Exercices de Probabilités conditionnelles et indépendance, Première (page 3)

Dans une salle d'escalade, on étudie la fidélité des grimpeurs semaine après semaine. On note $E_n$ l'évènement « un grimpeur donné vient s'entraîner la semaine $n$ » et $p_n=P(E_n)$. L'observation sur plusieurs saisons montre que, si un grimpeur est venu la semaine $n$, il revient la semaine $n+1$ avec une probabilité de $0,75$ ; s'il n'est pas venu la semaine $n$, il vient malgré tout la semaine $n+1$ avec une probabilité de $0,20$.

1) Représenter, à l'aide d'un arbre, la transition de la semaine $n$ à la semaine $n+1$, les probabilités du premier niveau étant exprimées en fonction de $p_n$.

2) En utilisant la formule des probabilités totales appliquée à la partition $\{E_n,\overline{E_n}\}$, montrer que $p_{n+1}=0,55p_n+0,20$.

3) Sachant que $p_1=0,40$ (40 % des grimpeurs sont présents la première semaine étudiée), calculer $p_2$.

Une plateforme d'e-learning propose trois formules d'abonnement : Basique, choisie par 50 % des abonnés, Standard, choisie par 30 % des abonnés, et Premium, choisie par les 20 % restants. Parmi les abonnés Basique, 5 % souscrivent en plus à un coaching individuel (évènement $Co$). Parmi les abonnés Premium, 60 % souscrivent au coaching individuel. Le taux de souscription au coaching chez les abonnés Standard est inconnu, on le note $y$. On sait que la probabilité qu'un abonné choisi au hasard soit en formule Standard ET ait souscrit au coaching vaut $0,084$.

1) Déterminer $y$.

2) En déduire $P(Co)$, la probabilité globale de souscription au coaching individuel.

3) Sachant qu'un abonné a souscrit au coaching individuel, quelle est la formule la plus probable ? Justifier en calculant les trois probabilités conditionnelles, arrondies au millième.

Un festival de cinéma accueille 500 spectateurs sur une soirée. Parmi eux, 320 sont des spectateurs abonnés au festival (évènement $Ab$), les autres étant des spectateurs occasionnels (évènement $\overline{Ab}$). Le tableau croisé ci-dessous donne leur répartition selon le film choisi entre une séance en avant-première (évènement $Av$) et une séance rétrospective (évènement $R\acute{e}$).$$\begin{array}{cccc}& \text{Avant-premieˋre}& \text{Reˊtrospective}& \text{Total}\\ \text{Abonneˊs}& 224& ?& 320\\ \text{Occasionnels}& ?& 90& 180\\ \text{Total}& ?& ?& 500\end{array}$$1) Compléter le tableau.
2) Un spectateur est choisi au hasard. Construire l'arbre pondéré associé, en prenant le statut (abonné ou occasionnel) comme premier niveau, puis le choix du film.
3) Calculer $P(Ab\cap Av)$, puis retrouver par le calcul la probabilité totale $P(Av)$ qu'un spectateur ait choisi l'avant-première.

4) Le choix du film est-il indépendant du statut du spectateur ? Justifier en comparant $P_{Ab}(Av)$ et $P(Av)$.

Dans un centre de documentation universitaire, on s'intéresse à deux caractères parmi les étudiants inscrits, pour un étudiant choisi au hasard : $P$ : « l'étudiant consulte des ouvrages papier » et $L$ : « l'étudiant consulte des ressources en ligne ». Voici quatre phrases tirées d'un bilan d'activité.

a) « 55 % des étudiants inscrits consultent des ouvrages papier. »
b) « Parmi les étudiants qui consultent des ouvrages papier, 20 % consultent aussi des ressources en ligne. »
c) « 11 % des étudiants inscrits consultent à la fois des ouvrages papier et des ressources en ligne. »
d) « Parmi les étudiants qui consultent des ressources en ligne, 22 % consultent aussi des ouvrages papier. »
1) Pour chacune des phrases a) à d), écrire la probabilité correspondante à l'aide des notations $P(P)$, $P(L)$, $P(P\cap L)$, $P_P(L)$ ou $P_L(P)$, en précisant s'il s'agit d'une probabilité simple, d'une intersection ou d'une probabilité conditionnelle.

