Exercices de Produit Scalaire en maths Première

1.Exercice 1

On considère un repère orthonormé d'origine

A

dans lequel on place les points

B (0; 10)

C (18; 0)

.

Représenter l'ensemble

E

des points

M

tels que :

244 < M B^{2} + M C^{2} < 262

2.Exercice 2

On considère un repère orthonormé d'origine

A

dans lequel on place les points

B (0; 10)

C (18; 0)

.

Représenter l'ensemble

F

des points

M

tels que :

10 < M A^{2} - M B^{2} < 30

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3.Exercice 3

On considère un repère orthonormé d'origine

A

dans lequel on place les points

B (0; 10)

C (18; 0)

.

Représenter l'ensemble

G

des points

M

tels que :

35 < C M \cdot A B < 45

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4.Exercice 4

Dans un repère orthonormé d'origine

A

, tracer les droites

d_{1}

d_{2}

d_{3}

d_{4}

d'équations cartésiennes respectives :

7 x - 3 y - 2 = 0

7 x - 3 y - 8 = 0

7 x - 3 y - 64 = 0

x = 12, 5

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Les trois premières équations sont de la forme

7 x - 3 y + c = 0

. Pour une droite d'équation

a x + b y + c = 0

, le vecteur

(- b a)

est un vecteur directeur : ici

u (37)

dirige

d_{1}

d_{2}

d_{3}

, qui sont donc parallèles. Pour tracer chacune d'elles, on place deux de ses points.

d_{1}

7 x - 3 y - 2 = 0 ⟺ y = \frac{7 x - 2}{3}

.
Pour

x = 2

y = \frac{14 - 2}{3} = 4

; pour

x = 5

y = \frac{35 - 2}{3} = 11

. On trace la droite passant par

(2; 4)

(5; 11)

d_{2}

7 x - 3 y - 8 = 0 ⟺ y = \frac{7 x - 8}{3}

.
Pour

x = 2

y = \frac{14 - 8}{3} = 2

; pour

x = 5

y = \frac{35 - 8}{3} = 9

. On trace la droite passant par

(2; 2)

(5; 9)

d_{3}

7 x - 3 y - 64 = 0 ⟺ y = \frac{7 x - 64}{3}

.
Pour

x = 10

y = \frac{70 - 64}{3} = 2

; pour

x = 13

y = \frac{91 - 64}{3} = 9

. On trace la droite passant par

(10; 2)

(13; 9)

d_{4}

x = 12, 5

. C'est la droite parallèle à l'axe des ordonnées formée des points d'abscisse

12, 5

; elle passe par exemple par

(12, 5; 0)

(12, 5; 10)

.

Contrôle : sur

d_{1}

d_{2}

d_{3}

, on passe du premier point au second en avançant de

3

en abscisse et de

7

en ordonnée, ce qui correspond bien au vecteur directeur

u (37)

5.Exercice 5

On considère un repère orthonormé d'origine

A

dans lequel on place les points

B (0; 10)

C (18; 0)

. On y a représenté :
- l'ensemble

E

des points

M

tels que

244 < M B^{2} + M C^{2} < 262

;
- l'ensemble

F

des points

M

tels que

10 < M A^{2} - M B^{2} < 30

;
- l'ensemble

G

des points

M

tels que

35 < C M \cdot A B < 45

;
- les droites

d_{1}

d_{2}

d_{3}

d_{4}

d'équations respectives

7 x - 3 y - 2 = 0

7 x - 3 y - 8 = 0

7 x - 3 y - 64 = 0

x = 12, 5

.

Pour obtenir le symbole de l'euro :
- Colorier la partie de l'ensemble

E

délimitée par les droites

d_{3}

d_{4}

qui contient le point

(4, 5; 5)

: c'est le C de l'euro, ouvert vers la droite.
- Colorier la partie de l'ensemble

F

délimitée par les droites

d_{1}

d_{3}

.
- Colorier la partie de l'ensemble

G

délimitée par les droites

d_{2}

d_{3}

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On commence par décrire les ensembles et les droites, en notant

(x; y)

les coordonnées de

M

:
-

M B^{2} + M C^{2} = 2 M I^{2} + 212

avec

I (9; 5)

milieu de

[B C]

