Exercices de Probabilités conditionnelles et indépendance, Première (page 2)

Une application mobile étudie le comportement de ses utilisateurs. On note $P$ l'évènement « l'utilisateur a activé les notifications push » et $N$ l'évènement « l'utilisateur est abonné à la newsletter ». Une étude sur l'ensemble des utilisateurs donne :$$P(P)=0,60P(N)=0,25P(P\cap N)=0,20$$1) Calculer $P(P)\times P(N)$ et le comparer à $P(P\cap N)$.

2) Les évènements $P$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier avec précision.

3) Calculer $P_P(N)$ et interpréter, dans le contexte de l'énoncé, le lien entre $P_P(N)$ et $P(N)$.

Une mairie interroge 400 habitants sur un projet de piste cyclable. L'échantillon compte 160 personnes de moins de 25 ans et 240 personnes de 25 ans ou plus. Parmi les moins de 25 ans, 128 se disent favorables au projet. Parmi les 25 ans ou plus, 108 se disent favorables au projet.

1) Calculer la probabilité qu'un habitant interrogé au hasard soit favorable au projet, sachant qu'il a moins de 25 ans, puis sachant qu'il a 25 ans ou plus.
2) Calculer la probabilité $P(F)$ qu'un habitant choisi au hasard parmi les 400 soit favorable au projet.

3) L'opinion favorable au projet est-elle indépendante de la tranche d'âge ? Justifier en comparant $P_{-25}(F)$ à $P(F)$.

Un stand de loterie foraine utilise une urne contenant 100 boules indiscernables au toucher : 60 boules rouges et 40 boules vertes. Parmi les boules rouges, 15 sont marquées « gagnant ». Parmi les boules vertes, 6 sont marquées « gagnant ». Un joueur tire une boule au hasard dans l'urne.

1) Calculer la probabilité que la boule tirée soit gagnante sachant qu'elle est rouge, puis sachant qu'elle est verte.
2) Calculer la probabilité que la boule tirée soit gagnante.
3) Sachant que le joueur a tiré une boule gagnante, calculer la probabilité que cette boule soit rouge.

Lors d'une session d'examen du code de la route, un candidat a une probabilité de 0,75 de réussir au premier passage. En cas d'échec seulement, il peut se présenter le jour même à une session de rattrapage, avec une probabilité de réussite de 0,6 lors de cette seconde tentative.

1) Justifier que l'arbre pondéré de cette situation comporte trois chemins, et non quatre.
2) Calculer la probabilité que le candidat échoue aux deux tentatives.
3) Calculer la probabilité que le candidat réussisse finalement (au premier passage ou au rattrapage).

Un footballeur tire trois pénalties de suite lors d'une séance d'entraînement. On admet que les trois tirs sont indépendants et que la probabilité de réussir chaque tir est de 0,8.

1) Calculer la probabilité que le footballeur réussisse ses trois tirs.
2) Calculer la probabilité qu'il réussisse le premier tir, échoue le second, puis réussisse le troisième (séquence Succès-Échec-Succès).
3) Un camarade affirme que la probabilité de la question 2) est la même que celle de réussir exactement deux tirs sur les trois, quel que soit l'ordre. Ce raisonnement est-il correct ? Justifier sans calculer cette dernière probabilité.

Une société de VTC répartit ses courses en trois zones : 40 % des courses ont lieu en zone A, 35 % en zone B et 25 % en zone C. Parmi les courses en zone A, 30 % donnent lieu à un pourboire. Parmi les courses en zone C, 10 % donnent lieu à un pourboire. On sait par ailleurs que, toutes zones confondues, 23,25 % des courses donnent lieu à un pourboire. On note $T$ l'évènement « la course donne lieu à un pourboire ».

1) Vérifier que les trois zones forment bien une partition de l'ensemble des courses.
2) En notant $x=P_B(T)$ la probabilité (inconnue) qu'une course en zone B donne lieu à un pourboire, exprimer $P(T)$ en fonction de $x$.

3) En déduire la valeur de $x$.

Une brasserie artisanale produit sa bière à partir de deux cuves de fermentation. La cuve 1 fournit 55 % du volume total produit, et 3 % des bouteilles issues de cette cuve sont jugées impropres à la vente lors du contrôle qualité. La cuve 2 fournit les 45 % restants, et 7 % des bouteilles issues de cette cuve sont jugées impropres à la vente.

