Exercices de Probabilités conditionnelles et indépendance, Première

Un CDI dispose pour les élèves de deux types de livres : les livres à support numérique et les livres à support papier.
Le CDI constate que $82\%$ des livres empruntés sont à support papier.
Un livre est rendu dans les délais s'il est rendu dans les $4$ semaines suivant son emprunt.
La documentaliste affirme que $70\%$ des livres à support numérique sont rendus dans les délais et que $65\%$ des livres à support papier sont rendus dans les délais.

Calculer la probabilité qu'un livre choisi au hasard parmi les livres rendus dans les délais soit à support papier.

Inventer un énoncé dont le contexte et les données sont représentés par l'arbre pondéré ci-dessous, qui donne quelques probabilités et probabilités conditionnelles. Le premier niveau de l'arbre sépare les évènements $A$ et $\bar{A}$, le second niveau sépare $B$ et $\bar{B}$.$$\begin{array}{ll}P(A)=0,6& \\ & P_A(B)=0,7\\ & P_A(\bar{B})=0,3\\ P(\bar{A})=0,4& \\ & P_{\bar{A}}(B)=0,2\\ & P_{\bar{A}}(\bar{B})=0,8\end{array}$$L'énoncé pourra comprendre plusieurs questions.

Avec l'aimable autorisation de www.delucq.com

Coronavirus : le test PCR a deux gros défauts
Article du 20/05/2020
Matthieu Balu, journaliste au HuffPost

Pratiquée depuis le début du mois à grande échelle en Allemagne, en Italie ou aux États-Unis, cette méthode de dépistage (test PCR) a pour elle sa simplicité : un coton-tige vient racler la cavité nasale.

Une étude publiée à la mi-mai dans la revue *Annals of Internal Medecine* estime le taux de faux négatifs en moyenne à $20\%$ si le patient est testé après $7$ jours d'infection (beaucoup plus avant et au-delà), auquel il faut rajouter environ $1\%$ de faux positifs, ces personnes qui se penseront atteintes de la Covid alors qu'elles ne le sont pas.

Des chiffres d'erreur en baisse, mais qui peuvent toujours donner une image faussée de la cartographie du virus : c'est pour cela que le gouvernement, malgré sa confiance affichée, demande que l'on ne soit testé qu'après $7$ jours après avoir été en contact avec une personne qui se serait révélée infectée. C'est à ce moment que le virus est le plus présent de notre corps, le plus détectable par la procédure de test.

Pourtant ces sept jours eux-mêmes sont un problème important : en moyenne, les symptômes se déclarent après $4$ jours d'infection. C'est également après ces $4$ jours que l'on devient contagieux ; dans certains cas, la contagion a même été démontrée plus tôt encore. Cela signifie qu'il y a, en supposant que la personne testée se place d'elle-même en quarantaine en attendant les résultats du dépistage, au moins $3$ jours où l'on est très contagieux, et pas encore contrôlé.

Dans toute l'activité, on note respectivement $M$ et $T$ les événements « Être porteur de la Covid-19 » et « Avoir un test positif ».

Quels sont les deux gros défauts du test PCR évoqués dans le titre de l'article ?

Dans cette partie, on suppose que les tests PCR sont effectués sur une population dont le taux de personnes porteuses de la Covid-19 est égal à $3\%$. On rappelle que $M$ et $T$ désignent les événements « Être porteur de la Covid-19 » et « Avoir un test positif », et que l'article annonce $20\%$ de faux négatifs et $1\%$ de faux positifs.

1) Interpréter à l'aide de probabilités conditionnelles les deux taux donnés au début de l'article.
2) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
3) On choisit une personne au hasard. Calculer les probabilités suivantes :
a) La personne a un test positif.
b) Si le test est positif, la personne est porteuse du virus.
c) Si le test est négatif, la personne est saine.
4) Déduire des questions 3b et 3c, dans quel cas, le résultat du test PCR peut être ou ne pas être exploitable.

Dans cette partie, la proportion de personnes porteuses du virus n'est pas supposée connue. On la note alors $x$ (nombre compris entre $0$ et $1$). Les taux d'erreur du test sont inchangés : $20\%$ de faux négatifs et $1\%$ de faux positifs.

1) En s'aidant d'un arbre pondéré, prouver que $P(T)=0,79x+0,01$.

