Exercices de Second Degré, Première (page 2)

On considère une fonction polynôme $f$ du second degré dont la représentation graphique admet pour sommet le point $S(4;-3)$ et passe par le point $A(6;5)$.
Déterminer l'expression de $f(x)$ sous forme canonique, puis sous forme développée.

On donne trois paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ :

- ${\mathcal{C}}_1$ a pour sommet $(-3;-1)$ et ses branches sont tournées vers le haut.
- ${\mathcal{C}}_2$ a pour sommet $(-3;5)$ et ses branches sont tournées vers le bas.
- ${\mathcal{C}}_3$ a pour sommet $(1;-1)$ et ses branches sont tournées vers le haut.

Associer, en justifiant par le calcul, chacune des fonctions suivantes à la courbe qui la représente :$$f(x)=x^2+6x+8,g(x)=-2x^2-12x-13,h(x)=3x^2-6x+2$$

Lors d'un entraînement, un golfeur frappe une balle depuis le sol. La trajectoire de la balle est modélisée par la fonction $h$ définie sur $[0;60]$ par $h(x)=-\frac{1}{20}{x}^2+3x$, où $x$ désigne la distance horizontale parcourue par la balle, en mètres, et $h(x)$ sa hauteur, en mètres.

a) Vérifier que la balle part bien du niveau du sol.
b) Déterminer la hauteur maximale atteinte par la balle et la distance horizontale à laquelle elle est atteinte.
c) À quelle distance horizontale la balle retombe-t-elle au sol ?
d) Un arbre de $10$ m de haut se trouve à $50$ m du point de frappe, sur la trajectoire de la balle. La balle passe-t-elle au-dessus de l'arbre ?

On cherche deux entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés vaut $145$.

a) En notant $n$ le plus petit des deux entiers, montrer que $n$ est solution de l'équation $n^2+n-72=0$.

b) Résoudre cette équation.
c) En déduire les deux entiers cherchés, en justifiant le rejet de la solution qui ne convient pas.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x^2-5x+6)(3x^2-x-2)\le 0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{2x-3}{x^2-x-6}<0$, après avoir précisé l'ensemble de définition.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\frac{2x}{x-1}=x+2$, après avoir précisé l'ensemble de définition.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^4-5x^2-36=0$, en posant $X=x^2$.

On considère une fonction polynôme $f$ du second degré définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c$, dont la représentation graphique passe par les points $A(0;2)$, $B(1;7)$ et $C(2;18)$.
Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+7$ et $g(x)=2x-2$.
Étudier la position relative de la parabole ${\mathcal{C}}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$ représentant $g$, et préciser les coordonnées du ou des points d'intersection éventuels.

Un éleveur dispose de $100$ m de grillage pour délimiter un enclos rectangulaire, qu'il souhaite subdiviser en $4$ parties égales à l'aide de $3$ clôtures intérieures parallèles à la largeur. On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètres, avec $x\in ]0;20[$.

a) Montrer que la longueur de l'enclos vaut $50-2,5x$.

b) Exprimer l'aire totale $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$, et vérifier que $A(x)=-2,5x^2+50x$.

c) En écrivant $A(x)$ sous forme canonique, déterminer la largeur $x$ pour laquelle l'aire est maximale, ainsi que cette aire maximale.

Une confiserie fabrique $x$ boîtes de chocolats par jour, avec $x\in [0;100]$. Le coût de production journalier, en euros, est donné par $C(x)=x^2+70x+1200$. Chaque boîte est vendue $150$ €, ce qui donne une recette journalière $R(x)=150x$.

a) Montrer que le bénéfice journalier s'écrit $B(x)=-x^2+80x-1200$.

b) Vérifier que $B(x)=-(x-20)(x-60)$.

c) À l'aide d'un tableau de signes, déterminer l'intervalle de production pour lequel la confiserie est rentable.
d) Déterminer la production journalière pour laquelle le bénéfice est maximal, ainsi que la valeur de ce bénéfice maximal.