On prélève au hasard une bouteille dans la production totale de la brasserie.

1) Construire l'arbre pondéré associé à cette situation.
2) Calculer la probabilité que la bouteille prélevée provienne de la cuve 1 et soit impropre à la vente.
3) Calculer la probabilité que la bouteille prélevée soit impropre à la vente.
4) Une bouteille prélevée est jugée impropre à la vente. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la cuve 2.

Une entreprise de transport exploite deux lignes de bus. La ligne A assure 60 % des trajets quotidiens, et 10 % des trajets sur cette ligne accusent un retard. La ligne B assure les 40 % restants ; on note $x$ la probabilité, inconnue, qu'un trajet sur la ligne B accuse un retard. On note $R$ l'évènement « le trajet accuse un retard ».

1) Montrer que $P(R)=0,06+0,4x$.

2) On observe, sur l'ensemble des trajets des deux lignes, que $P(R)=0,16$. En déduire la valeur de $x$.

3) Interpréter la valeur de $x$ obtenue dans le contexte de l'énoncé, et comparer le taux de retard des deux lignes.

Dans un magasin, on note $A$ l'évènement « le client possède la carte de fidélité » et $B$ l'évènement « le client a effectué un achat en ligne ce mois-ci ». Une étude établit que $P(A)=0,45$, $P(B)=0,30$, et que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

1) Calculer $P(A\cap B)$.

2) Calculer $P(A\cap \bar{B})$ en utilisant que $A$ est la réunion disjointe de $A\cap B$ et $A\cap \bar{B}$.

3) Montrer que $P(A\cap \bar{B})=P(A)\times P(\bar{B})$, et conclure sur l'indépendance des évènements $A$ et $\bar{B}$.

Un service de réparation informatique constate que, parmi les ordinateurs en panne qui lui sont confiés, 65 % ont une panne d'origine liée au disque dur, notée $D$, et les 35 % restants ont une panne d'origine liée à l'alimentation électrique, notée $Al$. Parmi les pannes de disque dur, 80 % provoquent un plantage immédiat au démarrage, noté $S$ (symptôme observé). Parmi les pannes d'alimentation, seulement 30 % provoquent ce même plantage immédiat.

Un ordinateur en panne est choisi au hasard parmi ceux confiés au service.

1) Calculer la probabilité que cet ordinateur présente le symptôme $S$.

2) Un technicien reçoit un ordinateur présentant ce plantage immédiat au démarrage. Calculer la probabilité que la panne soit d'origine disque dur.
3) Le technicien décide-t-il raisonnablement de commencer son diagnostic par le disque dur ? Justifier.

Un lot de 12 appareils électroménagers destinés au contrôle qualité contient 3 appareils défectueux et 9 appareils conformes. On prélève successivement et sans remise deux appareils de ce lot.

1) Calculer la probabilité que le premier appareil prélevé soit conforme.
2) Sachant que le premier appareil prélevé est conforme, calculer la probabilité que le second le soit également. Justifier pourquoi cette probabilité diffère de celle de la question 1).
3) En déduire la probabilité qu'aucun des deux appareils prélevés ne soit défectueux.
4) Calculer la probabilité qu'exactement un des deux appareils prélevés soit défectueux.

Un jeu de 32 cartes comporte 16 cartes rouges et 16 cartes noires. On tire successivement et sans remise deux cartes de ce jeu.

1) Calculer la probabilité que la première carte tirée soit rouge.
2) Sachant que la première carte tirée est rouge, calculer la probabilité que la seconde carte tirée soit rouge également.
3) En déduire la probabilité que les deux cartes tirées soient rouges.
4) Calculer la probabilité que les deux cartes tirées soient de couleurs différentes (une rouge et une noire, dans un ordre quelconque).

Lors d'une grande compétition sportive, on estime que 2 % des athlètes contrôlés sont effectivement dopés. Le test antidopage utilisé a une sensibilité de 97 % : si un athlète est dopé, le test est positif dans 97 % des cas. Sa spécificité est de 95 % : si un athlète n'est pas dopé, le test est négatif dans 95 % des cas (donc positif, à tort, dans 5 % des cas).