2) Traduire par une phrase en français, sans donner de valeur numérique, la probabilité $P_{\bar{P}}(\bar{L})$.

Un club de photographie compte 150 adhérents. Parmi eux, 60 pratiquent la photographie argentique ; on note $A$ l'évènement « l'adhérent choisi au hasard pratique la photographie argentique ». Parmi ces 60 adhérents argentiques, 18 disposent de leur propre laboratoire de développement ; on note $L$ l'évènement « l'adhérent dispose de son propre laboratoire ».

Par ailleurs, parmi les adhérents qui ne pratiquent pas l'argentique, 54 ne disposent pas de laboratoire.

a) Calculer $P_A(L)$.

b) Combien le club compte-t-il d'adhérents ne pratiquant pas l'argentique ? En déduire le nombre de ces adhérents disposant tout de même d'un laboratoire, puis calculer $P_{\bar{A}}(L)$.

c) Comparer $P_A(L)$ et $P_{\bar{A}}(L)$ et interpréter le résultat dans le contexte du club.

Dans un cabinet médical, on note $O$ l'évènement « le patient reçoit une ordonnance pour un antibiotique » et $R$ l'évènement « le patient a un rendez-vous de suivi programmé », pour un patient consultant pris au hasard un jour donné.

On donne : $P(O\cap R)=0,09$ et $P_O(R)=0,30$.

1) Traduire chacune de ces deux égalités par une phrase en français, en veillant à bien distinguer « et » de « sachant ».
2) On apprend par ailleurs que « parmi les patients ayant un rendez-vous de suivi programmé, 18 % reçoivent une ordonnance pour un antibiotique ». Écrire cette information à l'aide d'une notation probabiliste.
3) Un patient affirme : « $P(O\cap R)$, c'est la probabilité qu'un patient reçoive une ordonnance sachant qu'il a un rendez-vous de suivi. » Corriger cette affirmation.

Un garage automobile a réalisé 120 révisions au cours du mois, réparties selon le type de motorisation (essence ou diesel) et la formule choisie (révision complète ou révision simple). On sait que :

le garage a réalisé 120 révisions au total ; 70 révisions concernent des véhicules essence ; 45 révisions au total sont des révisions complètes ; parmi les véhicules essence, 30 révisions sont des révisions complètes.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Compleˋte}& \text{Simple}& \text{Total}\\ \text{Essence}& 30& ?& 70\\ \text{Diesel}& ?& ?& ?\\ \text{Total}& 45& ?& 120\end{array}$$2) On choisit une révision au hasard parmi les 120. Calculer la probabilité qu'elle soit une révision complète sachant qu'elle concerne un véhicule essence.
3) Calculer la probabilité qu'elle concerne un véhicule essence sachant qu'il s'agit d'une révision complète.

Dans une laverie automatique, chaque client qui lance une machine choisit un programme court (évènement $C$) ou un programme long (évènement $\bar{C}$). On sait que 70 % des clients choisissent le programme court. Parmi les clients au programme court, 25 % ajoutent de l'assouplissant (évènement $A$). Parmi les clients au programme long, 55 % ajoutent de l'assouplissant.

1) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant cette situation, en complétant toutes les probabilités manquantes, y compris celles des évènements contraires.$$\begin{array}{ll}P(C)=?& \\ & P_C(A)=?\\ & P_C(\bar{A})=?\\ P(\bar{C})=?& \\ & P_{\bar{C}}(A)=?\\ & P_{\bar{C}}(\bar{A})=?\end{array}$$2) Vérifier qu'à chaque nœud de l'arbre, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut bien 1.

Dans un restaurant, chaque client qui prend une entrée choisit soit une salade (évènement $S$), soit une soupe (évènement $\bar{S}$). L'arbre pondéré complet ci-dessous décrit les choix d'une soirée, selon que le client prend ensuite un dessert (évènement $D$) ou non.$$\begin{array}{ll}P(S)=0,55& \\ & P_S(D)=0,40\\ & P_S(\bar{D})=0,60\\ P(\bar{S})=0,45& \\ & P_{\bar{S}}(D)=0,65\\ & P_{\bar{S}}(\bar{D})=0,35\end{array}$$1) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne une salade suivie d'un dessert.
2) Calculer la probabilité qu'un client choisi au hasard prenne une soupe sans dessert.
3) Un élève affirme que la probabilité de prendre une soupe suivie d'un dessert vaut $0,55\times 0,65$. Expliquer pourquoi il se trompe de chemin, sans calculer la valeur correcte.