2) En déduire que $P_T(M)=\frac{0,8x}{0,79x+0,01}$.

3) Avec la calculatrice, tracer la courbe de la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :
$f(x)=\frac{0,8x}{0,79x+0,01}$.
À l'aide du graphique affiché, répondre aux questions suivantes :
a) Comment peut-on lire le résultat établi à la question 3b de la partie 1 ?
b) Que peut-on dire de la probabilité $P_T(M)$ en fonction de $x$ ? Interpréter.
c) À partir de quelle proportion $x$ a-t-on $P_T(M)>0,9$ ? Interpréter.

Dans une classe, on s'intéresse à deux caractères : $C$ : « l'élève vient au lycée en covoiturage » et $S$ : « l'élève est inscrit à l'option sport ». Voici quatre phrases tirées d'un compte-rendu d'enquête.

a) « 35 % des élèves de la classe viennent en covoiturage. »
b) « Parmi les élèves qui covoiturent, 40 % sont inscrits à l'option sport. »
c) « 14 % des élèves de la classe covoiturent et sont inscrits à l'option sport. »
d) « Parmi les élèves inscrits à l'option sport, 28 % covoiturent. »
1) Pour chacune des phrases a) à d), écrire la probabilité correspondante à l'aide des notations $P(C)$, $P(S)$, $P(C\cap S)$, $P_C(S)$ ou $P_S(C)$, en précisant s'il s'agit d'une probabilité simple, d'une intersection ou d'une probabilité conditionnelle.

2) Traduire par une phrase en français, sans donner de valeur numérique, la probabilité $P_{\bar{C}}(\bar{S})$.

Une association culturelle compte 180 adhérents. Parmi eux, 72 sont des adultes ; on note $A$ l'évènement « l'adhérent choisi au hasard est un adulte ». Parmi ces 72 adultes, 45 suivent aussi les cours de chant ; on note $B$ l'évènement « l'adhérent suit les cours de chant ».

Par ailleurs, parmi les adhérents non adultes (les jeunes), 81 ne suivent pas les cours de chant.

a) Calculer $P_A(B)$.

b) Combien l'association compte-t-elle de jeunes adhérents ? En déduire le nombre de jeunes qui suivent les cours de chant, puis calculer $P_{\bar{A}}(B)$.

c) Comparer $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'association.

Au CDI d'un lycée, on note $E$ l'évènement « l'élève emprunte un roman » et $F$ l'évènement « l'élève emprunte une bande dessinée », pour un élève choisi au hasard parmi les emprunteurs de la semaine.

On donne : $P(E\cap F)=0,12$ et $P_E(F)=0,30$.

1) Traduire chacune de ces deux égalités par une phrase en français, en veillant à bien distinguer « et » de « sachant ».
2) On apprend par ailleurs que « parmi les élèves qui empruntent une bande dessinée, 18 % empruntent aussi un roman ». Écrire cette information à l'aide d'une notation probabiliste.
3) Un élève affirme : « $P(E\cap F)$, c'est la probabilité qu'un élève emprunte un roman sachant qu'il a emprunté une BD. » Corriger cette affirmation.

Un club d'échecs compte 96 membres, répartis selon leur niveau (débutant ou confirmé) et leur âge (moins de 18 ans ou 18 ans et plus). On sait que :

le club compte 96 membres au total ; 54 membres ont moins de 18 ans ; 40 membres sont débutants ; parmi les membres de moins de 18 ans, 30 sont débutants.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Deˊbutant}& \text{Confirmeˊ}& \text{Total}\\ \text{Moins de 18 ans}& 30& ?& 54\\ \text{18 ans et plus}& ?& ?& ?\\ \text{Total}& 40& ?& 96\end{array}$$2) On choisit un membre au hasard parmi les 96. Calculer la probabilité qu'il soit confirmé sachant qu'il a moins de 18 ans.
3) Calculer la probabilité qu'il ait moins de 18 ans sachant qu'il est confirmé.

Sur le site d'un cinéma, chaque internaute qui réserve un billet est soit abonné (évènement $A$), soit au plein tarif (évènement $\bar{A}$). On sait que 30 % des internautes qui réservent sont abonnés. Parmi les abonnés, 90 % choisissent une séance en version originale (évènement $V$). Parmi les internautes au plein tarif, seuls 55 % choisissent une séance en version originale.

1) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant cette situation, en complétant toutes les probabilités manquantes, y compris celles des évènements contraires.$$\begin{array}{ll}P(A)=?& \\ & P_A(V)=?\\ & P_A(\bar{V})=?\\ P(\bar{A})=?& \\ & P_{\bar{A}}(V)=?\\ & P_{\bar{A}}(\bar{V})=?\end{array}$$2) Vérifier qu'à chaque nœud de l'arbre, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut bien 1.

Un distributeur automatique de boissons propose des boissons chaudes (évènement $C$) et des boissons froides (évènement $\bar{C}$). L'arbre pondéré complet ci-dessous décrit les commandes d'une journée, selon que le client ajoute du sucre (évènement $S$) ou non.$$\begin{array}{ll}P(C)=0,6& \\ & P_C(S)=0,65\\ & P_C(\bar{S})=0,35\\ P(\bar{C})=0,4& \\ & P_{\bar{C}}(S)=0,20\\ & P_{\bar{C}}(\bar{S})=0,80\end{array}$$1) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard commande une boisson chaude avec sucre.
2) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard commande une boisson froide sans sucre.
3) Un élève affirme que la probabilité de commander une boisson chaude sans sucre vaut $0,6\times 0,20$. Expliquer pourquoi il se trompe de chemin, sans calculer la valeur correcte.

Dans un salon de coiffure, 62 % de la clientèle d'une semaine sont des femmes, les autres clients étant des hommes. Parmi les clientes, 45 % repartent avec une coloration. Parmi les clients hommes, seuls 8 % repartent avec une coloration.

1) Construire entièrement l'arbre pondéré décrivant le sexe du client (évènement $F$ : « client femme », de complémentaire $\bar{F}$ : « client homme ») puis le fait de repartir avec une coloration (évènement $L$).

2) En déduire la probabilité qu'un client choisi au hasard dans la semaine reparte avec une coloration.

Un parking de centre commercial comprend une zone couverte, dans laquelle se gare 45 % des véhicules (évènement $C$), et une zone découverte pour les autres véhicules. On admet que 2 % des véhicules garés en zone couverte présentent une rayure en fin de journée (évènement $R$), contre 7 % de ceux garés en zone découverte.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré complet.
2) Montrer que la probabilité qu'un véhicule choisi au hasard présente une rayure en fin de journée est $P(R)=0,0475$.

On considère deux évènements $A$ et $B$ d'un même univers.

1) On donne $P(A)=0,4$, $P(B)=0,5$ et $P(A\cup B)=0,7$. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

2) On donne à présent $P(A)=0,3$, $P(B)=0,6$ et $P(A\cap B)=0,24$. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Une plateforme de streaming propose deux abonnements distincts : musique (évènement $M$) et vidéo (évènement $V$), qu'un utilisateur peut souscrire séparément, ensemble, ou ni l'un ni l'autre. Sur les 500 utilisateurs de la plateforme, 300 sont abonnés à la musique, et parmi eux 90 sont aussi abonnés à la vidéo. Au total, 150 utilisateurs sont abonnés à la vidéo.

1) Calculer $P(M)$, $P(V)$ et $P(M\cap V)$.

2) Les évènements $M$ et $V$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

3) Interpréter ce résultat dans le contexte de la plateforme.

Une municipalité interroge 250 habitants sur leurs habitudes de déplacement. Parmi les personnes interrogées, 150 ont moins de 40 ans (évènement $J$) et les 100 autres ont 40 ans ou plus. On note $V$ l'évènement « la personne utilise le vélo régulièrement pour se déplacer ». Parmi les moins de 40 ans, 96 utilisent le vélo régulièrement ; parmi les 40 ans et plus, 40 l'utilisent régulièrement.

1) Calculer $P_J(V)$ et $P_{\bar{J}}(V)$.

2) Calculer $P(V)$, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard utilise le vélo régulièrement.

3) L'usage régulier du vélo est-il indépendant de la tranche d'âge ? Justifier en comparant $P(V)$ à $P_J(V)$.

À la kermesse d'une école, une urne contient 60 tickets indiscernables au toucher : 36 tickets bleus et 24 tickets jaunes. Parmi les tickets bleus, 9 sont gagnants. Parmi les tickets jaunes, 10 sont gagnants. On tire un ticket au hasard. On note $B$ l'évènement « le ticket est bleu » et $G$ l'évènement « le ticket est gagnant ».