On choisit au hasard un athlète contrôlé et on note $D$ l'évènement « l'athlète est dopé » et $T$ l'évènement « le test est positif ».

1) Construire l'arbre pondéré de la situation.
2) Calculer $P(T)$, la probabilité qu'un athlète contrôlé ait un test positif.

3) Un athlète contrôlé a un test positif. Calculer la probabilité qu'il soit réellement dopé. On arrondira le résultat au millième.
4) Ce résultat vous semble-t-il surprenant ? Expliquer, en une phrase, pourquoi un test pourtant très fiable individuellement conduit à un tel résultat.

Un jardin partagé gère l'attribution de ses parcelles saison après saison. On observe que, si une parcelle est occupée lors d'une saison, elle reste occupée la saison suivante avec une probabilité de 0,8 (et se libère avec une probabilité de 0,2). Si une parcelle est libre lors d'une saison, elle devient occupée la saison suivante avec une probabilité de 0,3 (et reste libre avec une probabilité de 0,7).

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on note $p_n$ la probabilité qu'une parcelle donnée soit occupée lors de la saison $n$. On donne $p_1=0,4$.

1) En utilisant la formule des probabilités totales appliquée à la partition {parcelle occupée en saison $n$, parcelle libre en saison $n$}, montrer que, pour tout entier $n\ge 1$ :$$p_{n+1}=0,3+0,5p_n$$2) Calculer $p_2$ puis $p_3$.

3) Sans calculer davantage de termes, expliquer pourquoi la suite $(p_n)$ ne peut jamais atteindre exactement la valeur 0,6 à partir de $p_1=0,4$, bien qu'elle s'en rapproche.

Une banque classe sa clientèle en trois profils : 45 % de comptes « jeune », 40 % de comptes « standard » et 15 % de comptes « premium ». Une option d'assurance facultative est proposée à tous les clients. On sait que :

- parmi les clients « jeune », 10 % souscrivent l'option ;
- parmi les clients « standard », la probabilité de souscrire l'option n'est pas connue directement, mais on sait que 6 % de l'ensemble de la clientèle est à la fois « standard » et souscripteur de l'option ;
- parmi les clients « premium », 50 % souscrivent l'option.

On choisit un client au hasard et on note $A$ l'évènement « le client souscrit l'option d'assurance ».

1) Calculer la probabilité qu'un client « standard » souscrive l'option d'assurance.
2) Calculer $P(A)$, la probabilité qu'un client choisi au hasard souscrive l'option d'assurance.

3) Sachant qu'un client a souscrit l'option d'assurance, calculer la probabilité que ce soit un client « premium ».
4) Parmi les trois profils, lequel est, proportionnellement, le plus représenté chez les souscripteurs de l'option ? Justifier en calculant les trois probabilités inverses.

Une salle de sport compte 250 adhérents : 150 hommes et 100 femmes. Chaque adhérent pratique principalement soit le cardio-training, soit la musculation. Parmi les hommes, 90 pratiquent principalement le cardio-training. Parmi les femmes, 70 pratiquent principalement le cardio-training.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Cardio}& \text{Musculation}& \text{Total}\\ \text{Hommes}& 90& ?& 150\\ \text{Femmes}& 70& ?& 100\\ \text{Total}& ?& ?& 250\end{array}$$2) On choisit un adhérent au hasard parmi les 250. Représenter la situation par un arbre pondéré (sexe, puis pratique principale), en indiquant toutes les probabilités.
3) Calculer $P(\text{Cardio})$, la probabilité que l'adhérent choisi pratique principalement le cardio-training, par la formule des probabilités totales.

4) La pratique principale (cardio ou musculation) est-elle indépendante du sexe de l'adhérent ? Justifier en comparant $P(\text{Homme}\cap \text{Cardio})$ à $P(\text{Homme})\times P(\text{Cardio})$.

