Exercices de Les suites, Première (page 3)

Un ballon d'eau chaude, percé accidentellement, contient initialement $300$ litres d'eau. Chaque heure qui passe, il perd $18$ litres par la fuite. On note $u_n$ le volume d'eau, en litres, restant dans le ballon au bout de $n$ heures, avec $u_0=300$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
2. Justifier que la suite $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.
3. Calculer $u_1$ et $u_2$.

Un influenceur compte $4000$ abonnés sur un réseau social. Chaque mois, son nombre d'abonnés augmente de $6\%$ par rapport au mois précédent. On note $u_n$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois, avec $u_0=4000$.

1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
2. Justifier que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison $q$.
3. Calculer $u_1$.

Dans une boulangerie industrielle, une culture de levure pèse $5$ grammes à l'instant initial. Placée en incubateur, sa masse triple toutes les heures. On note $u_n$ la masse de levure, en grammes, au bout de $n$ heures, avec $u_0=5$.

1. Justifier que $(u_n)$ est une suite géométrique et donner sa raison $q$.
2. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ en détaillant le calcul à chaque étape.

Une usine installe des capteurs de qualité sur une chaîne de production, par phases successives. Après la première phase d'installation, la chaîne compte $u_1=120$ capteurs. Chaque phase suivante ajoute $15$ capteurs à la chaîne : $u_{n+1}=u_n+15$ pour tout $n\ge 1$.

Calculer $u_{20}$, le nombre de capteurs après la $20$-ième phase, sans calculer tous les termes intermédiaires.

Un artisan verrier produit des vases en fin de saison. Le nombre de vases produits chaque jour est multiplié par $q=0,97$ par rapport à la veille, en raison d'un ralentissement progressif de l'activité. On note $u_n$ le nombre de vases produits au jour $n$, avec $u_0=50$.

Sans calculer aucun terme, déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$, en justifiant à l'aide d'un critère du cours.

On a représenté les premiers termes de trois suites $(d_n)$, $(e_n)$ et $(f_n)$ par des points de coordonnées $(n;d_n)$, $(n;e_n)$ et $(n;f_n)$ :

Suite $(d_n)$ : $D_0(0;3)$, $D_1(1;7)$, $D_2(2;11)$, $D_3(3;15)$, ces quatre points sont alignés.

Suite $(e_n)$ : $E_0(0;2)$, $E_1(1;3)$, $E_2(2;4,5)$, $E_3(3;6,75)$, ces points dessinent une courbe qui monte de plus en plus vite.

Suite $(f_n)$ : $F_0(0;81)$, $F_1(1;27)$, $F_2(2;9)$, $F_3(3;3)$, ces points dessinent une courbe qui descend en s'aplatissant.

Associer, en justifiant, chacune des trois suites à l'un des types suivants : arithmétique croissante, géométrique croissante, géométrique décroissante.

On considère les trois suites suivantes, définies pour tout entier $n\ge 0$ :$$u_n=5n+2v_n=3\times 0,6^n{w}_n=2n^2+1$$Pour chacune, déterminer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, en calculant $u_{n+1}-u_n$, $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et $w_{n+1}-w_n$ sur l'expression générale (et non sur des valeurs numériques particulières).

Une association d'entraide alimentaire a distribué $u_1=210$ colis lors de son premier mois d'activité. Chaque mois suivant, elle distribue $18$ colis de plus que le mois précédent, si bien que $u_{n+1}=u_n+18$ pour tout entier $n\ge 1$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour $n\ge 1$.
2. En déduire le nombre de colis distribués lors du $15$-ième mois, c'est-à-dire calculer $u_{15}$.

Deux ateliers de menuiserie comptaient chacun $80$ commandes en carnet en janvier.

- L'atelier Chêne voit son carnet de commandes augmenter de $15$ commandes chaque mois.
- L'atelier Érable voit son carnet de commandes augmenter de $15\%$ chaque mois.