(théorème de la médiane), donc

E

est la couronne de centre

I

formée des points tels que

4 < M I < 5

;
-

M A^{2} - M B^{2} = x^{2} + y^{2} - (x^{2} + (y - 10)^{2}) = 20 y - 100

, donc

F

est la bande horizontale

5, 5 < y < 6, 5

;
-

C M \cdot A B = (x - 18) \times 0 + y \times 10 = 10 y

, donc

G

est la bande horizontale

3, 5 < y < 4, 5

;
-

d_{1}

d_{2}

d_{3}

sont parallèles, de vecteur directeur

(37)

, et

d_{4}

est la droite verticale d'abscisse

12, 5

.

Les droites

d_{1}

d_{2}

d_{3}

montent vers la droite. Un point est à gauche de

d_{3}

(donc au-dessus) lorsque

7 x - 3 y - 64 < 0

: c'est le cas de l'origine, qui donne

- 64 < 0

. De même, un point est à droite de

d_{1}

lorsque

7 x - 3 y - 2 > 0

, et à droite de

d_{2}

lorsque

7 x - 3 y - 8 > 0

.

1. Partie de

E

délimitée par

d_{3}

d_{4}

.
Les droites

d_{3}

d_{4}

se coupent au point

P

d'abscisse

12, 5

et d'ordonnée

\frac{7 \times 12 , 5 - 64}{3} = \frac{47}{6} \approx 7, 83

. On a

P I^{2} = 3, 5^{2} + (\frac{47}{6} - 5)^{2} = \frac{49}{4} + \frac{289}{36} = \frac{365}{18} \approx 20, 3

, compris entre

16

25

P

est dans la couronne, en haut à droite.
On colorie les points de

E

situés à la fois à gauche de

d_{4}

(

x < 12, 5

) et à gauche de

d_{3}

(

7 x - 3 y - 64 < 0

) : c'est le morceau de couronne qui contient le point

(4, 5; 5)

. On obtient un C ouvert vers la droite :
- en haut, il s'arrête au niveau de

P

: son extrémité est coupée par

d_{3}

du côté du cercle intérieur, puis par

d_{4}

jusqu'au cercle extérieur ;
- en bas, il s'arrête sur

d_{3}

, qui coupe la couronne tout en bas, juste à droite du point

(9; 0)

, le plus bas du cercle extérieur :

d_{3}

passe par

(\frac{64}{7}; 0)

, avec

\frac{64}{7} \approx 9, 14

.
Le morceau de couronne situé à droite, entre ces deux extrémités, n'est pas colorié : c'est l'ouverture du C.

2. Partie de

F

délimitée par

d_{1}

d_{3}

.
On colorie les points tels que

5, 5 < y < 6, 5

, à droite de

d_{1}

et à gauche de

d_{3}

, c'est-à-dire tels que

2 < 7 x - 3 y < 64

. C'est un parallélogramme : deux côtés horizontaux sur les droites

y = 5, 5

y = 6, 5

, deux côtés portés par

d_{1}

d_{3}

. Pour obtenir ses sommets, on remplace

y

dans l'équation de la droite et on résout en

x

:
- sur

y = 5, 5

x = \frac{3 \times 5 , 5 + 2}{7} = \frac{37}{14} \approx 2, 64

sur

d_{1}

x = \frac{3 \times 5 , 5 + 64}{7} = 11, 5

sur

d_{3}

;
- sur

y = 6, 5

x = \frac{3 \times 6 , 5 + 2}{7} = \frac{43}{14} \approx 3, 07

sur

d_{1}

x = \frac{3 \times 6 , 5 + 64}{7} = \frac{167}{14} \approx 11, 93

sur

d_{3}

.

3. Partie de

G

délimitée par

d_{2}

d_{3}

.
On colorie les points tels que

3, 5 < y < 4, 5

, à droite de

d_{2}

et à gauche de

d_{3}

, c'est-à-dire tels que

8 < 7 x - 3 y < 64

. C'est aussi un parallélogramme, de sommets :
- sur

y = 3, 5

x = \frac{3 \times 3 , 5 + 8}{7} = \frac{37}{14} \approx 2, 64

sur

d_{2}

x = \frac{3 \times 3 , 5 + 64}{7} = \frac{149}{14} \approx 10, 64

sur

d_{3}

;
- sur

y = 4, 5

x = \frac{3 \times 4 , 5 + 8}{7} = \frac{43}{14} \approx 3, 07

sur

d_{2}

x = \frac{3 \times 4 , 5 + 64}{7} = \frac{155}{14} \approx 11, 07

sur

d_{3}

.