Dans un club de robotique, on s'intéresse à deux caractères concernant un adhérent choisi au hasard : $S$ : « l'adhérent est en filière scientifique » et $C$ : « l'adhérent participe au concours régional ». Voici quatre phrases tirées du bilan annuel du club.

a) « 60 % des adhérents du club sont en filière scientifique. »
b) « Parmi les adhérents en filière scientifique, 70 % participent au concours régional. »
c) « 42 % des adhérents du club sont en filière scientifique et participent au concours régional. »
d) « Parmi les adhérents qui participent au concours régional, 84 % sont en filière scientifique. »
1) Pour chacune des phrases a) à d), écrire la probabilité correspondante à l'aide des notations $P(S)$, $P(C)$, $P(S\cap C)$, $P_S(C)$ ou $P_C(S)$, en précisant s'il s'agit d'une probabilité simple, d'une intersection ou d'une probabilité conditionnelle.

2) Traduire par une phrase en français, sans donner de valeur numérique, la probabilité $P_{\bar{S}}(\bar{C})$.

Une colonie de vacances accueille 150 enfants. Parmi eux, 90 sont inscrits à l'activité voile ; on note $V$ l'évènement « l'enfant choisi au hasard est inscrit à l'activité voile ». Parmi ces 90 enfants, 54 savent déjà nager le crawl ; on note $N$ l'évènement « l'enfant sait nager le crawl ».

Par ailleurs, parmi les enfants non inscrits à l'activité voile, 42 ne savent pas nager le crawl.

a) Calculer $P_V(N)$.

b) Combien la colonie compte-t-elle d'enfants non inscrits à l'activité voile ? En déduire le nombre d'entre eux qui savent nager le crawl, puis calculer $P_{\bar{V}}(N)$.

c) Comparer $P_V(N)$ et $P_{\bar{V}}(N)$ et interpréter le résultat dans le contexte de la colonie.

Sur une application de covoiturage, on note $T$ l'évènement « l'utilisateur a réservé un trajet ce mois-ci » et $R$ l'évènement « l'utilisateur a activé le paiement automatique », pour un utilisateur choisi au hasard.

On donne : $P(T\cap R)=0,18$ et $P_T(R)=0,45$.

1) Traduire chacune de ces deux égalités par une phrase en français, en veillant à bien distinguer « et » de « sachant ».
2) On apprend par ailleurs que « parmi les utilisateurs ayant activé le paiement automatique, 60 % ont réservé un trajet ce mois-ci ». Écrire cette information à l'aide d'une notation probabiliste.
3) Un utilisateur affirme : « $P_T(R)$, c'est la probabilité qu'un utilisateur ait activé le paiement automatique et réservé un trajet ce mois-ci. » Corriger cette affirmation.

Une fanfare municipale compte 84 membres, répartis selon leur instrument (cuivre ou autre) et leur ancienneté (débutant ou confirmé). On sait que :

la fanfare compte 84 membres au total ; 48 membres jouent d'un instrument à cuivre ; 30 membres sont débutants ; parmi les membres jouant d'un cuivre, 20 sont débutants.

1) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant.$$\begin{array}{cccc}& \text{Deˊbutant}& \text{Confirmeˊ}& \text{Total}\\ \text{Cuivre}& 20& ?& 48\\ \text{Autre}& ?& ?& ?\\ \text{Total}& 30& ?& 84\end{array}$$2) On choisit un membre au hasard parmi les 84. Calculer la probabilité qu'il soit confirmé sachant qu'il joue d'un cuivre.
3) Calculer la probabilité qu'il joue d'un cuivre sachant qu'il est confirmé.

Un cinéma de plein air propose deux modes d'accès : la réservation en ligne (évènement $R$) ou l'achat sur place (évènement $\bar{R}$). Un compte-rendu de fréquentation donne les informations suivantes, dans le désordre :

« Parmi les spectateurs ayant réservé en ligne, 80 % prennent un pass boissons » (évènement $B$) ; « 35 % des spectateurs achètent leur place sur place » ; « Parmi ceux qui achètent leur place sur place, 25 % prennent un pass boissons ».

1) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant cette situation, en complétant toutes les probabilités manquantes, y compris celles des évènements contraires.$$\begin{array}{ll}P(R)=?& \\ & P_R(B)=?\\ & P_R(\bar{B})=?\\ P(\bar{R})=?& \\ & P_{\bar{R}}(B)=?\\ & P_{\bar{R}}(\bar{B})=?\end{array}$$2) Vérifier qu'à chaque nœud de l'arbre, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut bien 1.