On a mesuré la hauteur $y$ (en mètres) de l'arche d'un pont au-dessus du niveau de l'eau, à différentes distances horizontales $x$ (en mètres) depuis l'une de ses bases :a) Justifier, à partir de l'allure des données, qu'un modèle de la forme $y=f(x)$, avec $f$ une fonction polynôme du second degré, est pertinent.

b) Les deux valeurs de $x$ pour lesquelles $y=0$ correspondent aux deux bases de l'arche. En déduire que $f(x)$ peut s'écrire sous forme factorisée $f(x)=ax(x-10)$.

c) À l'aide de la valeur mesurée en $x=2$, déterminer le coefficient $a$.

d) En déduire la hauteur maximale de l'arche, et la distance horizontale à laquelle elle est atteinte.

Pour tout réel $m$, on considère l'équation d'inconnue $x$ : $x^2-(m+1)x+(2m-1)=0$.
Discuter, selon les valeurs de $m$, du nombre de solutions réelles de cette équation.

Pour tout réel $m$, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x)=(m-2)x^2-2(m-2)x+(3m-5)$.

a) Pour quelle valeur de $m$ l'expression $f_m(x)$ n'est-elle pas un trinôme du second degré ? Que devient alors $f_m$ ?

b) Pour $m\ne 2$, écrire $f_m(x)$ sous forme canonique, et donner les coordonnées du sommet $S_m$ de la parabole représentative de $f_m$ en fonction de $m$.

c) Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle le sommet $S_m$ appartient à la droite d'équation $y=3x-8$.

d) Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles $f_m(x)\ge 3$ pour tout réel $x$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-3x-5$. On souhaite encadrer, par balayage, la plus grande solution de l'équation $f(x)=0$ à l'aide du programme Python suivant, où `f(x) = x**2 - 3*x - 5` :

def balayage(a, b, pas):
    x = a
    while f(x) * f(x + pas) > 0 and x < b:
        x = x + pas
    return x, x + pas

a) On appelle `balayage(4, 5, 0.1)`. Expliquer pourquoi la fonction renvoie un encadrement de la plus grande solution de $f(x)=0$, sans exécuter le programme.

b) Calculer par la méthode du discriminant la valeur exacte de la plus grande solution de $f(x)=0$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

c) Le programme est appelé avec un pas de $0,1$. Quelle est la précision maximale garantie sur l'encadrement renvoyé ? Cette précision correspond-elle à celle calculée en b) ? Justifier.

d) Modifier l'appel à `balayage` pour obtenir un encadrement à $10^{-3}$ près.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $5x^2-3x-2=0$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2-x+3=0$.

On considère un trinôme du second degré $h$ dont le coefficient dominant vaut $-2$ et tel que $h(-3)=0$ et $h(4)=0$. Donner la forme factorisée de $h(x)$, puis sa forme développée.

On considère un trinôme du second degré $h$ dont le coefficient dominant vaut $4$ et tel que $h\left(\frac{1}{2}\right)=0$ et $h(-3)=0$. Donner la forme factorisée de $h(x)$, puis sa forme développée.

Étudier le signe de $f(x)=-3x^2+5x+2$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-8x+6$. Pour chacune des questions suivantes, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne réponse et justifier en une phrase.

1) L'ordonnée du sommet de la parabole représentant $f$ est : a) $-2$ b) $2$ c) $6$

2) Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est : a) $0$ b) $1$ c) $2$

3) La concavité de la parabole représentant $f$ est tournée vers : a) le haut b) le bas

On donne une fonction polynôme $f$ du second degré dont la représentation graphique est une parabole de sommet $S(-1;4)$, tournée vers le bas, et coupant l'axe des abscisses en deux points distincts symétriques par rapport à la droite d'équation $x=-1$. Pour chacune des questions suivantes, une seule proposition est correcte. Indiquer la bonne réponse et justifier en une phrase.

1) Le signe du coefficient dominant $a$ de $f$ est : a) positif b) négatif

2) Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ est : a) $0$ b) $1$ c) $2$

3) La valeur maximale atteinte par $f$ sur $\mathbb{R}$ est : a) $-1$ b) $4$ c) impossible à déterminer

Écrire le trinôme $f(x)=3x^2-6x+8$ sous sa forme canonique $a(x-\alpha {)}^2+\beta$.