Conclusion : les deux barres commencent à gauche de la couronne, dont le bord gauche passe par

(4; 5)

, traversent la partie gauche du C et s'arrêtent sur

d_{3}

, à l'intérieur du C. Le C ouvert vers la droite, traversé par ces deux barres parallèles aux extrémités inclinées, forme le symbole de l'euro.

6. $Produit scalaire par coordonnées$

Dans un repère orthonormé

(O; i, j)

, on considère les points

A (1; 2)

B (5; 5)

C (- 1; 4)

.

Calculer le produit scalaire

A B \cdot A C

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7. $Produit scalaire avec normes et angle$

Dans un triangle

A B C

, on donne

A B = 6

A C = 8

B A C = 120°

.

Calculer le produit scalaire

A B \cdot A C

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8. $Tester l'orthogonalité de deux vecteurs$

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs

u (- 3 5)

v (10 6)

.

Les vecteurs

u

v

sont-ils orthogonaux ?

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9. $Signe du produit scalaire et nature d'un angle$

Dans un triangle

R S T

, on sait que

R S \cdot R T = - 18

.

Sans calculer sa mesure, déterminer si l'angle

S R T

est aigu, obtus ou droit. Justifier.

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10. $Équation cartésienne d'un cercle$

On considère le cercle

C

de centre

Ω (3; - 2)

et de rayon

R = 5

.

Donner une équation cartésienne de

C

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11. $Produit scalaire par le projeté orthogonal$

Soit

P QR

un triangle isocèle tel que

P Q = P R = 10

QR = 12

. Soit

H

le pied de la hauteur issue de

P

(donc

H

est le milieu de

[QR]

, avec

Q H = 6

).

a) Calculer

QP \cdot QR

en utilisant le projeté orthogonal de

P

sur la droite

(QR)

.

b) Soit

S

un point de la droite

(QR)

, situé du même côté que

R

par rapport à

Q

, tel que

QS = 15

. Calculer

QP \cdot QS

.

c) Soit

T

un point de la droite

(QR)

, situé du côté opposé à

R

par rapport à

Q

, tel que

QT = 5

. Calculer

QP \cdot QT

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12. $Produit scalaire par la formule de polarisation$

Soit

u

v

deux vecteurs tels que

∥ u ∥ = 5

∥ v ∥ = 7

∥ u + v ∥ = 9

.

a) Calculer

u \cdot v

.

b) En déduire

∥ u - v ∥

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13. $Déterminer un paramètre pour l'orthogonalité$

On considère les vecteurs

u (2 m)

v (- 3 m)

, où

m

est un nombre réel.

Déterminer la ou les valeurs de

m

pour lesquelles

u

v

sont orthogonaux.

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14. $Calcul d'un angle à partir de coordonnées$

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle

M N P

avec

M (0; 0)

N (4; 0)

P (1; 3)

.

Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle

N M P

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15. $Angle entre deux vecteurs à partir des normes et du produit scalaire$

On donne deux vecteurs

u

v

tels que

∥ u ∥ = 3

∥ v ∥ = 5

u \cdot v = - 7, 5

.

Déterminer la mesure de l'angle

θ

formé par

u

v

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16. $Calculer une longueur à l'aide du produit scalaire$

On considère un triangle

A B C

tel que

A B = 6

B C = 9

A B \cdot B C = 20

.

Calculer

A C

(on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième).

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17. $Théorème d'Al-Kashi : calcul d'une longueur$

Un bras articulé robotique est formé de deux segments :

O A = 40

cm et

A B = 55

cm, avec un angle

O A B = 110°

au niveau de l'articulation

A

.

Calculer la distance

O B

entre la base

O

et l'extrémité

B

du bras, arrondie au dixième de centimètre.