Dans une salle de sport, chaque adhérent choisit un abonnement annuel (évènement $A$) ou un abonnement mensuel (évènement $\bar{A}$). L'arbre pondéré complet ci-dessous décrit les adhérents de la salle, selon qu'ils souscrivent ou non à une formule de coaching individuel (évènement $C$).$$\begin{array}{ll}P(A)=0,4& \\ & P_A(C)=0,70\\ & P_A(\bar{C})=0,30\\ P(\bar{A})=0,6& \\ & P_{\bar{A}}(C)=0,15\\ & P_{\bar{A}}(\bar{C})=0,85\end{array}$$1) Calculer la probabilité qu'un adhérent choisi au hasard ait un abonnement annuel avec coaching.
2) Calculer la probabilité qu'un adhérent choisi au hasard ait un abonnement mensuel sans coaching.
3) Un adhérent affirme que la probabilité d'avoir un abonnement mensuel avec coaching vaut $0,4\times 0,15$. Expliquer pourquoi il se trompe de chemin, sans calculer la valeur correcte.

Une association de tennis de table compte 120 membres. Le tableau croisé ci-dessous donne leur répartition selon la catégorie (junior ou senior) et la pratique (compétition ou loisir).$$\begin{array}{cccc}& \text{Compeˊtition}& \text{Loisir}& \text{Total}\\ \text{Junior}& 40& 30& 70\\ \text{Senior}& 15& 35& 50\\ \text{Total}& 55& 65& 120\end{array}$$1) À partir du tableau, calculer $P(J)$, $P_J(K)$ et $P_S(K)$, où $J$ désigne « le membre est junior », $S$ « le membre est senior » et $K$ « le membre pratique la compétition ».

2) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation, en prenant la catégorie (junior ou senior) comme premier niveau.

Un fromager tient un tableau des 200 fromages vendus en un mois, croisant leur origine (local ou importé) et leur catégorie (vache, chèvre ou brebis). Le tableau ci-dessous est partiellement rempli.$$\begin{array}{ccccc}& \text{Vache}& \text{Cheˋvre}& \text{Brebis}& \text{Total}\\ \text{Local}& 50& ?& 20& 100\\ \text{Importeˊ}& 40& 35& ?& 100\\ \text{Total}& 90& 65& 45& 200\end{array}$$1) Compléter le tableau.
2) Un fromage est choisi au hasard parmi les fromages locaux. Calculer $P_{\text{Local}}(\text{Vache})$, $P_{\text{Local}}(\text{Cheˋvre})$ et $P_{\text{Local}}(\text{Brebis})$, puis vérifier que leur somme vaut 1.

3) Calculer $P_{\text{Importeˊ}}(\text{Brebis})$.

Dans un atelier de réparation de vélos, 55 % des vélos apportés sont des vélos électriques, les autres étant des vélos classiques. Parmi les vélos électriques, 72 % nécessitent une intervention sur la batterie ou un capteur électrique. Parmi les vélos classiques, seuls 18 % nécessitent une réparation de nature électrique (éclairage, par exemple), toutes les autres réparations étant purement mécaniques.

1) Construire entièrement l'arbre pondéré décrivant le type de vélo (évènement $E$ : « vélo électrique », de complémentaire $\bar{E}$ : « vélo classique ») puis le type de réparation nécessaire (évènement $R$ : « réparation de nature électrique »).

2) En déduire la probabilité qu'un vélo apporté à l'atelier, choisi au hasard, nécessite une réparation de nature électrique.

Une société de livraison utilise deux types de véhicules pour ses tournées : des utilitaires, pour 70 % des livraisons (évènement $U$), et des vélos-cargos pour les 30 % restantes. Le taux de livraison en retard est de 4 % pour les livraisons en utilitaire et de 12 % pour les livraisons en vélo-cargo. On note $R$ l'évènement « la livraison est en retard ».

1) Représenter la situation par un arbre pondéré complet.
2) Montrer que la probabilité qu'une livraison choisie au hasard soit en retard est $P(R)=0,064$.

On considère deux évènements $A$ et $B$ d'un même univers.