Un conservatoire de musique compte 140 élèves, répartis selon leur famille d'instrument (cordes ou vents) et leur niveau (avancé ou débutant), résumés dans le tableau d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Avanceˊ}& \text{Deˊbutant}& \text{Total}\\ \text{Cordes}& 63& 21& 84\\ \text{Vents}& 14& 42& 56\\ \text{Total}& 77& 63& 140\end{array}$$On choisit un élève au hasard parmi les 140. On note $C$ l'évènement « l'élève joue d'un instrument à cordes » et $Av$ l'évènement « l'élève est de niveau avancé ».

1) À partir du tableau, construire l'arbre pondéré dont le premier niveau correspond à la famille d'instrument et le second niveau au niveau de l'élève : donner $P(C)$, $P_C(Av)$, $P_{\bar{C}}(Av)$ et leurs contraires.

2) Retrouver, à l'aide de la formule des probabilités totales appliquée à cet arbre, la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit de niveau avancé, et vérifier ce résultat directement à partir du tableau.

Au rayon boulangerie d'un supermarché, 200 pains sont vendus au cours d'une journée, répartis en trois types : baguette, pain de campagne et pain complet, chacun étant vendu soit frais soit surgelé. Voici les données de la journée :

110 baguettes ont été vendues, dont 100 fraîches ; 60 pains de campagne ont été vendus, dont 18 surgelés ; 30 pains complets ont été vendus ; au total sur la journée, 40 pains vendus étaient surgelés.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Frais}& \text{Surgeleˊ}& \text{Total}\\ \text{Baguette}& 100& ?& 110\\ \text{Campagne}& ?& 18& 60\\ \text{Complet}& ?& ?& 30\\ \text{Total}& ?& 40& 200\end{array}$$2) Calculer la probabilité qu'un pain vendu au hasard dans la journée soit un pain complet vendu surgelé.
3) Calculer $P_{\text{Complet}}(\text{Frais})$ et $P_{\text{Complet}}(\text{Surgeleˊ})$, puis vérifier que leur somme vaut 1.

Une entreprise de nettoyage compte des clients particuliers et des clients professionnels parmi sa clientèle active. 65 % de la clientèle est composée de particuliers, le reste étant des clients professionnels. Parmi les clients particuliers, 15 % ont signé un contrat mensuel récurrent. Parmi les clients professionnels, 72 % ont signé un tel contrat.

1) Construire entièrement l'arbre pondéré décrivant le type de client (évènement $Pa$ : « client particulier », de complémentaire $\overline{Pa}$ : « client professionnel ») puis la signature d'un contrat mensuel récurrent (évènement $M$).

2) En déduire la probabilité qu'un client choisi au hasard parmi la clientèle active ait signé un contrat mensuel récurrent.

Dans un aéroport, 65 % des bagages enregistrés sont mis en soute (évènement $S$), les autres étant transportés en cabine. On admet que 3 % des bagages en soute arrivent avec du retard sur le tapis de récupération (évènement $R$), contre 0,5 % des bagages en cabine.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré complet.
2) Montrer que la probabilité qu'un bagage choisi au hasard arrive avec du retard est $P(R)=0,02125$.

Dans le parc informatique d'une entreprise, on note $M$ l'évènement « l'ordinateur a une mise à jour de sécurité en attente » et $A$ l'évènement « l'ordinateur a un antivirus actif », pour un poste tiré au sort.

1) On donne $P(M)=0,4$, $P(A)=0,35$ et $P(M\cap A)=0,14$. Les évènements $M$ et $A$ sont-ils indépendants ?

2) Sur un autre parc informatique, on donne $P(M)=0,4$, $P(A)=0,35$ et $P(M\cap A)=0,10$. Les évènements $M$ et $A$ sont-ils indépendants ?

Un fablab dispose de deux imprimantes 3D. L'imprimante Alpha est utilisée pour 55 % des impressions lancées (évènement $Al$), l'imprimante Beta pour les 45 % restants. Une impression est réussie du premier coup (évènement $R$) avec une probabilité de 0,9 sur l'imprimante Alpha, contre 0,75 sur l'imprimante Beta.