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18. $Ensemble des points M tels que MA scalaire MB soit nul$

On considère deux points fixes

A (- 2; 1)

B (4; 3)

dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble

E

des points

M (x; y)

du plan vérifiant :

M A \cdot M B = 0

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19. $Minimiser une distance à l'aide du produit scalaire$

On considère, dans un repère orthonormé, le point fixe

A (3; 4)

et un point mobile

M

de coordonnées

M (t; 2 t - 1)

, où

t

est un nombre réel.

a) Exprimer

A M^{2}

en fonction de

t

.

b) En déduire la valeur de

t

pour laquelle la distance

A M

est minimale, ainsi que cette distance minimale.

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20. $Al-Kashi et modélisation : largeur d'un lac$

Pour estimer la largeur d'un lac séparant deux points

A

B

, un géomètre se place en un point

C

accessible sur la rive, tel que

C A = 150

C B = 210

m et

A C B = 72°

.

Calculer la largeur

A B

du lac, arrondie au mètre.

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21. $Al-Kashi et théorème de Pythagore$

a) Démontrer que, lorsque l'angle

A

d'un triangle

A B C

vaut

90°

, le théorème d'Al-Kashi redonne le théorème de Pythagore.

b) Dans un triangle

D E F

, on donne

D E = 9

D F = 12

E F = 15

. Montrer que ce triangle est rectangle en

D

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22. $Reconnaître l'équation d'un cercle$

On considère les deux équations suivantes, dans un repère orthonormé :

(E_{1}) : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0

(E_{2}) : x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 15 = 0

Pour chacune, déterminer si elle est l'équation d'un cercle. Si oui, préciser son centre et son rayon.

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23. $Caractériser un cercle de diamètre par le produit scalaire$

Soit

A (2; - 1)

B (6; 3)

deux points d'un repère orthonormé. On note

E

l'ensemble des points

M

du plan tels que le triangle

A M B

soit rectangle en

M

(avec

M \neq = A

M \neq = B

).

a) Justifier que

E

est le cercle de diamètre

[A B]

privé des points

A

B

, et donner une équation cartésienne de ce cercle.

b) Le point

C (6; - 1)

appartient-il à

E

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24. $Ensemble des points M tels que AM² + BM² soit constant$

On considère deux points fixes

A (1; 2)

B (5; - 2)

dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble

Γ

des points

M (x; y)

du plan vérifiant :

A M^{2} + B M^{2} = 50

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25. $Synthèse : carré, angle et cercle de diamètre$

I J K L

est un carré de côté

8

. Dans le repère orthonormé

(I; I J, I L)

(donc

I (0; 0)

J (8; 0)

K (8; 8)

L (0; 8)

), on considère le point

M

, milieu de

[J K]

, et le point

N

du segment

[K L]

tel que

K N = 2

.

a) Donner les coordonnées de

M

, de

N

, puis des vecteurs

I M

I N

.

b) Calculer le produit scalaire

I M \cdot I N

. Les droites

(I M)

(I N)

sont-elles perpendiculaires ?

c) En déduire une mesure, au dixième de degré près, de l'angle

M I N

.

d) Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre

[M N]

, puis vérifier que le point

I

n'appartient pas à ce cercle.

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26. $Orthogonalité de deux médianes d'un triangle$

Soit

A B C

un triangle. On note

a = B C

b = C A

c = A B

. Soit

M

le milieu de

[A C]

N

le milieu de

[A B]

, de sorte que

(B M)

(C N)

sont les médianes issues respectivement de

B

et de

C

.

Démontrer que les médianes

(B M)

(C N)

sont perpendiculaires si et seulement si :

b^{2} + c^{2} = 5 a^{2}

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27. $Démonstration de la formule de la médiane$

Soit

A B C

un triangle et

I

le milieu de

[B C]

. Soit

M

un point quelconque du plan.

