Exercices de Produit Scalaire, Première (page 2)

Dans un triangle $PQR$, on donne $PQ=13$, $QR=14$ et $PR=15$.

Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{PQR}$.

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=9$, $AC=13$ et $BC=8$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

Calculer la longueur de la médiane $AI$ (valeur exacte, puis arrondie au dixième).

On considère deux points fixes $A(-3;-1)$ et $B(5;7)$ dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble $E$ des points $M(x;y)$ du plan vérifiant :$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$$

Soit $ABCD$ un losange, c'est-à-dire un parallélogramme dont les quatre côtés ont la même longueur ($AB=BC=CD=DA$).

Démontrer, à l'aide du produit scalaire, que les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

On considère, dans un repère orthonormé, le point fixe $B(-2;5)$ et un point mobile $N$ de coordonnées $N(3t+1;t)$, où $t$ est un nombre réel.

a) Exprimer $B{N}^2$ en fonction de $t$.

b) En déduire la valeur de $t$ pour laquelle la distance $BN$ est minimale, ainsi que cette distance minimale (valeur exacte).

Depuis un bateau situé en un point $C$, un navigateur repère deux balises $A$ et $B$ telles que $CA=320$ m, $CB=410$ m et $\widehat{ACB}=85^{\circ }$.

Calculer la distance $AB$ entre les deux balises, arrondie au mètre.

Dans un triangle $JKL$, on donne $JK=5$, $KL=6$ et $JL=9$.

En utilisant le théorème d'Al-Kashi, déterminer si l'angle $\widehat{JKL}$ (opposé au plus grand côté) est aigu, droit ou obtus.

On admet les formules d'addition (établies à partir du produit scalaire de deux vecteurs unitaires) :$$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$a) En écrivant $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$, calculer la valeur exacte de $\cos (15^{\circ })$.

b) En déduire la valeur exacte de $\sin (15^{\circ })$.

On considère les deux équations suivantes, dans un repère orthonormé :$$(E_1):x^2+y^2+8x-10y+40=0$$$$(E_2):x^2+y^2-4x+2y+5=0$$Pour chacune, déterminer s'il s'agit de l'équation d'un cercle, d'un point unique, ou d'un ensemble vide. Préciser le centre et le rayon lorsque c'est un cercle.

Soit $A(-5;2)$ et $B(3;-4)$ deux points d'un repère orthonormé. On note $E$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que le triangle $AMB$ soit rectangle en $M$ (avec $M\ne A$ et $M\ne B$).

a) Justifier que $E$ est le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$, et donner une équation cartésienne de ce cercle.

b) Le point $D(2;3)$ appartient-il à $E$ ?

On considère deux points fixes $A(0;3)$ et $B(6;-1)$ dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble $\Gamma$ des points $M(x;y)$ du plan vérifiant :$$A{M}^2+B{M}^2=90$$

Un traîneau est tiré par une force $\vec{F}$ de norme $150$ N, dont la direction fait un angle de $35^{\circ }$ avec la direction horizontale du déplacement $\vec{d}$, de norme $20$ m. Le travail $W$ de cette force est donné par $W=\vec{F}\cdot \vec{d}$ (exprimé en joules).

a) Calculer $W$, arrondi au joule.

b) Si la force était appliquée perpendiculairement à la direction du déplacement (angle de $90^{\circ }$), que vaudrait le travail ? Justifier à l'aide de la formule du produit scalaire.

On considère le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ (de centre $\Omega (2;-3)$ et de rayon $5$) et la droite $d$ d'équation $y=x-4$.

Déterminer les points d'intersection de $d$ et de $\mathcal{C}$, en discutant du nombre de solutions à l'aide du discriminant.

On considère deux points fixes $A(-3;0)$ et $B(3;0)$ dans un repère orthonormé, et $I$ le milieu de $[AB]$ (donc $I$ est l'origine du repère).

Pour chacune des valeurs suivantes de $k$, déterminer la nature de l'ensemble $E_k$ des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=k$ :

a) $k=7$

b) $k=-9$

c) $k=-12$

Dans un repère orthonormé, on considère le segment $[AB]$ avec $A(0;0)$ et $B(10;0)$, et un point fixe $C(15;4)$. Un point $M$ se déplace sur le segment $[AB]$, donc $M(t;0)$ avec $t\in [0;10]$.

a) Exprimer $M{C}^2$ en fonction de $t$, et mettre cette expression sous forme canonique.

b) Pour quelle valeur de $t$, dans $\mathbb{R}$, cette expression est-elle minimale ? Cette valeur appartient-elle au domaine $[0;10]$ ?

c) En déduire la position du point $M$ sur le segment $[AB]$ qui minimise la distance $MC$, et calculer cette distance minimale.

