Exercices de Produit Scalaire, Première (page 3)

On considère deux points fixes $A(-3;0)$ et $B(5;0)$ dans un repère orthonormé, et $\Gamma$ le cercle de diamètre $[AB]$, c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

a) Déterminer une équation cartésienne de $\Gamma$.

b) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\Gamma$ avec la droite d'équation $x=3$.

c) Pour l'un des deux points trouvés en b), vérifier directement, à l'aide des coordonnées, que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle $ABC$ avec $A(-2;-1)$, $B(6;3)$ et $C(0;7)$.

a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

b) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, puis en déduire, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

c) Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Déterminer les coordonnées de $I$, puis calculer $AI$ directement à l'aide des coordonnées.

d) Retrouver la valeur de $A{I}^2$ en utilisant le théorème de la médiane, et vérifier la cohérence avec la question c).

e) Sans calcul supplémentaire, justifier que le point $A$ n'appartient pas au cercle de diamètre $[BC]$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $D(-3;1)$, $E(2;4)$ et $F(0;-2)$.

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}$.

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $\vec{u}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)$ et $\vec{v}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{-14}\right)$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\Omega (-4;5)$ et de rayon $R=7$.

Donner une équation cartésienne de $\mathcal{C}$.

Dans un triangle $GHI$, on donne $GH=7$, $GI=5$ et $\widehat{HGI}=60^{\circ }$.

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{GH}\cdot \overrightarrow{GI}$.

Dans un triangle $JKL$, on sait que $\overrightarrow{JK}\cdot \overrightarrow{JL}=-20$.

Sans calculer sa mesure, déterminer si l'angle $\widehat{KJL}$ est aigu, obtus ou droit. Justifier.

Soit $STU$ un triangle isocèle tel que $ST=SU=13$ et $TU=10$. Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $S$ (donc $H$ est le milieu de $[TU]$, avec $TH=5$).

a) Calculer $\overrightarrow{TS}\cdot \overrightarrow{TU}$ en utilisant le projeté orthogonal de $S$ sur la droite $(TU)$.

b) Soit $V$ un point de la droite $(TU)$, situé du même côté que $U$ par rapport à $T$, tel que $TV=14$. Calculer $\overrightarrow{TS}\cdot \overrightarrow{TV}$.

c) Soit $W$ un point de la droite $(TU)$, situé du côté opposé à $U$ par rapport à $T$, tel que $TW=4$. Calculer $\overrightarrow{TS}\cdot \overrightarrow{TW}$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\Vert \vec{u}\Vert =6$, $\Vert \vec{v}\Vert =4$ et $\Vert \vec{u}-\vec{v}\Vert =5$.

a) Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

b) En déduire $\Vert \vec{u}+\vec{v}\Vert$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\Vert \vec{u}\Vert =3$, $\Vert \vec{v}\Vert =5$ et formant un angle de $120^{\circ }$.

Développer puis calculer $(2\vec{u}-\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})$.

On considère les vecteurs $\vec{u}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{-2}\right)$ et $\vec{v}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{m+1}\right)$, où $m$ est un nombre réel.

Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle $ABC$ avec $A(1;1)$, $B(6;1)$ et $C(3;5)$.

Calculer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

On donne deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\Vert \vec{u}\Vert =8$, $\Vert \vec{v}\Vert =3$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=-6$.

Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\theta$ formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=7$, $BC=10$ et $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=15$.

Calculer $AC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième).

Un portique métallique est formé de deux segments : $OA=25$ m et $AB=32$ m, avec un angle $\widehat{OAB}=95^{\circ }$ au niveau de l'articulation $A$.

Calculer la distance $OB$ entre les deux extrémités $O$ et $B$ du portique, arrondie au dixième de mètre.

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=10$, $AC=14$ et $BC=12$. Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

Calculer la longueur de la médiane $AI$ (valeur exacte, puis arrondie au dixième).

On considère, dans un repère orthonormé, le point fixe $B(-2;5)$ et un point mobile $M$ de coordonnées $M(t;3t+1)$, où $t$ est un nombre réel.

a) Exprimer $B{M}^2$ en fonction de $t$.

b) En déduire la valeur de $t$ pour laquelle la distance $BM$ est minimale, ainsi que cette distance minimale.