1) On donne $P(A)=0,3$, $P(B)=0,6$ et $P(A\cup B)=0,72$. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

2) On donne à présent $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,22$. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Sur une plateforme d'échecs en ligne, on s'intéresse à deux habitudes des joueurs actifs : suivre des parties commentées en streaming (évènement $S$) et être inscrit au tournoi mensuel de la plateforme (évènement $T$). Sur 400 joueurs actifs, 160 suivent du streaming ; parmi eux, 56 sont inscrits au tournoi mensuel. Au total, 140 joueurs sont inscrits au tournoi mensuel.

1) Calculer $P(S)$, $P(T)$ et $P(S\cap T)$.

2) Les évènements $S$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

3) Interpréter ce résultat dans le contexte de la plateforme, en le vérifiant par un second calcul.

Une entreprise interroge 300 salariés sur leur avis concernant le télétravail généralisé. Parmi eux, 180 sont cadres (évènement $C$), les 120 autres étant non-cadres. Parmi les cadres, 126 sont favorables au télétravail généralisé (évènement $F$). Parmi les non-cadres, 84 sont favorables.

1) Calculer $P_C(F)$ et $P_{\bar{C}}(F)$.

2) Calculer $P(F)$, la probabilité qu'un salarié interrogé au hasard soit favorable au télétravail généralisé.

3) L'avis favorable au télétravail est-il indépendant du statut (cadre ou non-cadre) ? Justifier en comparant $P(F)$ à $P_C(F)$.

Une machine contient 80 capsules surprises, dont 50 rouges et 30 bleues. Parmi les capsules rouges, 12 contiennent un porte-clés ; parmi les capsules bleues, 9 contiennent un porte-clés. On achète une capsule au hasard. On note $R$ l'évènement « la capsule est rouge » et $G$ l'évènement « la capsule contient un porte-clés ».

1) Calculer $P(R)$, $P_R(G)$ et $P_{\bar{R}}(G)$.

2) En déduire la probabilité que la capsule tirée soit rouge et contienne un porte-clés, puis la probabilité $P(G)$.

3) Sachant que la capsule tirée contient un porte-clés, quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?

Sur une plateforme d'entraînement au code de la route, un candidat a une probabilité de $0,65$ de réussir un examen blanc dès la première tentative. En cas d'échec, il retente immédiatement une seconde fois, en ayant revu ses erreurs, avec une probabilité de réussite de $0,80$ à cette seconde tentative. Il ne retente pas après une réussite dès la première tentative. On note $R_1$ et $R_2$ les évènements « le candidat réussit la première (resp. seconde) tentative ».

1) Représenter la situation par un arbre pondéré, en précisant que la branche de la seconde tentative n'existe qu'à la suite d'un échec à la première.
2) Calculer la probabilité que le candidat échoue aux deux tentatives.
3) En déduire la probabilité qu'il réussisse finalement, à la première ou à la seconde tentative.

Un service client répond à un appel en moins de deux minutes avec une probabilité de $0,8$, indépendamment d'un appel à l'autre. Trois appels successifs sont passés au service. On note $R$ l'évènement « l'appel est répondu en moins de deux minutes » et $E$ l'évènement contraire.

1) Calculer la probabilité de la séquence exacte « réussi, réussi, manqué » (dans cet ordre).
2) Calculer la probabilité de la séquence exacte « manqué, réussi, réussi » (dans cet ordre).
3) Expliquer pourquoi ces deux séquences, bien que différentes, ont la même probabilité.

Dans un centre de loisirs, chaque participant s'inscrit d'abord à un atelier cuisine sucrée (évènement $S$) ou salée (évènement $\bar{S}$) : 55 % des participants choisissent l'atelier sucré. À l'issue de l'atelier, chaque participant décide ou non de participer à une dégustation collective (évènement $D$) : parmi ceux ayant fait l'atelier sucré, 90 % participent à la dégustation ; parmi ceux ayant fait l'atelier salé, 60 % y participent.

1) Construire l'arbre pondéré de la situation, puis calculer $P(S\cap D)$.

2) Calculer $P(D)$, la probabilité qu'un participant choisi au hasard participe à la dégustation.