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=4$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, puis en déduire, en développant par bilinéarité, la valeur de :$$(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$$

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\Vert \vec{u}\Vert =2$, $\Vert \vec{v}\Vert =3$ et $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert =4$.

a) Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

b) En déduire la valeur exacte de $\Vert 2\vec{u}-\vec{v}\Vert$.

Soit $XYZ$ un triangle isocèle tel que $XY=XZ=13$ et $YZ=10$. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $X$ (donc $H$ est le milieu de $[YZ]$, avec $YH=5$).

a) Calculer $\overrightarrow{YX}\cdot \overrightarrow{YZ}$ en utilisant le projeté orthogonal de $X$ sur la droite $(YZ)$.

b) Soit $S$ un point de la droite $(YZ)$, situé du même côté que $Z$ par rapport à $Y$, tel que $YS=18$. Calculer $\overrightarrow{YX}\cdot \overrightarrow{YS}$.

c) Soit $T$ un point de la droite $(YZ)$, situé du côté opposé à $Z$ par rapport à $Y$, tel que $YT=4$. Calculer $\overrightarrow{YX}\cdot \overrightarrow{YT}$.

d) En utilisant le résultat de la question a), déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{XYZ}$.

On considère les vecteurs $\vec{u}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2m+1}\right)$ et $\vec{v}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{4}\right)$, où $m$ est un nombre réel.

Déterminer la ou les valeurs de $m$ pour lesquelles $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle $DEF$ avec $D(-3;2)$, $E(5;-4)$ et $F(-1;6)$.

a) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}$. En déduire, sans calcul supplémentaire, si l'angle $\widehat{EDF}$ est aigu, obtus ou droit.

b) Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{EDF}$.

On considère quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ tels que $AB=5$, $BC=7$, $CD=4$, et :$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=19\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=-20\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=4$$Calculer $AD$ (valeur exacte, puis arrondie au dixième).

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère le cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon $1$. Soit $P$ le point associé au réel $a$, donc $P(\cos a;\sin a)$, et $Q$ le point associé au réel $-b$, donc $Q(\cos b;-\sin b)$.

a) En calculant le produit scalaire $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}$ de deux façons différentes, démontrer que :$$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$b) En écrivant $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$, en déduire la valeur exacte de $\cos (75^{\circ })$.

On considère trois points fixes $A(1;2)$, $B(5;2)$ et $C(1;6)$ dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M(x;y)$ du plan vérifiant :$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$$

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega (3;4)$ et de rayon $5$, d'équation $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$, ainsi que la droite $d$ d'équation $y=x+2$.

a) En calculant la distance du point $\Omega$ à la droite $d$, déterminer si $d$ et $\mathcal{C}$ sont sécantes, tangentes ou disjointes.

b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $d$ et de $\mathcal{C}$, et vérifier la cohérence avec la question a).

On considère, pour tout réel $m$, l'équation :$$(E_m):x^2+y^2-4x+2my+m^2-5=0$$a) Montrer que, quelle que soit la valeur de $m$, $(E_m)$ est l'équation d'un cercle ${\mathcal{C}}_m$ dont on précisera le rayon (constant) et le centre ${\Omega }_m$ en fonction de $m$.

b) Déterminer l'ensemble décrit par le centre ${\Omega }_m$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$.

c) Déterminer la ou les valeurs de $m$ pour lesquelles le cercle ${\mathcal{C}}_m$ passe par l'origine $O(0;0)$.

Un bateau part d'un port $P$ et navigue en ligne droite sur $40$ km jusqu'à un point $A$. Il change alors de cap en effectuant une déviation de $35^{\circ }$ par rapport à sa trajectoire initiale, puis navigue en ligne droite sur $25$ km jusqu'à un point $B$.

Calculer la distance $PB$ séparant le bateau de son port de départ, arrondie au dixième de kilomètre.

Dans un triangle $GHI$, on donne $GH=11$, $HI=13$ et $GI=19$.

a) Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{GHI}$ (opposé au plus grand côté). Ce triangle est-il obtusangle ?

b) Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{GIH}$ (opposé au plus petit côté).

c) Justifier, sans calcul supplémentaire, pourquoi l'angle opposé au plus petit côté d'un triangle est nécessairement aigu.

$WXYZ$ est un carré de côté $12$. Dans le repère orthonormé $\left(W;\frac{1}{12}\overrightarrow{WX},\frac{1}{12}\overrightarrow{WZ}\right)$ (donc $W(0;0)$, $X(12;0)$, $Y(12;12)$, $Z(0;12)$), on fixe le point $N$ sur $[YZ]$ tel que $YN=5$, et on considère un point $M$ variable sur $[XY]$, tel que $XM=t$ avec $t\in [0;12]$.

a) Donner les coordonnées de $N$, puis celles de $M$ en fonction de $t$.

b) Exprimer $\overrightarrow{WM}\cdot \overrightarrow{WN}$ en fonction de $t$.

c) Existe-t-il une valeur de $t\in [0;12]$ pour laquelle les droites $(WM)$ et $(WN)$ sont perpendiculaires ? Justifier.

d) Pour $t=5$, calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{MWN}$.