On donne le trinôme sous forme canonique $f(x)=-2(x+1{)}^2+18$.

a) Donner la forme développée de $f$.

b) En déduire la forme factorisée de $f$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2x^2-x-6<0$.

On cherche deux réels positifs $x$ et $y$ correspondant aux longueurs, en centimètres, des côtés d'un cadre rectangulaire, tels que $x+y=18$ et $xy=77$. Déterminer $x$ et $y$.

Soit $m$ un réel et $f$ le trinôme défini par $f(x)=x^2-mx+24$. On sait que $6$ est une racine de $f$.

a) Déterminer la valeur de $m$.

b) En déduire l'autre racine de $f$.

Lors d'une figure de ski acrobatique, un skieur quitte un tremplin. Sa hauteur $h(t)$, en mètres, au-dessus du niveau de la piste, $t$ secondes après avoir quitté le tremplin, est modélisée par :$$h(t)=-4t^2+8t+5,t\in [0;2,5]$$a) Quelle est la hauteur du skieur au moment où il quitte le tremplin ?
b) Au bout de combien de temps le skieur atteint-il sa hauteur maximale, et quelle est cette hauteur ?
c) Au bout de combien de temps retombe-t-il sur la piste ?

On cherche deux entiers naturels consécutifs dont le produit vaut $210$. En notant $n$ le plus petit des deux entiers, montrer que $n$ est solution d'une équation du second degré, la résoudre, puis conclure.

Dans une réunion, chaque personne présente serre la main de toutes les autres, une seule fois chacune. On compte au total $66$ poignées de main échangées. Combien de personnes étaient présentes à la réunion ?

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{2}{x-2}\le x-1$, après avoir précisé l'ensemble de définition.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^4-29x^2+100=0$, en posant $X=x^2$.

On considère une fonction polynôme $f$ du second degré définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c$. On sait que sa représentation graphique passe par les points $A(0;-3)$, $B(1;0)$ et $C(2;7)$. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-5x+8$ et $g(x)=x+3$. Étudier la position relative de la parabole représentant $f$ et de la droite représentant $g$.

Une brasserie artisanale produit $x$ hectolitres de bière par semaine, avec $x\in [0;80]$. Le coût de production hebdomadaire, en euros, est donné par $C(x)=x^2+30x+600$. Chaque hectolitre est vendu $100$ euros.

a) Exprimer la recette $R(x)$, puis le bénéfice $B(x)$, en fonction de $x$.

b) Déterminer, par une étude de signe, l'intervalle de production pour lequel l'activité est rentable ($B(x)\ge 0$).

c) Déterminer la production qui maximise le bénéfice, ainsi que la valeur de ce bénéfice maximal.

Un agronome étudie le rendement $y$ d'une parcelle de blé, en quintaux par hectare, selon la dose $x$ d'engrais épandue, en kg par hectare. Il obtient le tableau de mesures suivant :

$x$ : $0$ ; $20$ ; $40$ ; $60$ ; $80$ ; $100$
$y$ : $0$ ; $32$ ; $48$ ; $48$ ; $32$ ; $0$

a) Justifier que ces données peuvent être modélisées par une fonction du second degré de la forme $y=ax(x-100)$, et interpréter les deux valeurs nulles du tableau.

b) Déterminer le coefficient $a$ à l'aide d'une valeur du tableau.

c) En déduire la dose d'engrais qui maximise le rendement, ainsi que la valeur de ce rendement maximal.

Une entreprise étudie le bénéfice hebdomadaire $B$, en milliers d'euros, réalisé selon le prix de vente unitaire $p$, en euros, d'un article. Elle obtient le tableau suivant :

$p$ : $10$ ; $20$ ; $30$ ; $40$ ; $50$
$B$ : $0$ ; $120$ ; $160$ ; $120$ ; $0$

a) Justifier que ces données peuvent être modélisées par une fonction du second degré de la forme $B(p)=a(p-10)(p-50)$, et interpréter les deux valeurs nulles du tableau.

b) Déterminer le coefficient $a$ à l'aide d'une valeur du tableau.

c) En déduire le prix de vente qui maximise le bénéfice, ainsi que la valeur de ce bénéfice maximal.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\frac{3}{x+1}+\frac{2}{x-1}=1$, après avoir précisé l'ensemble de définition.