On note $a_n$ le carnet de commandes de l'atelier Chêne et $b_n$ celui de l'atelier Érable, $n$ mois après janvier, avec $a_0=b_0=80$.

1. Écrire la relation de récurrence vérifiée par $(a_n)$, puis celle vérifiée par $(b_n)$.
2. Préciser la nature de chacune des deux suites.
3. Calculer $a_1$ et $b_1$.

Un vignoble enregistre le nombre de bouteilles produites chaque année, modélisé par une suite arithmétique $(u_n)$, où $u_n$ désigne le nombre de bouteilles produites $n$ années après une année de référence. On sait que $u_4=1250$ et $u_9=1600$.

Déterminer la raison $r$ de la suite, puis son premier terme $u_0$.

On considère les deux suites suivantes, définies pour tout entier $n\ge 0$ :$$u_n=90-7n{v}_n=10\times 1,2^n$$1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner sa raison $r$.
2. Justifier que $(v_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$.
3. Déterminer le sens de variation de chacune des deux suites.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 0$ par $u_n=3n+4$.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :$$\begin{array}{ccccccc}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ u_n& \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}$$2. On place, dans un repère, les points de coordonnées $(n;u_n)$ pour les valeurs du tableau. Que peut-on observer sur ces points ? Justifier à l'aide de la nature de la suite.

Une usine de recyclage de verre traitait $u_0=500$ tonnes de verre lors du premier mois observé. Chaque mois suivant, elle traite $80$ tonnes de plus que le mois précédent : $u_{n+1}=u_n+80$ pour tout entier $n\ge 0$.

Déterminer, par résolution d'une inéquation, à partir de quel mois $n$ le tonnage traité dépasse strictement $1500$ tonnes.

Dans une chambre froide, le taux d'humidité relative est de $100\%$ à la mise en route d'un déshumidificateur. Chaque heure de fonctionnement fait perdre $8\%$ du taux d'humidité restant. On note $u_n$ le taux d'humidité, en pourcentage, au bout de $n$ heures, avec $u_0=100$.

1. Justifier que $(u_n)$ est géométrique et donner sa raison $q$.
2. À l'aide d'un tableau de valeurs obtenu à la calculatrice (sans logarithme), déterminer à partir de combien d'heures pleines le taux d'humidité passe strictement sous la barre des $40\%$.

Une plateforme de modération en ligne a reçu $3$, puis $7$, puis $14$, puis $24$ signalements lors de ses quatre premières semaines d'activité. On note $u_0=3$, $u_1=7$, $u_2=14$, $u_3=24$ ces quatre valeurs.

La suite $(u_n)$ ainsi définie est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier en invalidant les deux critères.

Deux plateformes de covoiturage proposent chacune un compte de fidélité qui vaut $50$ € avant le premier trajet ($n=0$).

- La plateforme CoVoit ajoute une prime fixe de $4$ € à chaque trajet effectué. On note $u_n$ le montant du compte après $n$ trajets, avec $u_0=50$.
- La plateforme RoulEnsemble fait croître le compte de $6\%$ à chaque trajet effectué. On note $v_n$ le montant du compte après $n$ trajets, avec $v_0=50$.

1. Justifier la nature de chacune des deux suites et exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
2. À l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer à partir de quel trajet $n$ le compte de la plateforme RoulEnsemble dépasse celui de la plateforme CoVoit. Vérifier que l'écart reste ensuite favorable à cette conclusion.

Une entreprise fait évoluer son parc de serveurs informatiques selon deux hypothèses concurrentes, représentées par deux courbes non légendées sur un même repère : la courbe $P$, dont les points successifs sont $P_0(0;20)$, $P_1(1;24)$, $P_2(2;28)$, $P_3(3;32)$ (alignés), et la courbe $Q$, dont les points successifs sont $Q_0(0;20)$, $Q_1(1;25)$, $Q_2(2;31,25)$, $Q_3(3;39,0625)$ (courbe qui monte de plus en plus vite).