Démontrer que :

M B \cdot M C = M I^{2} - \frac{B C ^{2}}{4}

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28. $Optimiser un produit scalaire à l'aide de la formule de la médiane$

On considère deux points fixes

B (- 4; 0)

C (4; 0)

dans un repère orthonormé, et

I

le milieu de

[B C]

(ici

I

est l'origine du repère). Un point

M

se déplace sur la droite

d

d'équation

y = x - 2

, donc

M (t; t - 2)

pour

t \in R

.

a) En utilisant la relation

M B \cdot M C = M I^{2} - \frac{B C ^{2}}{4}

, exprimer

M B \cdot M C

en fonction de

t

.

b) Déterminer la position de

M

sur

d

pour laquelle

M B \cdot M C

est minimal, ainsi que cette valeur minimale.

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29. $Démonstration de la formule d'addition du cosinus$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct

(O; i, j)

, on considère le cercle trigonométrique de centre

O

et de rayon

1

. Soit

P

Q

deux points de ce cercle associés respectivement aux réels

a

b

, de sorte que

P (cos a; sin a)

Q (cos b; sin b)

.

En calculant le produit scalaire

O P \cdot O Q

de deux façons différentes, démontrer que :

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

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30. $Produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées$

Dans un repère orthonormé

(O; i, j)

, on considère les points

A (- 3; 1)

B (2; 4)

C (0; - 2)

.

Calculer le produit scalaire

A B \cdot A C

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31. $Produit scalaire avec des normes et un angle$

Dans un triangle

D E F

, on donne

D E = 7

D F = 5

E D F = 6 0^{\circ}

.

Calculer le produit scalaire

D E \cdot D F

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32. $Tester l'orthogonalité de deux vecteurs par leurs coordonnées$

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs

u (6 4)

v (2 - 3)

.

Les vecteurs

u

v

sont-ils orthogonaux ?

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33. $Signe du produit scalaire et nature d'un angle$

Dans un triangle

G H I

, on sait que

G H \cdot G I = 24

.

Sans calculer sa mesure, déterminer si l'angle

H G I

est aigu, obtus ou droit. Justifier.

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34. $Équation cartésienne d'un cercle de centre et de rayon donnés$

On considère le cercle

C

de centre

Ω (- 4; 5)

et de rayon

R = 3

.

Donner une équation cartésienne de

C

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35. $Produit scalaire par projection orthogonale dans un triangle isocèle$

Soit

U V W

un triangle isocèle tel que

U V = U W = 17

V W = 16

. Soit

H

le pied de la hauteur issue de

U

(donc

H

est le milieu de

[V W]

, avec

V H = 8

).

a) Calculer

V U \cdot V W

en utilisant le projeté orthogonal de

U

sur la droite

(V W)

.

b) Soit

S

un point de la droite

(V W)

, situé du même côté que

W

par rapport à

V

, tel que

V S = 20

. Calculer

V U \cdot V S

.

c) Soit

T

un point de la droite

(V W)

, situé du côté opposé à

W

par rapport à

V

, tel que

V T = 6

. Calculer

V U \cdot V T

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36. $Produit scalaire par la formule de polarisation$

Soit

u

v

deux vecteurs tels que

∥ u ∥ = 4

∥ v ∥ = 6

∥ u - v ∥ = 7

.

a) Calculer

u \cdot v

.

b) En déduire

∥ u + v ∥

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37. $Développement d'une expression vectorielle par bilinéarité$

Soit

A B C

un triangle et

I

le milieu de

[B C]

. On donne

A B = 7

A C = 11

.

En exprimant

A I

en fonction de

A B

A C

, puis en développant le produit scalaire

A I \cdot B C

par bilinéarité, calculer sa valeur.

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38. $Déterminer un paramètre pour l'orthogonalité de deux vecteurs$

On considère les vecteurs

u (4 2 m - 1)

v (- 2 3)

, où

m

est un nombre réel.

Déterminer la valeur de

m

pour laquelle

u

v

sont orthogonaux.

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39. $Calcul d'un angle à partir des coordonnées des sommets d'un triangle$

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle

X Y Z

avec

X (1; 1)

Y (6; 1)

Z (3; 5)

.

Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle

Y X Z

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40. $Déterminer un angle à partir des normes et du produit scalaire$

On donne deux vecteurs

u

v

tels que

∥ u ∥ = 8

∥ v ∥ = 5

u \cdot v = 14

.

Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle

θ

formé par

u

v

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1.Exercice 1

2.Exercice 2

3.Exercice 3

4.Exercice 4

5.Exercice 5

6.Produit scalaire par coordonnées

7.Produit scalaire avec normes et angle

8.Tester l'orthogonalité de deux vecteurs

9.Signe du produit scalaire et nature d'un angle

10.Équation cartésienne d'un cercle

11.Produit scalaire par le projeté orthogonal

12.Produit scalaire par la formule de polarisation

13.Déterminer un paramètre pour l'orthogonalité

14.Calcul d'un angle à partir de coordonnées

15.Angle entre deux vecteurs à partir des normes et du produit scalaire

16.Calculer une longueur à l'aide du produit scalaire

17.Théorème d'Al-Kashi : calcul d'une longueur

18.Ensemble des points M tels que MA scalaire MB soit nul

19.Minimiser une distance à l'aide du produit scalaire

20.Al-Kashi et modélisation : largeur d'un lac

21.Al-Kashi et théorème de Pythagore

22.Reconnaître l'équation d'un cercle

23.Caractériser un cercle de diamètre par le produit scalaire

24.Ensemble des points M tels que AM² + BM² soit constant

25.Synthèse : carré, angle et cercle de diamètre

26.Orthogonalité de deux médianes d'un triangle

27.Démonstration de la formule de la médiane

28.Optimiser un produit scalaire à l'aide de la formule de la médiane

29.Démonstration de la formule d'addition du cosinus

30.Produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées

31.Produit scalaire avec des normes et un angle

32.Tester l'orthogonalité de deux vecteurs par leurs coordonnées

33.Signe du produit scalaire et nature d'un angle

34.Équation cartésienne d'un cercle de centre et de rayon donnés

35.Produit scalaire par projection orthogonale dans un triangle isocèle

36.Produit scalaire par la formule de polarisation

37.Développement d'une expression vectorielle par bilinéarité

38.Déterminer un paramètre pour l'orthogonalité de deux vecteurs

39.Calcul d'un angle à partir des coordonnées des sommets d'un triangle

40.Déterminer un angle à partir des normes et du produit scalaire

6. $Produit scalaire par coordonnées$

7. $Produit scalaire avec normes et angle$

8. $Tester l'orthogonalité de deux vecteurs$

9. $Signe du produit scalaire et nature d'un angle$

10. $Équation cartésienne d'un cercle$

11. $Produit scalaire par le projeté orthogonal$

12. $Produit scalaire par la formule de polarisation$

13. $Déterminer un paramètre pour l'orthogonalité$

14. $Calcul d'un angle à partir de coordonnées$

15. $Angle entre deux vecteurs à partir des normes et du produit scalaire$

16. $Calculer une longueur à l'aide du produit scalaire$

17. $Théorème d'Al-Kashi : calcul d'une longueur$

18. $Ensemble des points M tels que MA scalaire MB soit nul$

19. $Minimiser une distance à l'aide du produit scalaire$

20. $Al-Kashi et modélisation : largeur d'un lac$

21. $Al-Kashi et théorème de Pythagore$

22. $Reconnaître l'équation d'un cercle$

23. $Caractériser un cercle de diamètre par le produit scalaire$

24. $Ensemble des points M tels que AM² + BM² soit constant$

25. $Synthèse : carré, angle et cercle de diamètre$

26. $Orthogonalité de deux médianes d'un triangle$

27. $Démonstration de la formule de la médiane$

28. $Optimiser un produit scalaire à l'aide de la formule de la médiane$

29. $Démonstration de la formule d'addition du cosinus$

30. $Produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées$

31. $Produit scalaire avec des normes et un angle$

32. $Tester l'orthogonalité de deux vecteurs par leurs coordonnées$

33. $Signe du produit scalaire et nature d'un angle$

34. $Équation cartésienne d'un cercle de centre et de rayon donnés$

35. $Produit scalaire par projection orthogonale dans un triangle isocèle$

36. $Produit scalaire par la formule de polarisation$

37. $Développement d'une expression vectorielle par bilinéarité$

38. $Déterminer un paramètre pour l'orthogonalité de deux vecteurs$

39. $Calcul d'un angle à partir des coordonnées des sommets d'un triangle$

40. $Déterminer un angle à partir des normes et du produit scalaire$