1) Calculer la probabilité qu'une impression choisie au hasard soit lancée sur l'imprimante Alpha et réussie du premier coup.
2) En déduire la probabilité qu'une impression choisie au hasard soit réussie du premier coup.
3) Le choix de l'imprimante et la réussite du premier coup sont-ils indépendants ? Justifier en comparant $P_{Al}(R)$ et $P(R)$.

Un joueur de fléchettes touche la zone centrale avec une probabilité de $0,4$ à chaque lancer, indépendamment des lancers précédents. Il effectue 3 lancers successifs. On note $T$ l'évènement « le lancer touche la zone centrale » et $M$ l'évènement contraire « le lancer manque la zone centrale ».

1) Calculer la probabilité de la séquence exacte « touché, manqué, touché » (dans cet ordre).
2) Calculer la probabilité de la séquence exacte « manqué, manqué, touché » (dans cet ordre).
3) Un joueur affirme que la probabilité d'obtenir exactement deux fléchettes dans la zone centrale sur les 3 lancers est directement donnée par la réponse à la question 1). Expliquer pourquoi c'est incomplet.

Une laiterie produit des yaourts sur trois lignes de production. La ligne 1 assure 45 % de la production totale, la ligne 2 assure 35 % et la ligne 3 les 20 % restants. Le taux de yaourts non conformes est de 1 % pour la ligne 1 et de 3 % pour la ligne 3. Le taux de non-conformité de la ligne 2 est inconnu ; on le note $x$.

On sait par ailleurs qu'au global, la probabilité qu'un yaourt prélevé au hasard dans la production totale soit non conforme vaut $0,0175$.

1) En notant $N$ l'évènement « le yaourt est non conforme » et $L_1$, $L_2$, $L_3$ les évènements « le yaourt provient de la ligne $i$ », exprimer $P(N)$ en fonction de $x$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

2) En déduire la valeur de $x$, le taux de non-conformité de la ligne 2.

Un laboratoire pharmaceutique produit des comprimés sur deux lignes automatisées qui alimentent un même stock. La ligne A produit 60 % du stock, avec un taux de non-conformité de 0,5 %. La ligne B produit les 40 % restants, avec un taux de non-conformité de 2 %. On prélève un comprimé au hasard dans le stock.

1) Modéliser la situation par un arbre pondéré.
2) Calculer la probabilité que le comprimé prélevé soit non conforme.
3) Sachant que le comprimé prélevé est non conforme, calculer la probabilité qu'il provienne de la ligne A. Arrondir au millième.

Chez un assureur automobile, on établit que les évènements $G$ : « le client a souscrit la garantie bris de glace » et $V$ : « le client a souscrit la garantie vol » sont indépendants, avec $P(G)=0,3$ et $P(V)=0,55$.

1) Rappeler pourquoi, si $G$ et $V$ sont indépendants, alors $G$ et $\bar{V}$ le sont également.

2) En déduire $P(G\cap \bar{V})$ sans reconstruire de tableau ni d'arbre.

3) Calculer également $P(\bar{G}\cap \bar{V})$.

Un technicien de maintenance intervient sur des chaudières en panne. Parmi les pannes qu'il traite, 70 % sont dues à un défaut électronique (évènement $E$) et 30 % à un défaut mécanique (évènement $\bar{E}$), ces deux causes couvrant l'ensemble des pannes traitées. Un bruit anormal au démarrage (évènement $B$) est observé dans 15 % des pannes électroniques, contre 60 % des pannes mécaniques.

1) Calculer la probabilité qu'une panne choisie au hasard présente un bruit anormal au démarrage.
2) Sachant qu'une panne présente un bruit anormal au démarrage, calculer la probabilité qu'elle soit due à un défaut mécanique. Arrondir au centième.

Un lot contient 20 smartphones reconditionnés, dont 4 présentent un défaut d'écran non détecté lors du contrôle initial. On prélève successivement et sans remise deux smartphones du lot pour un contrôle qualité approfondi.

1) Calculer la probabilité qu'aucun des deux smartphones prélevés ne présente de défaut d'écran.
2) Calculer la probabilité qu'exactement un des deux smartphones prélevés présente un défaut d'écran.
3) Vérifier, à l'aide d'une troisième probabilité à calculer, que les résultats précédents sont cohérents.