On sait par ailleurs qu'un technicien ajoute $4$ nouveaux serveurs chaque mois (montant fixe), tandis qu'un projet de virtualisation fait croître la capacité totale de $25\%$ chaque mois (taux fixe).

Associer, sans calcul supplémentaire, chacune des courbes $P$ et $Q$ à l'un de ces deux mécanismes, en justifiant par l'allure observée.

Une conserverie de légumes a traité $40$ tonnes de tomates lors de la première semaine de la saison ($n=1$). Un ingénieur affirme que la progression observée s'explique par un gain de productivité de $20\%$ par semaine grâce à l'automatisation récemment installée. On note $u_n$ le tonnage traité lors de la semaine $n$ (pour $n\ge 1$), avec $u_1=40$.

1. En admettant l'hypothèse de l'ingénieur, exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour $n\ge 1$.
2. On a par ailleurs mesuré $u_3=57,6$ tonnes lors de la troisième semaine. Ce résultat est-il cohérent avec l'hypothèse de l'ingénieur ?
3. En déduire le tonnage traité lors de la $6$-ième semaine.

Le nombre de capteurs connectés installés par une entreprise de domotique suit une suite arithmétique $(u_n)$, où $u_n$ désigne le nombre total de capteurs installés après $n$ mois de déploiement. On sait que $u_3=17$ et $u_8=42$.

Déterminer le premier terme $u_0$ et la raison $r$ de la suite, puis donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r=6$ et de premier terme $u_0=4$, si bien que $u_n=4+6n$ pour tout $n\ge 0$.

1. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=5u_n+2$ pour tout $n\ge 0$. Montrer que $(v_n)$ est arithmétique et donner sa raison.
2. On définit la suite $(w_n)$ par $w_n=n\times u_n$ pour tout $n\ge 0$. Un élève affirme que $(w_n)$ est également arithmétique, « puisqu'elle est construite à partir d'une suite arithmétique ». Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier à l'aide d'un contre-exemple chiffré.

Un apprenti musicien s'entraîne à jouer un morceau de plus en plus vite, mesuré en battements par minute (bpm). Les deux protocoles envisagés démarrent tous deux à $90$ bpm le premier jour d'entraînement ($n=0$).

- Protocole A : le tempo augmente de $6$ bpm chaque jour. On note $a_n$ le tempo atteint au jour $n$.
- Protocole B : le tempo augmente de $4\%$ chaque jour. On note $b_n$ le tempo atteint au jour $n$.

L'objectif est d'atteindre, un jour d'entraînement donné, un tempo d'au moins $180$ bpm.

1. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$, en précisant la nature de chaque suite.
2. Déterminer avec quel protocole l'objectif est atteint le plus tôt, en précisant le jour correspondant pour chacun.

On considère les cinq suites suivantes, présentées sous des formes différentes :

- $(a_n)$ : définie par $a_0=-3$ et $a_{n+1}=a_n+7$ pour tout $n\ge 0$.
- $(b_n)$ : définie pour tout $n\ge 0$ par $b_n=4\times 0,5^n$.
- $(c_n)$ : donnée par le tableau de valeurs suivant :$$\begin{array}{ccccc}n& 0& 1& 2& 3\\ c_n& 2& 5& 10& 17\end{array}$$- $(d_n)$ : le nombre de spectateurs présents à un festival, sachant qu'il y avait $12$ spectateurs la première semaine ($d_0=12$) et que ce nombre double chaque semaine.
- $(e_n)$ : définie pour tout $n\ge 0$ par $e_n=-3n+8$.

Pour chacune des cinq suites, indiquer si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, avec une justification.

À la suite d'une fuite accidentelle dans une usine chimique, deux capteurs indépendants mesurent la concentration d'un gaz dans l'air, en parties par million (ppm), à des fréquences différentes. On admet que la concentration relevée par le capteur Nord augmente d'une même quantité à chaque relevé, et que celle relevée par le capteur Sud augmente d'un même pourcentage à chaque relevé.