1) Calculer $P(B)$, $P_B(G)$ et $P_{\bar{B}}(G)$.

2) En déduire la probabilité que le ticket tiré soit bleu et gagnant, puis la probabilité que le ticket tiré soit gagnant.
3) Sachant que le ticket tiré est gagnant, quelle est la probabilité qu'il soit bleu ?

Une archère atteint la cible avec une probabilité de $0,75$ à chaque tir, indépendamment des tirs précédents. Elle effectue 3 tirs successifs. On note $R$ l'évènement « le tir est réussi » et $E$ l'évènement contraire « le tir est manqué ».

1) Calculer la probabilité de la séquence exacte « réussi, manqué, réussi » (dans cet ordre).
2) Calculer la probabilité de la séquence exacte « manqué, réussi, réussi » (dans cet ordre).
3) Expliquer pourquoi ces deux séquences, bien que différentes, ont la même probabilité.

Une entreprise fabrique un composant électronique dans trois usines. L'usine 1 assure 50 % de la production totale, l'usine 2 assure 30 % et l'usine 3 assure les 20 % restants. Le taux de pièces défectueuses est de 1 % pour l'usine 1 et de 5 % pour l'usine 3. Le taux de pièces défectueuses de l'usine 2 est inconnu, on le note $x$.

On sait par ailleurs qu'au global, la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production totale soit défectueuse vaut $0,024$.

1) En notant $D$ l'évènement « la pièce est défectueuse » et $U_1$, $U_2$, $U_3$ les évènements « la pièce provient de l'usine $i$ », exprimer $P(D)$ en fonction de $x$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

2) En déduire la valeur de $x$, le taux de pièces défectueuses de l'usine 2.

Sur un site de vente en ligne, on note $A$ l'évènement « l'utilisateur utilise la recherche avancée » et $B$ l'évènement « l'utilisateur utilise la liste de favoris ». On a établi que $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=0,25$ et $P(B)=0,4$.

1) Rappeler pourquoi, si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont également.

2) En déduire $P(A\cap \bar{B})$ sans reconstruire de tableau ni d'arbre.

3) Calculer également $P(\bar{A}\cap \bar{B})$.

Dans une exploitation agricole, 40 % des plants de tomates sont cultivés en sol argileux (évènement $A$), les 60 % restants en sol sableux (évènement $\bar{A}$). Un jaunissement des feuilles (évènement $J$) touche 25 % des plants en sol argileux, contre seulement 6 % des plants en sol sableux.

1) Calculer la probabilité qu'un plant choisi au hasard soit en sol argileux et présente un jaunissement.
2) Calculer la probabilité qu'un plant choisi au hasard présente un jaunissement des feuilles.
3) Sachant qu'un plant présente un jaunissement des feuilles, quelle est la probabilité qu'il soit cultivé en sol argileux ? Arrondir au millième.

Un fabricant d'ordinateurs s'approvisionne en cartes mémoire auprès de deux fournisseurs : le fournisseur X, qui livre 65 % du stock, et le fournisseur Y, qui livre les 35 % restants. Le taux de cartes défectueuses est de 1,5 % chez le fournisseur X et de 4 % chez le fournisseur Y. On prélève une carte au hasard dans le stock global. On note $D$ l'évènement « la carte est défectueuse ».

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Calculer la probabilité que la carte prélevée provienne du fournisseur X et soit défectueuse.
3) Calculer la probabilité que la carte prélevée soit défectueuse.
4) Sachant que la carte prélevée est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur X. Arrondir au millième.

Dans un tournoi de dés, on estime que 5 % des joueurs trichent en utilisant un dé truqué qui donne systématiquement un 6, alors que les autres joueurs utilisent un dé équilibré à six faces. Un tour est gagné lorsque le joueur obtient un 6. On note $T$ l'évènement « le joueur triche » et $G$ l'évènement « le joueur gagne le tour ».

1) Donner $P(T)$, $P_T(G)$ et $P_{\bar{T}}(G)$.

