et premier terme d'une suite géométrique à partir d'une contrainte à deux termes$

21. $Étudier la nature d'une suite transformée à partir d'une suite arithmétique connue$

22. $Comparer deux protocoles d'entraînement sportif pour atteindre un objectif de distance$

23. $Trier cinq suites présentées sous des formes variées$

24. $Comparer la croissance de deux lichens selon deux hypothèses, avec conversion d'unité de temps$

25. $Déterminer un paramètre inconnu dans un motif en escalier puis résoudre un seuil$

26. $Réfuter une conjecture fausse sur les suites « presque » géométriques$

27. $Choisir le bon modèle parmi trois candidats pour une population d'abeilles$

28. $Reconnaître une suite arithmétique définie par récurrence (recul d'un glacier)$

29. $Reconnaître une suite géométrique définie par récurrence (population de poissons)$

30. $Calculer les premiers termes d'une suite arithmétique (affluence d'un festival)$

31. $Calculer un terme éloigné d'une suite géométrique (livret d'épargne)$

32. $Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique (audience d'une émission de radio)$

33. $Associer trois nuages de points à leur type de croissance$

34. $Étudier la nature de trois suites données par leur expression explicite$

35. $Déterminer l'expression explicite d'une suite arithmétique connue à partir du rang 1 (reboisement)$

36. $Déterminer l'expression explicite d'une suite géométrique connue à un rang différent de 0 (abonnés d'un compte)$

37. $Modéliser deux forfaits téléphoniques selon leur mode d'évolution tarifaire$

38. $Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique à partir de deux termes non consécutifs (audience d'une chaîne)$

39. $Identifier raison et sens de variation d'une suite arithmétique écrite sous forme non standard (carburant d'un avion)$

40. $Calculer les termes d'une suite arithmétique et justifier l'alignement de son nuage de points (croissance d'un bambou)$