Partie A : Capteur Nord (relevé toutes les $15$ minutes)$$\begin{array}{ccccc}t\text{ (min)}& 0& 15& 30& 45\\ \text{concentration (ppm)}& 8& 11& 14& 17\end{array}$$On note $u_n$ la concentration mesurée par le capteur Nord après $n$ relevés de $15$ minutes (donc à l'instant $t=15n$ minutes), avec $u_0=8$.

1. Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et donner son expression en fonction de $n$.

Partie B : Capteur Sud (relevé toutes les $45$ minutes)$$\begin{array}{ccccc}t\text{ (min)}& 0& 45& 90& 135\\ \text{concentration (ppm)}& 8& 12& 18& 27\end{array}$$On note $v_k$ la concentration mesurée par le capteur Sud après $k$ relevés de $45$ minutes (donc à l'instant $t=45k$ minutes), avec $v_0=8$.

2. Justifier que $(v_k)$ est géométrique et donner son expression en fonction de $k$.

Partie C : Comparaison

3. Comparer les deux concentrations que relèveront les capteurs à l'instant $t=180$ minutes après la fuite.

Un vitrailliste réalise un motif en losanges concentriques : chaque nouvelle couronne de losanges entoure la précédente en ajoutant un nombre fixe de pièces de verre supplémentaires par rapport à la couronne précédente. On note $u_n$ le nombre de pièces de verre utilisées pour réaliser la couronne de rang $n$. On sait que le losange central (rang $0$) utilise $u_0=3$ pièces, et que la couronne de rang $3$ en utilise $u_3=15$.

1. En admettant que $(u_n)$ est arithmétique, déterminer sa raison $r$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. À partir de quel rang $n$ une couronne nécessite-t-elle strictement plus de $50$ pièces de verre ?

Un élève affirme : « Toute suite strictement décroissante et à termes strictement positifs est forcément géométrique, de raison $q$ strictement comprise entre $0$ et $1$. »

Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier la réponse à l'aide d'un contre-exemple chiffré précis.

Une exploitation agricole est alimentée en eau par deux réservoirs.

- Le réservoir Nord est relié à une rivière et reçoit un apport fixe de $50$ litres chaque semaine, dès la semaine $0$, où il contient $N_0=100$ litres.
- Le réservoir Sud, alimenté par une pompe solaire, n'est mis en service qu'à partir de la semaine $3$, où il contient $S_3=40$ litres ; à partir de cette semaine, son volume augmente ensuite de $25\%$ chaque semaine grâce à l'efficacité croissante du panneau solaire en début de saison.

1. Exprimer $N_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\ge 0$, puis $S_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\ge 3$.
2. À l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer à partir de quelle semaine $n$ le volume du réservoir Sud dépasse celui du réservoir Nord.

Une station de traitement des eaux usées mesure la turbidité de l'eau en sortie, en NTU (unités néphélométriques de turbidité), à quatre étapes successives de filtration. Voici les valeurs mesurées :$$\begin{array}{ccccc}n& 0& 1& 2& 3\\ \text{turbiditeˊ (NTU)}& 80& 68& 56& 44\end{array}$$Trois modèles sont proposés pour décrire l'évolution $(u_n)$ de la turbidité en fonction de l'étape $n$ :

- Modèle 1 : suite arithmétique de raison $r_1=-12$, avec $u_0=80$.
- Modèle 2 : suite arithmétique de raison $r_2=-10$, avec $u_0=80$.
- Modèle 3 : suite géométrique de raison $q=0,85$, avec $u_0=80$.

1. En testant chaque modèle sur l'ensemble des quatre valeurs mesurées, déterminer lequel est cohérent avec les données. Éliminer les deux autres par un contre-exemple numérique explicite.
2. À l'aide du modèle retenu, déterminer à partir de quelle étape $n$ la turbidité passe strictement sous la barre des $10$ NTU (seuil réglementaire de rejet).