2) Calculer la probabilité qu'un joueur choisi au hasard triche et gagne le tour.
3) Calculer la probabilité qu'un joueur choisi au hasard gagne le tour.
4) Sachant qu'un joueur a gagné le tour, quelle est la probabilité qu'il ait triché ?

Un système de sécurité bancaire déclenche une alerte de fraude à chaque connexion suspecte avec une probabilité de $0,02$, indépendamment d'une connexion à l'autre. Un client effectue 3 connexions suspectes successives.

1) Calculer la probabilité qu'aucune des 3 connexions ne déclenche d'alerte.
2) En déduire la probabilité qu'au moins une alerte se déclenche sur les 3 connexions. Arrondir au millième.

Dans un jeu de société, un joueur tire d'abord une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (les cartes de 7 à As, dans les quatre couleurs). Si la carte tirée est une figure (valet, dame ou roi), le joueur pioche ensuite un jeton dans un sac A qui contient 10 jetons, dont 7 gagnants. Si la carte tirée n'est pas une figure, il pioche dans un sac B qui contient 15 jetons, dont 3 gagnants. On note $F$ l'évènement « la carte tirée est une figure » et $G$ l'évènement « le jeton pioché est gagnant ».

1) En dénombrant les cartes, calculer $P(F)$.

2) Donner $P_F(G)$ et $P_{\bar{F}}(G)$.

3) Calculer la probabilité que le joueur tire une figure et pioche un jeton gagnant.
4) En déduire la probabilité que le joueur pioche un jeton gagnant.

Un atelier de fabrication produit des pièces mécaniques à l'aide de trois machines. La machine M1 assure 40 % de la production totale de l'atelier, avec un taux de pièces défectueuses de 3 %. La machine M2 assure 35 % de la production, avec un taux de défaut de 2 %. La machine M3 assure le reste de la production, avec un taux de défaut de 6 %.

Déterminer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production totale de l'atelier soit défectueuse. Vous détaillerez entièrement votre démarche : modélisation, arbre ou formule utilisée, calcul.

Un test rapide permet de dépister une intolérance alimentaire. On estime que 4 % de la population générale présente cette intolérance (évènement $I$). Le test est positif chez 92 % des personnes réellement intolérantes, mais il est également positif, à tort, chez 6 % des personnes qui ne le sont pas. On note $T$ l'évènement « le test est positif ».

1) Représenter la situation par un arbre pondéré complet.
2) Calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit intolérante et obtienne un test positif.
3) Calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard obtienne un test positif.
4) Une personne obtient un test positif. Calculer la probabilité qu'elle soit réellement intolérante. Arrondir au centième, puis commenter ce résultat par rapport à l'intuition qu'un test « positif à 92 % chez les intolérants » pourrait suggérer.

On étudie, semaine après semaine, le réglage des notifications d'une application par un panel d'utilisateurs. Chaque semaine, un utilisateur est soit en mode « notifications activées » (évènement $A_n$ à la semaine $n$), soit en mode « silencieux » (${\bar{A}}_n$). On observe que :

si un utilisateur est en mode activé une semaine donnée, il reste en mode activé la semaine suivante avec une probabilité de $0,8$ ;

si un utilisateur est en mode silencieux une semaine donnée, il repasse en mode activé la semaine suivante avec une probabilité de $0,35$.

On note $p_n=P(A_n)$ la probabilité qu'un utilisateur choisi au hasard soit en mode activé à la semaine $n$.

1) En utilisant $A_n$ et ${\bar{A}}_n$ comme partition de l'univers à la semaine $n$, exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

2) On suppose qu'à la semaine 1, la moitié des utilisateurs sont en mode activé, soit $p_1=0,5$. Calculer $p_2$.

Un opérateur téléphonique propose trois forfaits : Éco, souscrit par 50 % de la clientèle, Confort, souscrit par 30 % de la clientèle, et Premium, souscrit par les 20 % restants. Chaque client peut en plus souscrire une option « assurance casse » (évènement $S$). Le taux de souscription à cette option est de 10 % chez les clients Éco et de 40 % chez les clients Premium. On sait par ailleurs que la probabilité qu'un client choisi au hasard soit à la fois abonné au forfait Confort et ait souscrit l'assurance vaut $0,075$.

