Exercices de Second Degré, Première

Sur un segment $[AB]$ de longueur $10$, on place un point $M$.
On construit deux carrés $AMCD$ et $MBEF$.

Obtient-on un résultat analogue en calculant le minimum de la somme des aires de deux disques de diamètres respectifs $[AM]$ et $[MB]$ ?
Faire une figure et résoudre cette nouvelle situation.

On considère maintenant un carré de côté $[AM]$ et un disque de diamètre $[MB]$.
Démontrer que la somme des aires du carré et du disque est minimum lorsque le rayon du disque est égal à $\frac{20}{4+\pi }$.

On peut assimiler le drapeau suédois à un rectangle de côtés de longueur $8$ et de largeur $5$ composé d'une croix jaune sur fond bleu.
On admet que l'aire de la croix jaune est égale aux trois dixièmes de l'aire totale du drapeau.
Les deux bandes jaunes qui se croisent possèdent la même largeur $x$.

a) On cherche la largeur des bandes jaunes. Démontrer que le problème revient à résoudre l'équation $x^2-13x+12=0$.

b) Résoudre l'équation et calculer la largeur des bandes jaunes.

Le drapeau finlandais peut être assimilé à un rectangle de longueur $8$ et de largeur $5$ composé d'une croix bleue sur fond blanc, tel que l'aire de la croix est égale aux trois huitièmes de l'aire totale du drapeau. Les deux bandes bleues qui se croisent ont la même largeur.

Donner une valeur exacte puis un arrondi au dixième de la largeur des bandes.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x^2-5x-2=0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4x^2-12x+9=0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2-3x+5=0$.

On considère un trinôme du second degré $f$ dont le coefficient dominant vaut $3$ et tel que $f(-2)=0$ et $f(5)=0$.
Donner la forme factorisée de $f$, puis sa forme développée.

Étudier le signe de $f(x)=-x^2+2x+8$ sur $\mathbb{R}$.

La courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction polynôme $f$ du second degré est une parabole tournée vers le haut, de sommet $S(3;-4)$, qui coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $1$ et $5$, et qui coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;5)$.

a) Donner le tableau de variations de $f$.

b) Donner le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

c) En utilisant la symétrie de la parabole par rapport à la droite d'équation $x=3$, donner une autre solution de l'équation $f(x)=5$ que $x=0$.

d) L'équation $f(x)=-6$ admet-elle des solutions ? Justifier sans calculer l'expression de $f$.

Écrire le trinôme $f(x)=-2x^2+12x-7$ sous sa forme canonique.

On donne le trinôme sous forme factorisée $f(x)=5(x-1)(x+4)$.

a) Donner la forme développée de $f$.

b) En déduire la forme canonique de $f$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-3x^2+5x+2\le 0$.

On cherche deux réels positifs $x$ et $y$ correspondant aux dimensions, en mètres, d'un enclos rectangulaire, tels que $x+y=13$ et $xy=40$.
Déterminer $x$ et $y$.

Soit $m$ un réel et $f$ le trinôme défini par $f(x)=x^2-mx+18$. On sait que $3$ est une racine de $f$.

a) Déterminer la valeur de $m$.

b) En déduire la seconde racine de $f$.

On considère une fonction polynôme $f$ du second degré dont la représentation graphique admet pour sommet le point $S(-1;6)$ et passe par le point $A(2;-12)$.
Déterminer l'expression de $f(x)$ sous forme canonique, puis sous forme développée.

On donne trois paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$, coupant chacune l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;6)$ :

- ${\mathcal{C}}_1$ a pour sommet $(1;8)$ et ses branches sont tournées vers le bas.
- ${\mathcal{C}}_2$ a pour sommet $(1;4)$ et ses branches sont tournées vers le haut.
- ${\mathcal{C}}_3$ a pour sommet $(-1;8)$ et ses branches sont tournées vers le bas.

Associer, en justifiant par le calcul, la fonction $f(x)=-2x^2+4x+6$ à l'une de ces trois courbes.

Un artificier tire une fusée depuis une plateforme surélevée. La hauteur $h(t)$, en mètres, atteinte par la fusée au bout de $t$ secondes est modélisée, pour $t\in [0;7]$, par $h(t)=-5t^2+30t+35$.

a) Quelle est la hauteur de la plateforme de lancement ?
b) Déterminer la hauteur maximale atteinte par la fusée et l'instant où elle est atteinte.
c) Au bout de combien de temps la fusée retombe-t-elle au niveau du sol ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x^2-x-6)(-2x^2+3x+2)\ge 0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{-x^2+x+6}{x-1}\le 0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^4-13x^2+36=0$.

On considère une fonction polynôme $f$ du second degré définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c$. On sait que sa représentation graphique passe par les points $A(0;4)$, $B(1;9)$ et $C(-1;5)$.
Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x+3$ et $g(x)=4x-2$.
Étudier la position relative de la parabole ${\mathcal{C}}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$ représentant $g$, et préciser les coordonnées des points d'intersection éventuels.