Un sac contient 18 dominos, dont 10 dominos « doubles » (portant le même nombre de points des deux côtés) et 8 dominos « simples ». On tire successivement, et sans remise, deux dominos du sac.

1) Calculer la probabilité de tirer deux dominos doubles.
2) Calculer la probabilité de tirer, dans cet ordre, un domino double puis un domino simple.
3) Calculer la probabilité de tirer exactement un domino double parmi les deux tirés, quel que soit l'ordre.

Pour obtenir son permis bateau, un candidat passe d'abord une épreuve théorique, qu'il réussit avec une probabilité de $0,8$ (évènement $T$). S'il réussit l'épreuve théorique, il passe ensuite l'épreuve pratique, qu'il réussit avec une probabilité de $0,85$. S'il échoue à l'épreuve théorique, il est orienté vers un test sur simulateur, qu'il réussit avec une probabilité de $0,5$. On note $P$ l'évènement « le candidat réussit l'étape suivante » (épreuve pratique ou test sur simulateur, selon le cas).

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Calculer la probabilité que le candidat réussisse à la fois l'épreuve théorique et l'étape suivante.
3) Calculer $P(P)$, la probabilité que le candidat réussisse l'étape suivante, tous chemins confondus.

4) Les évènements $T$ et $P$ sont-ils indépendants ? Justifier en comparant $P_T(P)$ et $P(P)$.

Un filtre anti-spam analyse les courriels reçus par une entreprise. On estime que 4 % des courriels reçus sont réellement des spams (évènement $S$). Le filtre classe correctement 97 % des spams comme indésirables (évènement $I$), mais classe aussi à tort comme indésirables 2 % des courriels légitimes.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Calculer la probabilité qu'un courriel choisi au hasard soit classé indésirable par le filtre.
3) Sachant qu'un courriel est classé indésirable par le filtre, calculer la probabilité qu'il soit réellement un spam. Arrondir au millième.
4) Commenter ce résultat au regard de la rareté des spams dans l'ensemble des courriels reçus.

On étudie l'évolution, semaine après semaine, de l'habitude de recyclage du verre dans un immeuble. Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on note $R_n$ l'évènement « un habitant tiré au sort a correctement trié son verre la semaine $n$ », et $p_n=P(R_n)$. On observe que, quel que soit $n$ : si un habitant a correctement trié son verre la semaine $n$, il continue de le faire la semaine suivante avec une probabilité de $0,9$ ; s'il n'a pas correctement trié son verre la semaine $n$, il s'y met la semaine suivante avec une probabilité de $0,3$.

1) En utilisant $R_n$ et ${\bar{R}}_n$ comme partition de l'univers à l'étape $n$, exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

2) On donne $p_1=0,4$. Calculer $p_2$ puis $p_3$.

Une plateforme de réservation propose trois types d'hébergement : hôtel (40 % des réservations), camping (25 % des réservations) et auberge de jeunesse (les 35 % restants). Chaque réservation peut inclure l'option « petit-déjeuner inclus » (évènement $B$). Le taux de souscription à cette option est de 55 % pour les hôtels et de 20 % pour les campings. Le taux de souscription pour les auberges de jeunesse est inconnu ; on le note $y$.

On sait par ailleurs que, globalement, $P(B)=0,375$.

1) Exprimer $P(B)$ en fonction de $y$, puis en déduire la valeur de $y$.

2) Sachant qu'une réservation inclut le petit-déjeuner, calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un camping. Arrondir au millième.
3) Parmi les trois types d'hébergement, lequel est le plus probable sachant que la réservation inclut le petit-déjeuner ? Justifier en calculant les trois probabilités inverses.

Une enquête menée auprès de 400 visiteurs d'un marché de Noël, un jour donné, croise leur tranche d'âge (moins de 30 ans, ou 30 ans et plus) et le fait d'avoir acheté un article artisanal. Voici les données recueillies :

160 visiteurs interrogés ont moins de 30 ans ; parmi eux, 48 ont acheté un article artisanal ; au total, sur les 400 visiteurs, 192 ont acheté un article artisanal.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Achat}& \text{Pas d’achat}& \text{Total}\\ \text{Moins de 30 ans}& 48& ?& 160\\ \text{30 ans et plus}& ?& ?& ?\\ \text{Total}& 192& ?& 400\end{array}$$2) On choisit un visiteur au hasard parmi les 400. Calculer $P_{<30}(\text{Achat})$ et $P_{\ge 30}(\text{Achat})$.