1) Calculer le taux de souscription à l'assurance casse chez les clients du forfait Confort.
2) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard ait souscrit l'assurance casse.
3) Un client a souscrit l'assurance casse. Calculer, pour chacun des trois forfaits, la probabilité qu'il soit dans ce forfait sachant qu'il a souscrit l'assurance.
4) Quel est le forfait le plus probable pour un client ayant souscrit l'assurance casse ? Ce forfait est-il le même que le forfait le plus souscrit dans l'ensemble de la clientèle ?

Dans une médiathèque municipale, on s'intéresse à deux caractères concernant les usagers inscrits ce mois-ci : $N$ : « l'usager a emprunté un document numérique » et $J$ : « l'usager est inscrit dans la tranche jeunesse ». Voici quatre phrases extraites d'un bilan d'activité.

a) « 60 % des usagers ont emprunté un document numérique ce mois-ci. »
b) « Parmi les usagers ayant emprunté un document numérique, 30 % sont inscrits dans la tranche jeunesse. »
c) « 18 % des usagers ont emprunté un document numérique et sont inscrits dans la tranche jeunesse. »
d) « Parmi les usagers inscrits dans la tranche jeunesse, 45 % ont emprunté un document numérique ce mois-ci. »
1) Pour chacune des phrases a) à d), écrire la probabilité correspondante à l'aide des notations $P(N)$, $P(J)$, $P(N\cap J)$, $P_N(J)$ ou $P_J(N)$, en précisant s'il s'agit d'une probabilité simple, d'une intersection ou d'une probabilité conditionnelle.

2) Traduire par une phrase en français, sans donner de valeur numérique, la probabilité $P_{\bar{N}}(\bar{J})$.

3) Vérifier que les trois valeurs numériques des phrases a), b) et c) sont cohérentes entre elles.

Un club nautique propose un stage d'été regroupant 80 stagiaires. Parmi eux, 50 sont inscrits au niveau intermédiaire ; on note $I$ l'évènement « le stagiaire choisi au hasard est de niveau intermédiaire ». Parmi ces 50 stagiaires de niveau intermédiaire, 35 obtiennent le brevet de skipper en fin de stage ; on note $B$ l'évènement « le stagiaire obtient le brevet de skipper ».

On choisit un stagiaire au hasard parmi les 80.

1) Calculer $P(I)$.

2) Calculer $P_I(B)$, la probabilité qu'un stagiaire obtienne le brevet sachant qu'il est de niveau intermédiaire. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible puis sous forme décimale arrondie au centième.

3) Un stagiaire annonce : « J'ai obtenu le brevet, donc j'étais forcément de niveau intermédiaire. » Ce raisonnement est-il valide ? Justifier sans calcul supplémentaire.

Un parc zoologique étudie la fréquentation d'une journée. On note $E$ l'évènement « le visiteur choisi au hasard est un enfant (moins de 12 ans) » et $V$ l'évènement « le visiteur a participé à la visite guidée ». Une étude statistique donne :$$P(E\cap V)=0,22\text{et}{P}_E(V)=0,55$$1) Traduire chacune de ces deux égalités par une phrase en français.
2) En déduire la valeur de $P(E)$.

3) Sachant de plus que $P(V)=0,40$, calculer $P_V(E)$, la probabilité qu'un visiteur ayant participé à la visite guidée soit un enfant.

Un lycée interroge ses 200 demi-pensionnaires sur un nouveau menu végétarien proposé une fois par semaine. L'échantillon compte 100 garçons et 100 filles. Parmi les garçons interrogés, 80 apprécient ce menu. Au total, sur l'ensemble des 200 élèves, 130 apprécient ce menu.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Appreˊcie}& \text{N’appreˊcie pas}& \text{Total}\\ \text{Garc¸ons}& 80& ?& 100\\ \text{Filles}& ?& ?& 100\\ \text{Total}& 130& ?& 200\end{array}$$2) On choisit un élève au hasard parmi les 200. Calculer la probabilité qu'il apprécie le menu sachant que c'est un garçon, puis sachant que c'est une fille.
3) Calculer la probabilité que l'élève choisi soit une fille sachant qu'il apprécie le menu.

Le propriétaire d'un gîte rural étudie le mode d'arrivée de ses clients et leur choix d'option petit-déjeuner. D'après son registre de réservations :

- 70 % des clients arrivent en voiture, les autres arrivent en train.
- Parmi les clients arrivant en voiture, 40 % choisissent l'option petit-déjeuner.
- Parmi les clients arrivant en train, 80 % choisissent l'option petit-déjeuner.