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=14$, $AC=10$ et $BC=16$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ le milieu de $[AC]$.

a) Calculer la longueur de la médiane $AI$ (valeur exacte simplifiée).

b) Calculer la longueur de la médiane $BJ$ (valeur exacte simplifiée).

c) Laquelle des deux médianes est la plus longue ?

Soit $a$ un réel tel que $\cos (a)=\frac{3}{5}$, avec $a\in \left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.

a) Calculer $\sin (a)$.

b) On admet la formule de duplication, conséquence de la formule d'addition établie par produit scalaire de deux vecteurs unitaires :$$\cos (2a)={\cos }^2(a)-{\sin }^2(a)$$Calculer $\cos (2a)$.

c) L'angle $2a$ est-il aigu ou obtus ? Justifier à l'aide du signe de $\cos (2a)$.

On considère deux points fixes $A(-2;5)$ et $B(4;-1)$ dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble $\mathcal{L}$ des points $M(x;y)$ du plan vérifiant :$$M{A}^2-M{B}^2=20$$

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque du plan.

a) Démontrer que :$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\left(B{C}^2+A{D}^2-A{B}^2-C{D}^2\right)$$b) On suppose maintenant que $ABCD$ est un cerf-volant, c'est-à-dire que $AB=AD$ et $CB=CD$. Déduire de la question a) que les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$.

Démontrer que la médiane $(AI)$ est perpendiculaire au côté $[BC]$ si, et seulement si, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ (c'est-à-dire $AB=AC$).

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

a) Démontrer, à l'aide du produit scalaire, que :$$A{C}^2+B{D}^2=2A{B}^2+2A{D}^2$$b) On donne un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB=7$, $AD=9$ et $AC=11$ (diagonale). Calculer la longueur de l'autre diagonale $BD$.

On considère les deux cercles suivants, dans un repère orthonormé :$${\mathcal{C}}_1:x^2+y^2=25{\mathcal{C}}_2:(x-8{)}^2+y^2=25$$Déterminer les coordonnées des points d'intersection de ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$.

Soit $A$ et $B$ deux points fixes du plan, et $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout réel $k$, on note $E_k$ l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant :$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=k$$Démontrer, en fonction de $AB$, que :
- si $k>-\frac{A{B}^2}{4}$, alors $E_k$ est un cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{k+\frac{A{B}^2}{4}}$ ;
- si $k=-\frac{A{B}^2}{4}$, alors $E_k=\{I\}$ ;
- si $k<-\frac{A{B}^2}{4}$, alors $E_k=\varnothing$.

On considère, dans un repère orthonormé, les points fixes $A(0;0)$ et $B(6;0)$, ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre $C(3;4)$ et de rayon $2$, d'équation $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=4$. Un point $M$ décrit le cercle $\Gamma$.

a) Exprimer $M{A}^2+M{B}^2$ en fonction de $MI$, où $I$ est le milieu de $[AB]$, à l'aide du théorème de la médiane.

b) Calculer la distance $CI$ entre le centre du cercle $\Gamma$ et le point $I$.

c) En déduire les valeurs minimale et maximale de $MI$ lorsque $M$ décrit $\Gamma$, puis les valeurs minimale et maximale de $M{A}^2+M{B}^2$.

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $6$. Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $B$ (donc $B$ est le milieu de $[AD]$), et $E$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$ (donc $C$ est le milieu de $[AE]$).

a) Exprimer $\overrightarrow{AD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, et $\overrightarrow{AE}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$. En déduire les longueurs $AD$ et $AE$.

b) Justifier que l'angle $\widehat{DAE}$ est égal à l'angle $\widehat{BAC}$, puis calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}$.

c) À l'aide du théorème d'Al-Kashi dans le triangle $ADE$, calculer la longueur $DE$.

d) Retrouver ce résultat par une seconde méthode : exprimer $\overrightarrow{DE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, montrer que $\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{BC}$, puis calculer $DE$ directement.

Soit $ABC$ un triangle, et $H$ un point quelconque du plan.

a) Démontrer l'identité suivante, valable pour tout point $H$ :$$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$b) On suppose que $H$ est le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ et de la hauteur issue de $B$ (donc $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ et $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{CA}=0$). Déduire de la question a) que $H$ appartient aussi à la hauteur issue de $C$, c'est-à-dire que les trois hauteurs du triangle sont concourantes.