3) Construire l'arbre pondéré équivalent, dont le premier niveau correspond à la tranche d'âge et le second niveau à l'achat d'un article artisanal.
4) Retrouver, à l'aide de la formule des probabilités totales appliquée à cet arbre, la probabilité $P(\text{Achat})$, et vérifier la cohérence avec le tableau.

5) L'achat d'un article artisanal est-il indépendant de la tranche d'âge ? Justifier par un calcul.

Un serveur informatique contient deux composants indépendants : le disque $D$ tombe en panne sur une journée avec la probabilité $0,04$ et l'alimentation $A$ tombe en panne sur la même journée avec la probabilité $0,05$. Les événements $D$ et $A$ sont indépendants.

1. Calculer la probabilité que les deux composants tombent en panne le même jour.
2. Calculer la probabilité qu'au moins l'un des deux composants tombe en panne.
3. Retrouver le résultat de la question 2 en calculant d'abord la probabilité qu'aucun composant ne tombe en panne.

Inès et Hugo passent chacun un concours, de façon indépendante. La probabilité qu'Inès soit admissible est $0,6$. On note $I$ : « Inès est admissible » et $H$ : « Hugo est admissible », et on pose $b=P(H)$. On sait que la probabilité qu'au moins l'un des deux soit admissible vaut $0,8$.

1. Exprimer $P(I\cap H)$ en fonction de $b$.
2. Écrire $P(I\cup H)$ en fonction de $b$, puis déterminer $b$.
3. Vérifier la valeur obtenue en calculant $P(I\cap H)$ puis $P(I\cup H)$.
4. Quelle est la probabilité que ni Inès ni Hugo ne soient admissibles ?

Dans une fête foraine, une roue de loterie fait gagner avec la probabilité $0,3$ à chaque tour. Un joueur fait deux tours de suite ; les deux tours sont indépendants. On note $G_1$ : « le joueur gagne au premier tour » et $G_2$ : « le joueur gagne au second tour ».

1. Construire l'arbre pondéré de cette succession de deux épreuves. Que remarque-t-on sur les probabilités du second niveau ?
2. Calculer la probabilité que le joueur gagne aux deux tours.
3. Calculer la probabilité que le joueur gagne exactement une fois.
4. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une fois.

Lors d'une séance de sport, Léa passe successivement deux épreuves indépendantes : un tir à l'arc, réussi avec la probabilité $0,8$, puis un lancer franc au basket, réussi avec la probabilité $0,6$. On note $A$ : « Léa réussit le tir à l'arc » et $B$ : « Léa réussit le lancer franc ».

1. Construire l'arbre pondéré. Les probabilités du second niveau sont-elles les mêmes que celles du premier ? Justifier la façon de les placer.
2. Quelle est la probabilité que Léa réussisse les deux épreuves ?
3. Quelle est la probabilité qu'elle réussisse exactement une épreuve ?
4. Un badge est décerné à Léa si elle réussit au moins une épreuve. Quelle est la probabilité qu'elle obtienne le badge ?

Une cible est divisée en trois zones : rouge, jaune et bleue. Lorsqu'un joueur lance une fléchette, il atteint la zone rouge avec la probabilité $0,2$, la zone jaune avec la probabilité $0,3$ et la zone bleue avec la probabilité $0,5$. Il lance deux fléchettes de façon indépendante, et on suppose qu'elles atteignent toujours la cible.

1. Construire l'arbre pondéré de la succession des deux lancers (trois branches à chaque niveau).
2. Quelle est la probabilité que les deux fléchettes atteignent la même zone ?
3. Quelle est la probabilité qu'aucune fléchette n'atteigne la zone rouge ?
4. Quelle est la probabilité qu'exactement une fléchette atteigne la zone jaune ?
5. Sachant qu'aucune fléchette n'a atteint la zone rouge, quelle est la probabilité que les deux aient atteint la zone bleue ?