On choisit un client au hasard et on note $V$ l'évènement « le client arrive en voiture » et $D$ l'évènement « le client choisit l'option petit-déjeuner ».

1) Représenter la situation par un arbre pondéré complet à deux niveaux (on précisera les quatre probabilités du second niveau).
2) Calculer $P(V\cap D)$.

3) Calculer $P(\bar{V}\cap D)$.

À une gare, une borne automatique de vente de billets est utilisée par de nombreux clients. On sait que 65 % des clients paient par carte bancaire, les autres payant en espèces. Parmi les clients payant par carte, 12 % rencontrent un incident technique (transaction refusée au premier essai). On note $C$ l'évènement « le client paie par carte » et $R$ l'évènement « le client rencontre un incident technique ».

1) Donner, sans calcul, les valeurs de $P(C)$ et de $P_C(R)$.

2) Calculer $P(C\cap R)$, la probabilité qu'un client choisi au hasard paie par carte et rencontre un incident technique.

3) Un employé affirme que cela concerne « environ 8 clients sur 100 ». Ce chiffre est-il cohérent avec le calcul précédent ?

Un club sportif compte 300 licenciés : 180 hommes et 120 femmes. Parmi les hommes, 108 participent à des compétitions. Parmi les femmes, 30 participent à des compétitions.

1) Calculer la probabilité $P(H)$ qu'un licencié choisi au hasard soit un homme, ainsi que $P(F)$ qu'il soit une femme.

2) Calculer $P_H(C)$ et $P_F(C)$, où $C$ désigne l'évènement « le licencié participe à des compétitions ».

3) Représenter la situation par un arbre pondéré à deux niveaux (sexe, puis participation aux compétitions), en indiquant toutes les probabilités.
4) En déduire la probabilité $P(C)$ qu'un licencié choisi au hasard participe à des compétitions.

Une bibliothèque possède 1 000 ouvrages répartis en trois genres : 500 romans, 300 bandes dessinées (BD) et 200 documentaires. Chaque ouvrage existe soit en format papier, soit en format numérique. On dénombre 150 romans au format numérique, 210 BD au format numérique et 40 documentaires au format numérique.

1) Calculer la probabilité qu'un ouvrage choisi au hasard soit au format numérique sachant que c'est un roman, sachant que c'est une BD, puis sachant que c'est un documentaire.
2) Vérifier que la somme des probabilités obtenues « format papier sachant le genre » et « format numérique sachant le genre » vaut bien 1 pour chacun des trois genres.
3) Calculer la probabilité qu'un ouvrage choisi au hasard parmi les 1 000 soit au format numérique.
4) Calculer la probabilité qu'un ouvrage choisi au hasard parmi les ouvrages numériques soit un roman.

Une entreprise de livraison traite chaque jour un grand nombre de colis. 70 % des colis sont expédiés en mode standard, les autres en mode express. Parmi les colis standard, 8 % arrivent en retard. Parmi les colis express, 2 % arrivent en retard.

On choisit un colis au hasard parmi ceux traités dans la journée.

1) À partir du texte, construire l'arbre pondéré complet associé à cette situation (on notera $S$ l'évènement « le colis est standard » et $R$ l'évènement « le colis arrive en retard »).

2) Calculer la probabilité qu'un colis soit standard et arrive en retard.
3) Calculer la probabilité qu'un colis choisi au hasard arrive en retard.
4) Le directeur affirme que « moins de 1 colis sur 15 arrive en retard ». A-t-il raison ?

Dans une auto-école, 55 % des candidats réussissent l'examen du permis de conduire dès la première présentation. Parmi ceux qui échouent la première fois, 70 % se représentent et réussissent lors de la seconde tentative ; les autres abandonnent ou échouent également à la seconde tentative.

On suit un candidat choisi au hasard et on note $R_1$ l'évènement « le candidat réussit dès la première présentation » et $R$ l'évènement « le candidat finit par réussir (première ou seconde tentative) ».

1) Construire l'arbre pondéré de la situation.
2) Montrer que $P(R)=0,865$.

3) En déduire la probabilité qu'un candidat n'obtienne jamais son permis à l'issue de ces deux tentatives possibles.