Un îlot rend impossible la vue directe entre deux bouées $A$ et $B$. Pour estimer la distance $AB$, un navigateur se place en un point $C$ visible depuis les deux bouées, tel que $CA=340$ m, $CB=410$ m et $\widehat{ACB}=47^{\circ }$.

Calculer la distance $AB$ entre les deux bouées, arrondie au mètre.

Dans un triangle $PQR$, on donne $PQ=9$, $PR=40$ et $QR=41$.

Montrer, à l'aide du théorème d'Al-Kashi, que ce triangle est rectangle en $P$.

En remarquant que $105=60+45$, calculer la valeur exacte de $\cos (105^{\circ })$ à l'aide de la formule d'addition du cosinus.

On rappelle que $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

On considère les deux équations suivantes, dans un repère orthonormé :$$(E_1):x^2+y^2+8x-2y-8=0$$$$(E_2):x^2+y^2-10x+6y+34=0$$Pour chacune, déterminer l'ensemble des points qu'elle décrit : cercle (préciser alors centre et rayon), point unique, ou ensemble vide.

On considère deux points fixes $A(-3;2)$ et $B(5;6)$ dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble $\Gamma$ des points $M(x;y)$ du plan vérifiant :$$A{M}^2+B{M}^2=58$$

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=12$ et $AD=9$. Dans le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB}/12,\overrightarrow{AD}/9)$ (donc $A(0;0)$, $B(12;0)$, $C(12;9)$, $D(0;9)$), on considère le point $M$ du segment $[BC]$ tel que $BM=3$, et le point $N$ du segment $[CD]$ tel que $CN=4$.

a) Donner les coordonnées de $M$, de $N$, puis des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$.

b) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}$. Les droites $(AM)$ et $(AN)$ sont-elles perpendiculaires ?

c) En déduire une mesure, au dixième de degré près, de l'angle $\widehat{MAN}$.

d) Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre $[MN]$, puis vérifier que le point $A$ n'appartient pas à ce cercle.

Un panneau photovoltaïque orientable possède une normale (perpendiculaire à sa surface) modélisée, dans un repère orthonormé, par le vecteur $\vec{n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{5}\right)$. À un instant donné, la direction des rayons du soleil est modélisée par le vecteur $\vec{s}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-3}\right)$. La puissance reçue par le panneau dépend du produit scalaire $\vec{n}\cdot \vec{s}$ : plus il est proche de $-\Vert \vec{n}\Vert \times \Vert \vec{s}\Vert$ (rayons alignés avec la normale, mais de sens opposé), meilleure est l'exposition.

a) Calculer $\vec{n}\cdot \vec{s}$.

b) En déduire, au dixième de degré près, la mesure de l'angle entre $\vec{n}$ et $\vec{s}$, puis interpréter le signe du produit scalaire obtenu.

On considère trois points fixes $A(0;3)$, $B(4;-1)$ et $C(-2;5)$ dans un repère orthonormé.

Déterminer et décrire l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M(x;y)$ du plan vérifiant :$$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}$$

Soit $ABC$ un triangle quelconque, de côtés $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Soit $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$, de sorte que $[A{A}^{\prime }]$, $[B{B}^{\prime }]$ et $[C{C}^{\prime }]$ sont les trois médianes du triangle.

Démontrer que :$$A{A}^{\prime 2}+B{B}^{\prime 2}+C{C}^{\prime 2}=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$$

On considère deux points fixes $B(-4;0)$ et $C(4;0)$ dans un repère orthonormé, et $I$ le milieu de $[BC]$ (ici $I$ est l'origine du repère). Un point $M$ se déplace sur le segment $[DE]$, où $D(2;1)$ et $E(6;3)$, avec $M(2+4t;1+2t)$ pour $t\in [0;1]$.

a) En utilisant la relation $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=M{I}^2-\frac{B{C}^2}{4}$, exprimer $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}$ en fonction de $t$.

b) Déterminer la position de $M$ sur $[DE]$ pour laquelle $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}$ est minimal, ainsi que cette valeur minimale. On veillera à tenir compte de la contrainte $t\in [0;1]$.