Un maraîcher dispose de $60$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le grillage ne sert que pour deux largeurs et une longueur, le mur fermant le quatrième côté). On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres, avec $x\in ]0;30[$.

a) Exprimer la longueur de l'enclos en fonction de $x$.

b) Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$, et vérifier que $A(x)=-2x^2+60x$.

c) Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale, ainsi que cette aire maximale.

Un atelier fabrique $x$ objets par semaine, avec $x\in [0;100]$. Le coût de fabrication hebdomadaire, en euros, est donné par $C(x)=x^2+20x+2000$. Chaque objet est vendu $140$ €, ce qui donne une recette hebdomadaire $R(x)=140x$.

a) Montrer que le bénéfice hebdomadaire s'écrit $B(x)=-x^2+120x-2000$.

b) Montrer que $B(x)=-(x-20)(x-100)$.

c) En déduire, à l'aide d'un tableau de signes, l'intervalle de production pour lequel l'atelier est rentable.
d) Déterminer la production qui maximise le bénéfice, et la valeur de ce bénéfice maximal.

Pour tout réel $m$, on considère l'équation d'inconnue $x$ : $x^2-2mx+(m+6)=0$.
Discuter, selon les valeurs de $m$, du nombre de solutions réelles de cette équation.

Pour tout réel $m$, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x)=(m-1)x^2-2x+(m-1)$.

a) Pour quelle valeur de $m$ l'expression $f_m(x)$ n'est-elle pas un trinôme du second degré ?

b) Pour $m\ne 1$, exprimer le discriminant $\Delta$ de $f_m$ en fonction de $m$, et le factoriser.

c) Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles $f_m(x)>0$ pour tout réel $x$.

On souhaite écrire, en langage Python, une fonction qui prend en paramètres les coefficients $a$, $b$, $c$ d'un trinôme (avec $a\ne 0$) et qui renvoie une chaîne de caractères décrivant le signe de $f(x)=a{x}^2+bx+c$ sur $\mathbb{R}$, en distinguant les trois cas possibles selon le signe du discriminant $\Delta =b^2-4ac$ (et en tenant compte également du signe de $a$).

Voici un début de programme, à compléter :

def signe_trinôme(a, b, c):
delta = b**2 - 4*a*c
if delta > 0:
# ...
elif delta == 0:
# ...
else:
# ...

a) Compléter les trois branches du programme pour qu'il renvoie, selon les cas, une description correcte du signe de $f$.

b) Dérouler ce programme à la main sur le trinôme $f(x)=-2x^2+3x+9$ : indiquer ce que doit renvoyer la fonction.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2+7x-15=0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $9x^2-30x+25=0$.

On considère l'équation $3x^2+2x+4=0$, d'inconnue réelle $x$. Montrer que cette équation n'admet aucune solution réelle, et interpréter ce résultat pour la parabole représentant la fonction $f(x)=3x^2+2x+4$.

Étudier le signe de $g(x)=2x^2-4x-6$ sur $\mathbb{R}$, en dressant son tableau de signes.

On donne une fonction polynôme $f$ du second degré dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est une parabole tournée vers le bas, de sommet $S(2;9)$. La courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-1$ et $5$.

a) Donner le tableau de variations de $f$.

b) En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

c) Donner la forme factorisée de $f(x)$, sachant que le coefficient dominant vaut $-1$.

d) Combien l'équation $f(x)=9$ admet-elle de solutions ? Justifier sans calcul.

e) Combien l'équation $f(x)=15$ admet-elle de solutions ? Justifier sans calcul.

Pour chacune des affirmations suivantes, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne réponse et justifier en une phrase.

1) La fonction $f(x)=-2x^2+4x-5$ a pour discriminant :
A. $\Delta =16$ B. $\Delta =-24$ C. $\Delta =56$ D. $\Delta =6$

2) Le trinôme $g(x)=x^2-6x+9$ admet :
A. deux solutions distinctes B. une solution double C. aucune solution réelle D. trois solutions
3) La parabole représentant $h(x)=3x^2+x+1$ :
A. coupe l'axe des abscisses en deux points B. est tangente à l'axe des abscisses C. ne coupe jamais l'axe des abscisses D. passe par l'origine
4) Si une fonction polynôme $k$ du second degré a pour coefficient dominant $a=-4$, sa parabole représentative :
A. est tournée vers le haut B. est tournée vers le bas C. est une droite D. ne dépend pas du signe de $a$

Écrire le trinôme $f(x)=3x^2-12x+7$ sous sa forme canonique $a(x-\alpha {)}^2+\beta$, en détaillant la méthode de complétion du carré.

On donne le trinôme sous forme canonique $f(x)=2(x-3{)}^2-8$.

a) Donner la forme développée de $f$.

b) En déduire la forme factorisée de $f$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-2x^2+3x+5\ge 0$.

Un rectangle a un périmètre de $32$ cm et une aire de $60$ cm${}^2$. On note $L$ et $\ell$ sa longueur et sa largeur, en centimètres.

a) Montrer que $L+\ell =16$.

b) En déduire que $L$ et $\ell$ sont solutions de l'équation $x^2-16x+60=0$.

c) Déterminer $L$ et $\ell$.