3) Les évènements $S$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier en comparant $P_S(D)$ à $P(D)$.

Sur une boutique en ligne de vêtements, 40 % des visiteurs ajoutent un article à leur panier (évènement $A$). On sait que la probabilité qu'un visiteur ajoute un article au panier ET finalise son achat (évènement $F$) vaut $P(A\cap F)=0,14$.

1) Calculer $P_A(F)$, la probabilité de finaliser l'achat sachant qu'un article a été ajouté au panier.

2) On sait par ailleurs que $P(F)=0,17$ au global, tous visiteurs confondus. En déduire $P(\bar{A}\cap F)$, puis $P_{\bar{A}}(F)$.

3) Comparer $P_A(F)$ et $P_{\bar{A}}(F)$, et conclure sur le lien entre l'ajout au panier et la finalisation de l'achat.

Une plateforme de covoiturage inter-villes propose trois offres au départ d'une gare : l'offre Éco, choisie par 45 % des trajets, l'offre Confort, choisie par 35 % des trajets, et l'offre Premium, choisie par les 20 % restants. Le taux de clients qui souscrivent en plus une assurance annulation est de 10 % pour l'offre Éco et de 25 % pour l'offre Confort. Le taux de souscription pour l'offre Premium est inconnu, on le note $t$. On sait que, globalement, $18,5$ % des trajets incluent l'assurance annulation.

1) En notant $As$ l'évènement « l'assurance annulation est souscrite » et Éco, Confort, Premium les trois offres, exprimer $P(As)$ en fonction de $t$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

2) En déduire la valeur de $t$.

Une boulangerie industrielle s'approvisionne en farine auprès de trois fournisseurs : le fournisseur 1, qui livre 50 % du volume avec un taux de lots non conformes de 2 % ; le fournisseur 2, qui livre 30 % du volume avec un taux de 3 % ; le fournisseur 3, qui livre les 20 % restants avec un taux de 6 %. On prélève un lot de farine au hasard dans le stock global. On note $NC$ l'évènement « le lot est non conforme ».

1) Représenter la situation par un arbre pondéré.
2) Calculer la probabilité que le lot prélevé provienne du fournisseur 3 et soit non conforme.
3) Calculer $P(NC)$.

4) Sachant que le lot prélevé est non conforme, calculer la probabilité qu'il provienne du fournisseur 1. Arrondir au millième.

Sur une application de méditation, on note $A$ l'évènement « l'utilisateur suit un programme de respiration guidée » et $B$ l'évènement « l'utilisateur active les rappels quotidiens ». On a établi que $A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A)=0,35$ et $P(B)=0,5$.

1) Rappeler pourquoi, si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont également.

2) En déduire $P(A\cap \bar{B})$ sans reconstruire de tableau ni d'arbre.

3) Calculer également $P(\bar{A}\cap \bar{B})$.

Chez les chevaux d'un centre équestre, une boiterie observée par le vétérinaire peut avoir deux origines : une cause articulaire, dans 65 % des cas historiquement observés (évènement $Art$), ou une cause musculaire, dans les 35 % restants (évènement $Musc$). Une échographie détecte une origine articulaire dans 85 % des cas où elle est réellement articulaire, mais la détecte aussi, à tort, dans 20 % des cas où l'origine est en réalité musculaire. On note $D$ l'évènement « l'échographie détecte une origine articulaire ».

1) Calculer $P(Art\cap D)$ et $P(Musc\cap D)$.

2) Calculer $P(D)$.

3) Sachant que l'échographie détecte une origine articulaire, quelle est la probabilité que ce soit réellement le cas ? Arrondir au millième.

Un lot de 18 bracelets artisanaux contient 3 bracelets présentant un défaut de fermoir. On prélève successivement, sans remise, deux bracelets au hasard dans ce lot. On note $D_1$ l'évènement « le premier bracelet prélevé est défectueux » et $D_2$ l'évènement « le second bracelet prélevé est défectueux ».

1) Calculer $P(D_1)$, puis $P_{D_1}(D_2)$.

2) En déduire la probabilité que les deux bracelets prélevés soient défectueux.
3) Calculer la probabilité qu'aucun des deux bracelets prélevés ne soit défectueux. Arrondir au millième.